第3章自我评价
一、选择题(每小题2分，共20分)
1.半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(
)
A.
3π
B.
6π
C.
9π
D.
12π
2.有下列命题：①同圆中等弧对等弦；②圆
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)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3.如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(
)
A.
15°
B.
25°
C.
30°
D.
45°
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(第3题)
4.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(
)
A.
64°
B.
58°
C.
72°
D.
55°
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(第4题)
5.一条弦所对的圆心角为60°，则此弦所对的圆周角为(
)
A.30°
B.60°
C.150°
D.30°或150°
6.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是弦AB上任意一点，则线段OM的长不可能是(
)
A.3.5
B.4.5
C.4
D.5
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(第6题)
7.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为(
)
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(第7题)
A.15°
B.28°
C.29°
D.34°
8.如图，正五边形ABCDE放入某平面直角
( http: / / www.21cnjy.com )坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(
)
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(第8题)
A.
(2，－3)
B.
(2，3)
C.
(3，2)
D.
(3，－2)
9.如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是(
)
A.
60°
B.
120°
C.
60°或120°
D.
30°或150°
(第9题)
10.如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°.若M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有(
)
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(第10题)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题(每小题3分，共30分)
11.若一个正多边形的一个外角等于18°，则这个正多边形的边数是
.
12.如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC＝18°，则∠A＝
.
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(第12题)
13.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为
.
(第13题)
14.如图，半圆的圆心为O，直径AB＝12，C为半圆上一点，∠CAB＝20°，
则的长是
.
(第14题)
15.如图，半径为1的半圆形纸片按如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )的方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是
.
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(第15题)
16.如图，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长都相等，则∠BOC的度数是
.
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(第16题)
17.如图，已知点A(2，2)，B(2，1)，将△AOB绕点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，2)的位置，则图中阴影部分的面积为
.
(第17题)
18.如图，在以数轴上的原点O为圆心，
( http: / / www.21cnjy.com )3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°.另一个是以点P为圆心，5为半径的扇形，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a.如果两个扇形的圆弧部分(和)相交，那么实数a的取值范围是
.
(第18题)
19.如图，在平面直角坐标系中，已
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.
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(第19题)
20.如图，AC，BD为⊙O的两条弦，且AC⊥BD，⊙O的半径为，则AB2＋CD2的值为
.
三、解答题(共50分)
21.(6分)如图，⊙O的直径为10
cm，在⊙O中，直径AB与直径CD垂直，以点B为圆心，BC为半径的扇形BCD的面积是多少？
22.(6分)如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形.
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2
，求PD的长.
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23.(8分)在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，B(－6，0)，C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，求点C的坐标.
24.(8分)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长.
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.
25.(10分)如图，已知⊙O上依
( http: / / www.21cnjy.com )次有A，B，C，D四点，＝，连结AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到点E，使BE＝AB，连结EC，F是EC的中点，连结BF.
(1)若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求的长.
(2)求证：BF＝BD.
(3)设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在一点P(不同于点B)，使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系.
26.(12分)如图，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a＜0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)已知M是抛物线上的一个动点，并且点M在
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(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′.
①写出点M′的坐标.
②将直线l绕点A顺时针旋转
( http: / / www.21cnjy.com )得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B，M′到直线l′的距离分别为d1，d2，当d1＋d2最大时，求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).
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一、选择题(每小题2分，共20分)
1.半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D)
A.
3π
B.
6π
C.
9π
D.
12π
2.有下列命题：①同圆中等弧对等弦；②
( http: / / www.21cnjy.com )圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦的直径必垂直于这条弦.其中正确命题的个数是(A)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3.如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(C)
A.
15°
B.
25°
C.
30°
D.
45°
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(第3题)
4.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)
A.
64°
B.
58°
C.
72°
D.
55°
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(第4题)
5.一条弦所对的圆心角为60°，则此弦所对的圆周角为(D)
A.30°
B.60°
C.150°
D.30°或150°
6.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是弦AB上任意一点，则线段OM的长不可能是(A)
A.3.5
B.4.5
C.4
D.5
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
【解】 当OM垂直于AB时，线段OM最短，当点M与点A或点B重合时，OM最长.
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(第6题解)
当OM⊥AB时，M为AB的中点，即AM＝AB＝3.
如解图，连结OA.
在Rt△OAM中，OA＝5，AM＝3，
根据勾股定理，得OM＝4.
当点M与点A或点B重合时，OM＝5.
故线段OM的取值范围为4≤OM≤5.
7.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为(B)
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(第7题)
A.15°
B.28°
C.29°
D.34°
【解】 设半圆的圆心为O，连结OA，OB.
∵点A，B
的读数分别为86°，30°，
∴∠AOB＝86°－30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°.
8.如图，正五边形ABCDE放入某平面直
( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(C)
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(第8题)
A.
(2，－3)
B.
(2，3)
C.
(3，2)
D.
(3，－2)
【解】 ∵点A的坐标为(0，a)，
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上.
∵点C，D的坐标为(b，m)，(c，m)，
∴点C，D关于y轴对称.
