4.1
比例线段（二）
1．下列长度的各组线段中，成比例的是(
)
A.
2，5，6，8
B.
3，6，9，18
C.
1，2，3，5
D.
3，6，7，9
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8
cm，AC＝6
cm，CD是斜边AB上的高，则CD∶AB的值为(
)
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(第2题)
A.
B.
C.
D.
3．已知点C在线段AB的延长线上，且5BC＝2AC，则AB∶AC＝(
)
A.
B.
C.
D.
4．已知A，B两所学校的实际距离是6.3
km，在一张比例尺为1∶150000的城市地图上，他们之间的距离是__
__cm.
5．已知三个数2，4，8，请你再添上一个数，使它们成比例，写出所有符合条件的数：
．
6．在比例尺是1∶500000的地
( http: / / www.21cnjy.com )图上，测得A地与B地的距离为6
cm，则在另一幅比例尺是1∶400000的地图上，A地与B地的距离是多少厘米？
7．如图，在 ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F.
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式．
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．设(2y－z)∶(z＋2x)∶y＝1∶5∶2，求(3y－z)∶(2z－x)∶(x＋3y)的值．
9．已知△ABC中的三边a＝2，b＝4，c＝3，ha，hb，hc分别为a，b，c上的高，则ha∶hb∶hc＝
．
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
11．如图，作线段AB的垂直平分
( http: / / www.21cnjy.com )线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点P，求线段AP与AB的比．
(第11题)
12．如图，在△ABC中，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求的值．
(2)求AB∶AC∶BC.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)
13．如图，在△ABC中，BC＝a.若
( http: / / www.21cnjy.com )D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1＝a；若D2，E2分别是D1B，E1C的中点，则D2E2＝＝a；若D3，E3分别是D2B，E2C的中点，则D3E3＝×＝a……若Dn，En分别是Dn－1B，En－1C的中点，则DnEn的长是多少(n＞1，且n为整数，结果用含a，n的代数式表示)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第13题)4.1
比例线段（三）
1．已知线段a＝1，c＝5，线段b是线段a，c的比例中项，则线段b的值为(B)
A.
2.5
B.
C.
±2.5
D.
±
2．已知b是a，c的比例中项，且a∶b＝7∶3，则b∶c等于(B)
A.9∶7
B.7∶3
C.3∶7
D.7∶9
3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列等式中，正确的是(C)
A.
AB2＝AC·BC
B.
BC2＝AC·AB
C.
AC2＝BC·AB
D.
AC2＝2AB·BC
4．如图，在△ABC中，D是AB上一点．若AD＝4，BD＝5，AC是AD与AB的比例中项，则AC等于(B)
(第4题)
A.
2
B.
6
C.
20
D.
36
5．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6
cm，则BC的长为(C)
A.
(3
－3)cm
B.
(9－3
)cm
C.
(3
－3)cm或(9－3
)cm
D.
(9－3
)cm或(6
－6)cm
6．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的
( http: / / www.21cnjy.com )黄金分割点处最自然得体，若舞台AB的长为20
m，则主持人走到离点A7.6或12.4m处最自然得体(精确到0.1
m)．
7．我们把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称做黄金矩形．现将长度为20
cm的铁丝折成一个黄金矩形，求这个黄金矩形的面积．
【解】 设这个黄金矩形的较长边为x(cm)．根据题意，得
2＝20，解得x＝5
－5.
∴这个黄金矩形的较短边为×(5
－5)＝(15－5
)cm.
∴这个黄金矩形的面积为(5
－5)×(15－5
)＝(100
－200)cm2.
8．如图，已知点P是线段A
( http: / / www.21cnjy.com )B的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则S1__＝__S2(填“>”“<”或“＝”)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
【解】 ∵点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，
∴PA2＝PB·AB.
∵S1＝PA2，S2＝PB·AB，∴S1＝S2.
9．已知实数a，n，m，b满足a( http: / / www.21cnjy.com )m( http: / / www.21cnjy.com )
(第9题)
【解】 ∵AM2＝BM·AB，BN2＝AN·AB，
∴M，N为线段AB的两个黄金分割点．
∴AM＝AB＝(b－a)＝－1，
AN＝AB＝(b－a)＝3－.
