3.8
弧长及扇形的面积(一)
1.已知120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是9
.
2.如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的周长为 2π＋6 (结果保留π).
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(第2题)
3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为
.
(第3题)
4.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )，直径平行于地面放置.搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50
m.若半圆的直径为4
m，则圆心O所经过的路线长是2π＋50m(结果保留π).
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(第4题)
5.如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为2，∠C＝40°，则的长是 π
.
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(第5题)
6.如图，用一个半径为5
cm
的定滑轮带
( http: / / www.21cnjy.com )动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°
，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)
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(第6题)
A.
π
cm
B.
2π
cm
C.
3π
cm
D.
5π
cm
7.如图，小明把一长为4
cm，宽为3
c
( http: / / www.21cnjy.com )m的矩形木板在桌面上做无滑动的翻转(顺时针)，木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使得木板与桌面成30°角，则点A翻转到点A2走过的路径长为(C)
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(第7题)
A.
10π
cm
B.
4π
cm
C.
3.5π
cm
D.
π
cm
8.如图所示是一段圆弧形弯道，已知＝50
cm，＝30
cm，求弯道的中心线的长.
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(第8题)
【解】 设∠BOD的度数为n，则＝，＝，＝.
∵OE＝OC＋＝，
∴＝·
＝
＝(＋)＝(30＋50)＝40(cm).
9.如图，⊙O的半径为2，
( http: / / www.21cnjy.com )AB，CD是互相垂直的两条直径，P是⊙O上任意一点(点P与点A，B，C，D不重合)，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为(A)
(第9题)
A.
B.
C.
D.
【解】 连结OP.
∵PM⊥AO，PN⊥OD，AB⊥CD，
∴四边形ONPM是矩形.
又∵Q为MN的中点，
∴Q为OP的中点，∴OQ＝1.
∴点Q走过的路径长＝＝.
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )AC＝BC＝2
，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 π
.
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(第10题)
【解析】 如解图，取AB的中点E，连结CE，取CE的中点F，连结PE，MF.
(第10题解)
∵在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2
，
∴AB＝4.
∵E是AB的中点，∴点E为圆心，
∴PE＝AB＝2.
∵M为PC的中点，F为CE的中点，
∴MF是△CPE的中位线，
∴MF＝PE＝1.
∵F为定点，
∴点M的轨迹是以点F为圆心，1为半径的半圆弧，
∴点M运动的路径长为×2π×1＝π.
11.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝
75°.
(1)求证：BD＝CD.
(2)若⊙O的半径为3，求的长.
(第11题)
【解】 (1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°＝∠DBC，
∴BD＝CD.
(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°，
∴的度数为60°.
∴＝＝＝π.
12.已知△ABC是等腰直角三角形
( http: / / www.21cnjy.com )，AC＝BC＝2，D是边AB上一动点(不与点A，B重合)，将△CAD绕点C逆时针旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点.
(第12题)
(1)如图①，当α＝90°时，G是边AB上一点，且BG＝AD，连结GF.求证：GF∥AC.
(2)如图②，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M.
①当点M与点C，D不重合时，连结CM，求∠CMD的度数.
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长.
【解】 (1)∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°.
由旋转可得∠CBF＝∠A＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC＋∠CBF＝90°.
∵BG＝AD＝BF，∴∠BGF＝∠BFG＝45°，
∴∠A＝∠BGF，∴GF∥AC.
(2)①∵CA＝CE，CD＝CF，
∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD.
∵∠ACD＝∠ECF，
∴∠ACE＝∠DCF.
∵2∠CAE＋∠ACE＝180°，2∠CDF＋∠DCF＝180°，
∴∠CAE＝∠CDF.
∴A，D，M，C四点共圆，
∴∠DAM＝∠DCM，
∴∠CMF＝∠CDM＋∠DCM＝∠CAE＋∠DAM＝∠CAD＝45°，
∴∠CMD＝180°－∠CMF＝135°.
(第12题解)
②如解图，取AC的中点O，连结OD，CM.
∵AD＝DB，CA＝CB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°.