∵正五边形ABCDE是轴对称图形，
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，
∴点B，E也关于y轴对称.
∵点B的坐标为(－3，2)，
∴点E的坐标为(3，2).
9.如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是(C)
A.
60°
B.
120°
C.
60°或120°
D.
30°或150°
(第9题)
(第9题解)
【解】 如解图，过点O作OD⊥AB于点D.
∵P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD＝1，
∴∠OAB＝30°，∴∠AOB＝120°，
∴∠AEB＝∠AOB＝60°.
∵∠E＋∠F＝180°，∴∠F＝120°.
∴弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°.
10.如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°.若M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有(D)
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(第10题)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解】 作AB的垂直平分线交⊙O于
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二、填空题(每小题3分，共30分)
11.若一个正多边形的一个外角等于18°，则这个正多边形的边数是 20
.
12.如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC＝18°，则∠A＝72°
.
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(第12题)
13.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为 2
.
(第13题)
14.如图，半圆的圆心为O，直径AB＝12，C为半圆上一点，∠CAB＝20°，
则的长是
.
(第14题)
【解】 连结OC.
∵∠CAB＝20°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝40°，
∴∠AOC＝140°.
∵直径AB＝12，
∴半径OA＝6，
∴的长是＝.
15.如图，半径为1的半圆形纸片按如图所示的方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是－
.
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(第15题)
【解】 如解图，连结OM交AB于点C，连结OA，OB.
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(第15题解)
由题意知，OM⊥AB，且OC＝MC＝.
在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，
∴∠OAC＝30°，AC＝＝.
∴∠AOC＝60°，AB＝2AC＝，
∴∠AOB＝120°，
∴S弓形ABM＝S扇形OAB－S△AOB
＝－××
＝－，
∴S阴影＝S半圆－2S弓形ABM
＝π×12－2
＝－.
16.如图，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长都相等，则∠BOC的度数是125°
.
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(第16题)
【解】 ∵⊙O截△ABC的三条边所得的弦长都相等，
∴点O到三角形三条边的距离相等，
∴OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
即∠OBC＝∠OBA，∠OCB＝∠OCA，
∴∠OBC＋∠OCB＝(180°－∠A)
＝(180°－70°)＝55°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.
17.如图，已知点A(2，2)，B(2，1)，将△AOB绕点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，2)的位置，则图中阴影部分的面积为π
.
(第17题)
(第17题解)
【解】 ∵点A(2，2)，B(2，1)，
∴OA＝4，OB＝.
∵点A(2，2)旋转到点A′(－2，2)，
∴∠B′OB＝∠A′OA＝90°.
如解图.
易得阴影部分的面积＝S扇形OAA′－S扇形OCC′＝π×42－π×()2＝π.
18.如图，在以数轴上的原点O为圆心，
( http: / / www.21cnjy.com )3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°.另一个是以点P为圆心，5为半径的扇形，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a.如果两个扇形的圆弧部分(和)相交，那么实数a的取值范围是－4≤a≤－2
.
(第18题)
【解】 当过点A时，
∵PA＝PC＝5，OA＝3，∴PO＝2，∴a＝－2.
当过点B时，
∵PB＝PC＝5，OB＝3，
∴PO＝＝4，∴a＝－4.
综上所述，－4≤a≤－2.
19.如图，在平面直角坐标系
( http: / / www.21cnjy.com )中，已知点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以点D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是 6
.
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(第19题)
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(第19题解)
【解】 ∵点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，
∴AB＝1－(1－a)＝a，CA＝a＋1－1＝a，
∴AB＝AC.
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝AB＝AC＝a.
如解图，延长AD交⊙D于点P′，此时AP′最大，
∵点A(1，0)，D(4，4)，
∴AD＝5，
∴AP′＝5＋1＝6.
∴a的最大值是6.
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(第20题)
20.如图，AC，BD为⊙O的两条弦，且AC⊥BD，⊙O的半径为，则AB2＋CD2的值为 1
.
【解】 连结BO并延长，交⊙O于点E，连结AE，DE.
∵BE为⊙O的直径，
∴BD⊥DE.
∵BD⊥AC，∴AC∥DE，
∴＝，∴AE＝CD.
∴AB2＋CD2＝AB2＋AE2＝BE2＝1.
三、解答题(共50分)
21.(6分)如图，⊙O的直径为10
cm，在⊙O中，直径AB与直径CD垂直，以点B为圆心，BC为半径的扇形BCD的面积是多少？
(第21题)
【解】 ∵AB，CD都为⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴OC＝OB＝×10＝5(cm)，∠COB＝90°，∠CBD＝90°.
∴BC＝＝＝5
(cm)，
∴S扇形BCD＝＝π(cm2).
22.(6分)如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
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(第22题)
(1)求证：△ABC是等边三角形.
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2
，求PD的长.
【解】 (1)∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
(2)∵△ABC是等边三角形，AB＝2
，
∴AC＝BC＝AB＝2
，∠ACB＝60°.
∵∠PAC＝90°，∠APC＝60°，
∴∠D＝∠ACP＝30°，
∴AP＝CP，AC＝CD.