∴m－n＝MN＝AM－AN＝(－1)－(3－)＝2
－4.
10．如果a＝1，b＝，c＝，那么(C)
A.
a是b，c的比例中项
B.
c是a，b的比例中项
C.
b是a，c的比例中项
D.
1是a，b，c的第四比例项
【解】 ∵a＝1，b＝，c＝，
∴b2＝＝＝＝ac，
∴b是a，c的比例中项．
11．如图，线段AB＝1，点P1是
( http: / / www.21cnjy.com )线段AB的黄金分割点(AP1＜BP1)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，求APn的长度．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第11题)
【解】 ∵线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(AP1＜BP1)，
∴BP1＝AB＝，
∴AP1＝1－＝.
∵点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，
∴AP2＝×＝，
∴AP3＝，
……
∴APn＝.
12．如图①，点C将线段AB分成两
( http: / / www.21cnjy.com )部分，如果＝，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1和S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
(1)
研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD
是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
(2)
请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)
(3)
研究小组在进一步探究中发现：过点C任
( http: / / www.21cnjy.com )作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连结EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
(4)
如图④，点E是 A
( http: / / www.21cnjy.com )BCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD交DC于点F，显然直线EF是 ABCD的黄金分割线．请你画一条 ABCD的黄金分割线，使它不经过 ABCD各边的黄金分割点．
【解】 (1)“直线CD是△ABC的黄金分割线”正确．理由如下：
易得＝，＝.
∵点D为边AB的黄金分割点，
∴＝.∴＝.
∴直线CD是△ABC的黄金分割线．
(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时S1＝S2＝S，即≠，
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．
(3)∵DF∥CE，∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，∴S△DEC＝S△FCE.
设直线EF与CD交于点G，则S△DGE＝S△FGC.
∴S△ADC＝S四边形AFGD＋S△FGC＝S四边形AFGD＋S△DGE＝S△AEF，S△BDC＝S四边形BEFC.
由(1)，得＝.
∴＝.
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．
(4)画法不唯一，现提供两种画法如下：
画法一：如解图①，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于点M，N，则直线MN就是 ABCD的黄金分割线．
画法二：如解图②，在DF上取一点N，连结EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连结MN，则直线MN就是 ABCD的黄金分割线．
( http: / / www.21cnjy.com )
（第12题解）4.1
比例线段（二）
1．下列长度的各组线段中，成比例的是(B)
A.
2，5，6，8
B.
3，6，9，18
C.
1，2，3，5
D.
3，6，7，9
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8
cm，AC＝6
cm，CD是斜边AB上的高，则CD∶AB的值为(B)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题)
A.
B.
C.
D.
3．已知点C在线段AB的延长线上，且5BC＝2AC，则AB∶AC＝(B)
A.
B.
C.
D.
4．已知A，B两所学校的实际距离是6.3
km，在一张比例尺为1∶150000的城市地图上，他们之间的距离是__4.2__cm.
5．已知三个数2，4，8，请你再添上一个数，使它们成比例，写出所有符合条件的数：1或4或16．
6．在比例尺是1∶5000
( http: / / www.21cnjy.com )00的地图上，测得A地与B地的距离为6
cm，则在另一幅比例尺是1∶400000的地图上，A地与B地的距离是多少厘米？
【解】 设A地与B地的实际距离为x(cm)，
则＝，
∴x＝3000000(cm)．
设在比例尺为1∶400000的地图上，A地与B地的距离为y(cm)，
则＝，
∴y＝7.5(cm)．
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(第7题)
7．如图，在 ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F.
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式．
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
【解】 (1)能成比例．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC.
∵S ABCD＝AB·DE＝AD·BF，
∴AB·DE＝BC·BF，
∴＝.
(2)∵＝，AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，
∴＝，∴BC＝5.
8．设(2y－z)∶(z＋2x)∶y＝1∶5∶2，求(3y－z)∶(2z－x)∶(x＋3y)的值．
【解】 由已知，得
2(2y－z)＝y，即y＝z，①
5(2y－z)＝z＋2x，即x＝5y－3z，②
由①②，得x＝z，③
把①③代入(3y－z)∶(2z－x)∶(x＋3y)，得
(3y－z)∶(2z－x)∶(x＋3y)＝z∶z∶z
＝3∶5∶7.