由①可知A，D，M，C四点共圆，
∴当α从90°变化到180°时，
点M的运动路径是以AC为直径的⊙O上的.
∵OA＝OC＝AC＝1，CD＝DA，
∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，
∴l＝＝.
∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为.3.8
弧长及扇形的面积(二)
1.如图，已知扇形OAB的半径为10，圆心角为54°，则此扇形的面积为(
)
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(第1题)
A.
100π
B.
20π
C.
15π
D.
5π
2.钟面上的分针长度是6
cm，经过25
min，分针在钟面上扫过的面积为(
)
A.
7.5π
cm2
B.
15π
cm2
C.
22.5π
cm2
D.
30π
cm2
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，OC＝2，则阴影部分的面积为(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
A.
2π
B.
π
C.
D.
4.如图，将边长为3的正六
( http: / / www.21cnjy.com )边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细).则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为
.
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(第4题)
5.如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别
( http: / / www.21cnjy.com )以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是
.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题)
6.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O的三等分点.若弦CD＝2，求图中阴影部分的面积.
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7.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，以点
( http: / / www.21cnjy.com )A为圆心画，交AB于点D，交AC的延长线于点F，交BC于点E.若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比.
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8.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，
( http: / / www.21cnjy.com )以点A为圆心，OA长为半径作交于点C.若OA＝2，则阴影部分的面积为
.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
9.如图，在Rt△ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第9题)
10.如图，在边长为1的正方形网
( http: / / www.21cnjy.com )格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A(4，3)，B(4，1)，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C.
(1)画出坐标系以及△A1B1C，直接写出点A1，B1的坐标.
(2)求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积.
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11.如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过O
( http: / / www.21cnjy.com )A的中点C作FD∥OB交⊙O于D，F两点，且CD＝，以点O为圆心，OC长为半径作，交OB于点E.
(1)求⊙O的半径.
(2)求阴影部分的面积.
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12.如图，在△ABC中，CA＝CB，
( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积(
)
A.
由小到大
B.
由大到小
C.
不变
D.
先由小到大，后由大到小3.8
弧长及扇形的面积(二)
1.如图，已知扇形OAB的半径为10，圆心角为54°，则此扇形的面积为(C)
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(第1题)
A.
100π
B.
20π
C.
15π
D.
5π
2.钟面上的分针长度是6
cm，经过25
min，分针在钟面上扫过的面积为(B)
A.
7.5π
cm2
B.
15π
cm2
C.
22.5π
cm2
D.
30π
cm2
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，OC＝2，则阴影部分的面积为(D)
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(第3题)
A.
2π
B.
π
C.
D.
4.如图，将边长为3的正六边
( http: / / www.21cnjy.com )形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细).则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为 18
.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
5.如图，扇形OAB的圆心角为90°，
( http: / / www.21cnjy.com )分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是P＝Q
.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题)
6.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O的三等分点.若弦CD＝2，求图中阴影部分的面积.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
【解】 如解图，连结OC，OD，OD与BC交于点E.
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(第6题解)
∵C，D是半圆O的三等分点，
∴∠BOD＝∠COD＝60°.
又∵OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴半圆O的半径OD＝CD＝2.
易证得△CDE≌△BOE，
∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π.
7.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC
( http: / / www.21cnjy.com )，以点A为圆心画，交AB于点D，交AC的延长线于点F，交BC于点E.若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比.
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(第7题)
【解】 ∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴S△ABC＝S扇形ADF.
在Rt△ABC中，∵AC＝BC，∴∠A＝45°.
∴AC2＝，∴＝.
8.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA长为半径作交于点C.若OA＝2，则阴影部分的面积为－π
.
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(第8题)
【解】 如解图，连结OC，AC.
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(第8题解)
由题意，得OC＝OA＝AC＝2，
∴△AOC为等边三角形，∴∠BOC＝30°，
∴扇形OCB的面积为＝π，
△AOC的面积为×2×＝，
扇形AOC的面积为＝π，
∴阴影部分的面积为π＋－π＝－π.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为π－4
.
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(第9题)
【解】 过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，故点D既在以AC为直径的半圆上，又在以BC为直径的半圆上.