在Rt△PAC中，∵AP2＋AC2＝CP2，
∴AP2＋AC2＝4AP2，
∴AP＝AC＝2.
同理，AD＝AC＝6.
∴PD＝AD－AP＝6－2＝4.
23.(8分)在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，B(－6，0)，C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，求点C的坐标.
【解】 设线段BA的中点为E.
∵点A(4，0)，B(－6，0)，
∴AB＝10，点E(－1，0).
(1)如解图①所示，过点E
( http: / / www.21cnjy.com )在第二象限作EP⊥BA，且EP＝AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5
.
以点P为圆心，PA长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C.
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA＝∠BPA＝45°，则点C即为所求.
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝EP＝5，PF＝1.
在Rt△PFC中，
∵PF＝1，PC＝5
，
∴由勾股定理，得CF＝＝7，
∴OC＝OF＋CF＝5＋7＝12，
∴点C的坐标为(0，12).
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(第23题解)
(2)如解图②所示，参照(1)作同样操作，同理可求得在y轴负半轴上的点C的坐标为(0，－12).
综上所述，点C的坐标为(0，12)或(0，－12).
24.(8分)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长.
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.
(第24题)
【解】 (1)如解图①，连结OQ.
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB.
在Rt△OBP中，∵∠B＝30°，
∴OP＝OB＝×3＝.
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(第24题解)
(2)如解图②，连结OQ.
在Rt△OPQ中，PQ＝＝.
当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC.
∵∠B＝30°，∴OP＝OB＝.
∴PQ长的最大值为＝.
25.(10分)如图，已知⊙O上依次有A，
( http: / / www.21cnjy.com )B，C，D四点，＝，连结AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到点E，使BE＝AB，连结EC，F是EC的中点，连结BF.
(第25题)
(1)若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求的长.
(2)求证：BF＝BD.
(3)设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在一点P(不同于点B)，使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系.
【解】 (1)连结OB，OD.
∵∠DAB＝120°，
∴∠BOD＝2×(180°－120°)＝120°.
∵⊙O的半径为3，
∴l＝＝2π.
(2)连结AC.
∵AB＝BE，F是EC的中点，
∴BF为△EAC的中位线，
∴BF＝AC.
∵＝，
∴＋＝＋，即＝，
∴BD＝AC.
∴BF＝BD.
(3)过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，则有PB⊥AE.理由如下：
连结PG，PF.
∵BF为△EAC的中位线，
∴BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE.
∵＝，∴∠CAB＝∠DBA.
∴∠FBE＝∠DBA.
∵PB⊥AE，∴∠PBA＝∠PBE＝90°.
∴∠PBG＝∠PBF.
∵G为BD的中点，∴BG＝BD.
由(2)可知BF＝BD.∴BG＝BF.
又∵∠PBG＝∠PBF，BP＝BP，
∴△PBG≌△PBF(SAS).∴PG＝PF.
26.(12分)如图，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a＜0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)已知M是抛物线上的一个动点，并且点M在
( http: / / www.21cnjy.com )第一象限内，连结AM，BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出S的最大值.
(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′.
①写出点M′的坐标.
②将直线l绕点A顺时针旋转得到直线l′，当直
( http: / / www.21cnjy.com )线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B，M′到直线l′的距离分别为d1，d2，当d1＋d2最大时，求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).
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(第26题)
【解】 (1)把x＝0代入y＝－3x＋3，
得y＝3，∴点B(0，3).
把点B(0，3)的坐标代入y＝ax2－2ax＋a＋4，
得3＝a＋4，∴a＝－1，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)把y＝0代入y＝－x2＋2x＋3，
得0＝－x2＋2x＋3，
解得x1＝－1，x2＝3.
∴抛物线与x轴交点的横坐标为－1和3.
∵点M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3.
如解图①，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D.
由题意知，点M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，
∴点D的纵坐标为－m2＋2m＋3.
把y＝－m2＋2m＋3代入y＝－3x＋3，
∴x＝，
∴点D的坐标为，
∴DM＝m－＝.
∴S＝DM·BE＋DM·OE
＝DM(BE＋OE)
＝DM·OB
＝··3
＝
＝－＋.
∵0＜m＜3，
∴当m＝时，
S有最大值，最大值为.
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(第26题解)
(3)①当x＝时，y＝－x2＋2x＋3＝，∴点M′的坐标为.
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，如解图②.
根据题意知：d1＋d2＝BF，
此时只要求出BF的最大值即可.
∵∠BFM′＝90°，
∴点F在以BM′为直径的圆上.
设直线AM′与该圆相交于点H.
∵点C在线段BM′上，
∴点F在优弧上，
∴当点F与点M′重合时，BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1.
∵点A(1，0)，B(0，3)，M′，
∴由勾股定理可求得AB＝，M′B＝，
M′A＝.
过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG＝x.
由勾股定理可得M′B2－BG2＝M′A2－AG2，
∴－x2＝－(－x)2，
解得x＝.
∴GM′＝＝，
∴BG＝GM′，∴∠GBM′＝45°.
∵l1∥l′，∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝180°－∠GBM′－∠BCA＝45°.