9．已知△ABC中的三边a＝2，b＝4，c＝3，ha，hb，hc分别为a，b，c上的高，则ha∶hb∶hc＝6∶3∶4．
【解】 ∵三边为a＝2，b＝4，c＝3，面积为定值，可设面积为6k，则ha＝6k，hb＝3k，hc＝4k，
∴ha∶hb∶hc＝6∶3∶4.
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是(D)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
【解】 ∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD，
∴＝.
11．如图，作线段AB的垂直平分线交AB于
( http: / / www.21cnjy.com )点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点P，求线段AP与AB的比．
(第11题)
【解】 连结AC.
设AO＝x，则BO＝x，CO＝x，
∴AP＝AC＝x.
∴线段AP与AB的比是x∶2x＝1∶.
12．如图，在△ABC中，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求的值．
(2)求AB∶AC∶BC.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)
【解】 (1)过点A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AD＝AB.
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴AD＝AC.
∴AB＝AC.∴＝.
(2)∵AB＝2AD，AC＝AD，BD＝AD，CD＝AD，∴BC＝BD＋CD＝(＋1)AD，
∴AB∶AC∶BC＝2∶∶(＋1)．
13．如图，在△ABC中，BC＝a.若D1，
( http: / / www.21cnjy.com )E1分别是AB，AC的中点，则D1E1＝a；若D2，E2分别是D1B，E1C的中点，则D2E2＝＝a；若D3，E3分别是D2B，E2C的中点，则D3E3＝×＝a……若Dn，En分别是Dn－1B，En－1C的中点，则DnEn的长是多少(n＞1，且n为整数，结果用含a，n的代数式表示)
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(第13题)
【解】 DnEn＝
＝a.4.1
比例线段（三）
1．已知线段a＝1，c＝5，线段b是线段a，c的比例中项，则线段b的值为(
)
A.
2.5
B.
C.
±2.5
D.
±
2．已知b是a，c的比例中项，且a∶b＝7∶3，则b∶c等于(
)
A.9∶7
B.7∶3
C.3∶7
D.7∶9
3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列等式中，正确的是(
)
A.
AB2＝AC·BC
B.
BC2＝AC·AB
C.
AC2＝BC·AB
D.
AC2＝2AB·BC
4．如图，在△ABC中，D是AB上一点．若AD＝4，BD＝5，AC是AD与AB的比例中项，则AC等于(
)
(第4题)
A.
2
B.
6
C.
20
D.
36
5．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6
cm，则BC的长为(
)
A.
(3
－3)cm
B.
(9－3
)cm
C.
(3
－3)cm或(9－3
)cm
D.
(9－3
)cm或(6
－6)cm
6．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的
( http: / / www.21cnjy.com )黄金分割点处最自然得体，若舞台AB的长为20
m，则主持人走到离点A
m处最自然得体(精确到0.1
m)．
7．我们把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称做黄金矩形．现将长度为20
cm的铁丝折成一个黄金矩形，求这个黄金矩形的面积．
8．如图，已知点P是线段AB
( http: / / www.21cnjy.com )的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则S1__
__S2(填“>”“<”或“＝”)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
9．已知实数a，n，m，b满足a( http: / / www.21cnjy.com )m．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第9题)
10．如果a＝1，b＝，c＝，那么(
)
A.
a是b，c的比例中项
B.
c是a，b的比例中项
C.
b是a，c的比例中项
D.
1是a，b，c的第四比例项
11．如图，线段AB＝1，点P1是线段
( http: / / www.21cnjy.com )AB的黄金分割点(AP1＜BP1)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，求APn的长度．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第11题)
12．如图①，点C将线段AB分成两部分，
( http: / / www.21cnjy.com )如果＝，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1和S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
(1)
研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD
是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
(2)
请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)
(3)
研究小组在进一步探究中发现：过点C任
( http: / / www.21cnjy.com )作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连结EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
(4)
如图④，点E是 ABCD的边
( http: / / www.21cnjy.com )AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD交DC于点F，显然直线EF是 ABCD的黄金分割线．请你画一条 ABCD的黄金分割线，使它不经过 ABCD各边的黄金分割点．第4章
相似三角形
4.1
比例线段（一）
1．把ad＝bc(a，b，c，d都不为0)写成比例式，下列四个选项中，错误的是(D)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
2．若＝，则的值为(D)
A.