∴S阴影＝(S小半圆－S△ADC)＋(S
( http: / / www.21cnjy.com )大半圆－S△BDC)＝S小半圆＋S大半圆－S△ABC＝π×12＋π×22－×2×4＝π－4.
10.如图，在边长为1的正方形网格中，△AB
( http: / / www.21cnjy.com )C的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A(4，3)，B(4，1)，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C.
(1)画出坐标系以及△A1B1C，直接写出点A1，B1的坐标.
(2)求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积.
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(第10题)
【解】 (1)所求作的坐标系与△A1B1C如解图所示.
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(第10题解)则点A1的坐标为(－1，4)，点B1的坐标为(1，4).
(2)∵AC＝＝＝，∠ACA1＝90°，
∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：
S扇形CAA1＋S△ABC＝＋×3×2
＝＋3.
11.如图，在⊙O中，半径OA⊥OB
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(1)求⊙O的半径.
(2)求阴影部分的面积.
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(第11题)
【解】 (1)如解图，连结OD.
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(第11题解)
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°.
∵FD∥OB，∴∠OCD＝90°.
设OC＝x，则OD＝OA＝2x.
在Rt△OCD中，∵OC2＋CD2＝OD2，
∴x2＋()2＝(2x)2，解得x＝1(负值舍去)，
∴OD＝2，即⊙O的半径为2.
(2)∵在Rt△OCD中，＝，
∴∠CDO＝30°.
∵FD∥OB，
∴∠DOB＝∠CDO＝30°.
∴S阴影＝S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE
＝×1×＋－
＝＋.
12.如图，在△ABC中，CA＝CB，
( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积(C)
(第12题)
A.
由小到大
B.
由大到小
C.
不变
D.
先由小到大，后由大到小
【解】 如解图，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，连结DC.
(第12题解)
易得∠MDN＝∠EDF＝90°，DM＝BC，DN＝AC，
∴∠MDG＝∠NDH，DM＝DN＝AB.
又∵∠DMG＝∠DNH＝90°，
∴△DMG≌△DNH(AAS).
∴S四边形DGCH＝S正方形DMCN＝DM2＝AB2.
∵S扇形DEF＝＝，
∴S阴影＝S扇形DEF－S四边形DGCH＝(定值).3.8
弧长及扇形的面积(一)
1.已知120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是
.
2.如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的周长为
(结果保留π).
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(第2题)
3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为
.
(第3题)
4.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所
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m.若半圆的直径为4
m，则圆心O所经过的路线长是
m(结果保留π).
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(第4题)
5.如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为2，∠C＝40°，则的长是
.
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(第5题)
6.如图，用一个半径为5
cm
的
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，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(
)
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(第6题)
A.
π
cm
B.
2π
cm
C.
3π
cm
D.
5π
cm
7.如图，小明把一长为4
cm，宽为3
( http: / / www.21cnjy.com )cm的矩形木板在桌面上做无滑动的翻转(顺时针)，木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使得木板与桌面成30°角，则点A翻转到点A2走过的路径长为(
)
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(第7题)
A.
10π
cm
B.
4π
cm
C.
3.5π
cm
D.
π
cm
8.如图所示是一段圆弧形弯道，已知＝50
cm，＝30
cm，求弯道的中心线的长.
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9.如图，⊙O的半径为2，AB，CD
( http: / / www.21cnjy.com )是互相垂直的两条直径，P是⊙O上任意一点(点P与点A，B，C，D不重合)，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为(
)
A.
B.
C.
D.
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )AC＝BC＝2
，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为
.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题)
11.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝
75°.
(1)求证：BD＝CD.
(2)若⊙O的半径为3，求的长.
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12.已知△ABC是等腰直角三
( http: / / www.21cnjy.com )角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一动点(不与点A，B重合)，将△CAD绕点C逆时针旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点.
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(第12题)
(1)如图①，当α＝90°时，G是边AB上一点，且BG＝AD，连结GF.求证：GF∥AC.
(2)如图②，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M.
①当点M与点C，D不重合时，连结CM，求∠CMD的度数.
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长.
