3.7
正多边形
1.正六边形的每个外角是 60°
.
2.如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝ 36°
.
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(第2题)
3.如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是(C)
A.
6
B.
11
C.
12
D.
18
4.一元钱硬币的直径约为24
mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过(A)
A.
12
mm
B.
12
mm
C.
6
mm
D.
6
mm
5.如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正方形
ABCD.
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(第5题)
【解】 如图，过圆心O
作直线
BD，交
( http: / / www.21cnjy.com )⊙O于
B，D
两点，作线段BD
的垂直平分线，交
⊙O于A，C
两点，连结AD，DC，CB，BA，
则四边形
ABCD
即为所求作的正方形.
6.如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合.若点A的坐标为(－1，0)，求点C的坐标.
(第6题)
【解】 连结OB，OC，设BC交y轴于点M.
易知△OBC为等边三角形，且边长为1，OM⊥BC，
∴MC＝BC＝，
∴OM＝＝.
∴点C.
7.如图，小华从点A出发，沿直线前进10
( http: / / www.21cnjy.com )m后左转24°，再沿直线前进10
m，又向左转24°……照这样走下去，当他第一次回到出发地A时，走的路程一共是(B)
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(第7题)
A.
140
m
B.
150
m
C.
160
m
D.
240
m
【解】 ∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°＝15，
∴小华一共走了15×10＝150(m).
8.如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，他们的作法如下：
甲：连结BD，CE，两线段交于点P，则点P即为所求.
乙：先取CD的中点M，连结AM，再以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于点P，则点P即为所求.
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(第8题)
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(C)
A.
两人皆正确
B.
两人皆错误
C.
甲正确，乙错误
D.
甲错误，乙正确
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(第8题解①)
【解】 如解图①.
∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠DEC＝∠DCE＝×(180°－108°)＝36°.
同理，∠CBD＝∠CDB＝36°.
∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°.
∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A.
∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确.
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(第8题解②)
如解图②.
∵∠BAE＝108°，
∴∠BAM＝∠EAM＝54°.
∵AB＝AE＝AP，
∴∠APB＝∠APE＝×(180°－54°)＝63°，∴∠BPE＝63°＋63°＝126°≠108°，
即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误.
9.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正
( http: / / www.21cnjy.com )方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标为(21008，21008)
.
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(第9题)
【解】 ∵正方形OA1B1C1的边长为1，
∴点B1(1，1)，OB1＝.
同理，点B2(0，2)，OB2＝2；
点B3(－2，2)，OB3＝2
；
点B4(－4，0)，OB4＝4；
点B5(－4，－4)，OB5＝4
；
点B6(0，－8)，OB6＝8；
点B7(8，－8)，OB7＝8
；
点B8(16，0)，OB8＝16；
点B9(16，16)，OB9＝16
；
……
由此可以发现，点Bn的坐标符号与点Bn＋8的坐标符号相同，后一个正方形的边长是前一个正方形边长的倍，
∵2017÷8＝252……1，
∴点B2017的坐标符号与点B1相同，正方形OB2016B2017C2017的边长为()2016＝21008，
∴点B2017(21008，21008).
10.我们把正六边形的顶点
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(第10题)
(1)观察以上图形并完成下表：
图形的名称
基本图的个数
特征点的个数
图①
1
7
图②
2
12
图③
3
17
图④
4
22
…
…
…
猜想：在图
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(2)如图，将图
( http: / / www.21cnjy.com )放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，2)，则x1＝；图
( http: / / www.21cnjy.com )的对称中心的横坐标为2017
.
【解】 (1)寻找规律：后一个图形的特征点比前一个图形的特征点多5个，符合一次函数的特征.
设基本图形的个数为n，特征点的个数为y，二者之间的关系为y＝kn＋b.
将(1，7)，(2，12)分别代入，得解得
∴y＝5n＋2.经检验，(3，17)符合.
∴基本图形数与特征点的个数之间的关系为y＝5n＋2.
当n＝4时，y＝5×4＋2＝22.
(2)点O1的横坐标是边长为2的等边三角形的高，根据含30°角的直角三角形的性质可得x1＝.
易得图
( http: / / www.21cnjy.com )共有2017个正六边形，总的横坐标是2017×2
＝4034，
∴图
( http: / / www.21cnjy.com )的对称中心的横坐标为＝2017.3.7
正多边形
1.正六边形的每个外角是
.
2.如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝
.
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(第2题)
3.如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是(
)
A.
6
B.
11
C.
12
D.
18
4.一元钱硬币的直径约为24
mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过(
)
A.
12
mm
B.
12
mm
C.
6
mm
D.
6
mm
5.如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正方形
ABCD.
6.如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合.若点A的坐标为(－1，0)，求点C的坐标.
7.如图，小华从点A出发，沿直线前进1
( http: / / www.21cnjy.com )0
m后左转24°，再沿直线前进10
m，又向左转24°……照这样走下去，当他第一次回到出发地A时，走的路程一共是(
)
A.
140
m
B.
150
m
C.
160
m
D.
240
m
8.如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，他们的作法如下：
甲：连结BD，CE，两线段交于点P，则点P即为所求.
乙：先取CD的中点M，连结AM，再以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于点P，则点P即为所求.
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( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题)
(第8题)
(第9题)
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(
)
A.
两人皆正确
B.
两人皆错误
C.
甲正确，乙错误
D.
甲错误，乙正确
9.如图，在平面直角坐标系中，边长为1
( http: / / www.21cnjy.com )的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标为(
)
.
10.我们把正六边形的顶点及其对称
( http: / / www.21cnjy.com )中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②、图③……
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(第10题)
(1)观察以上图形并完成下表：
图形的名称
基本图的个数
特征点的个数
图①
1
7
图②
2
12
图③
3
17
图④
4
22
…
…
…
猜想：在图
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(用含n的代数式表示).
(2)如图，将图
( http: / / www.21cnjy.com )放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，2)，则x1＝；图
( http: / / www.21cnjy.com )的对称中心的横坐标为
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