1
B.
C.
D.
3．由5a＝6b(a≠0)，可得比例式(D)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
4．下列四个数能构成一个比例式的是(B)
A.
a＝10，b＝5，c＝4，d＝7
B.
a＝1，b＝，c＝，d＝
C.
a＝8，b＝5，c＝4，d＝3
D.
a＝9，b＝，c＝3，d＝
5．若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是－2．
6．如果＝＝＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝__3__．
7．已知＝＝≠0，则的值为____．
8．求下列各式中x的值．
(1)
(－3)∶x＝2∶(－6)．
【解】 ∵2x＝(－3)×(－6)，∴x＝9.
(2)
x∶(x＋1)＝(1－x)∶3.
【解】 ∵(x＋1)(1－x)＝3x，∴1－x2＝3x，
∴x2＋3x－1＝0，∴x＝.
9．已知＝＝，且xyz≠0，求的值．
【解】 设＝＝＝k(k≠0)，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝＝－3.
10．已知＝＝＝k，则函数y＝kx＋k的图象必经过(B)
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
【解】 当a＋b＋c＝0时，k＝＝＝－1，此时直线y＝－x－1经过第二、三、四象限．
当a＋b＋c≠0时，k＝＝，此时直线y＝x＋经过第一、二、三象限．
∴函数y＝kx＋k的图象必过第二、三象限．
11．若＝＝，且2a－b＋3c＝21，则a∶b∶c＝4∶8∶7．
【解】 设＝＝＝k(k≠0)，
则a＋2＝3k，b＝4k，c＋5＝6k.
∴a＝3k－2，c＝6k－5.
∴2(3k－2)－4k＋3(6k－5)＝21，解得k＝2.
∴a＝4，b＝8，c＝7，∴a∶b∶c＝4∶8∶7.
12．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生
( http: / / www.21cnjy.com )与女生的人数比是3∶2，后来又有6名女生参加进来，此时男生与女生人数的比为5∶4，求原来各有多少名男生和女生？
【解】 设原来有男生x人，女生y人，由题意，得
即解得
答：原来有男生45人，女生30人．
13．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝10，且＋＋＝，则＋＋＝．
【解】 ∵a＋b＋c＝10，∴a＝10－(b＋c)，b＝10－(a＋c)，c＝10－(a＋b)，
∴＋＋
＝－＋－＋－
＝＋＋－3
＝×10－3＝－3＝.第4章
相似三角形
4.1
比例线段（一）
1．把ad＝bc(a，b，c，d都不为0)写成比例式，下列四个选项中，错误的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
2．若＝，则的值为(
)
A.
1
B.
C.
D.
3．由5a＝6b(a≠0)，可得比例式(
)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
4．下列四个数能构成一个比例式的是(
)
A.
a＝10，b＝5，c＝4，d＝7
B.
a＝1，b＝，c＝，d＝
C.
a＝8，b＝5，c＝4，d＝3
D.
a＝9，b＝，c＝3，d＝
5．若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是
．
6．如果＝＝＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝__
__．
7．已知＝＝≠0，则的值为__
__．
8．求下列各式中x的值．
(1)
(－3)∶x＝2∶(－6)．
(2)
x∶(x＋1)＝(1－x)∶3.
9．已知＝＝，且xyz≠0，求的值．
10．已知＝＝＝k，则函数y＝kx＋k的图象必经过(
)
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
11．若＝＝，且2a－b＋3c＝21，则a∶b∶c＝
．
12．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与
( http: / / www.21cnjy.com )女生的人数比是3∶2，后来又有6名女生参加进来，此时男生与女生人数的比为5∶4，求原来各有多少名男生和女生？
13．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝10，且＋＋＝，则＋＋＝
．
