4.2
由平行线截得的比例线段
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别
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)
A.
B.
C.
D.
1
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(第1题)
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝(
)
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(第2题)
A.
B.
1
C.
D.
3．如图，已知直线a∥b，线段AD与
( http: / / www.21cnjy.com )BC相交于点O.若OB＝1
cm，OC＝1.2
cm，CD＝1.5
cm，则AB＝__
__cm.
(第3题)
4．如图，练习本中的横格线都平行，且相
( http: / / www.21cnjy.com )邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4
cm，则线段BC＝__
__cm.
(第4题)
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC边上，且AE∶EC＝1∶2，BE交AD于点P，则＝
．
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(第5题)
6．如图，在Rt△ABC中，∠
( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是__
__．
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(第6题)
7．如图，已知l1∥l2∥l3，＝.求证：＝.
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(第7题)
8．如图，在 ABCD中，DF交AB于点E，交CB的延长线于点F.求证：EA·CF＝AB·AD.
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(第8题)
9．如图，在矩形ABCD中，点E在CD
( http: / / www.21cnjy.com )上，且AE＜AC.若P，Q两点分别在AD，AE上，AP∶PD＝4∶1，AQ∶QE＝4∶1，直线PQ交AC于点R，且Q，R两点到CD的距离分别为q，r，则下列关系正确的是(
)
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(第9题)
A.
q＜r，QE＝RC
B.
q＜r，QE＜RC
C.
q＝r，QE＝RC
D.
q＝r，QE＜RC
10．如图，△ADC与△CBE均为正三角形，点A，C，B在同一直线上．求证：DM·BN＝DN·CM.
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(第10题)
11．如图，将边长为10的正三角形OAB放
( http: / / www.21cnjy.com )置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点(不与端点A，B重合)，过点C作CD⊥OB于点D.若点C，D都在反比例函数y＝上(k＞0，x＞0)，求k的值．
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(第11题)
12．如图，D为△ABC的边BC的中点，△ABE和△ACF均为正三角形，M，N分别为BE，CF的中点．求∠MDN的度数．
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(第12题)
13．如图，在 ABCD中，延长CD到点E，使DE＝CD，连结BE交AD于点F，交AC于点G.
(1)求证：AF＝DF.
(2)若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长．
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(第13题)4.2
由平行线截得的比例线段
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若＝，则＝(B)
A.
B.
C.
D.
1
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(第1题)
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝(C)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题)
A.
B.
1
C.
D.
3．如图，已知直线a∥b，线段AD与BC
( http: / / www.21cnjy.com )相交于点O.若OB＝1
cm，OC＝1.2
cm，CD＝1.5
cm，则AB＝__1.25__cm.
(第3题)
4．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两
( http: / / www.21cnjy.com )条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4
cm，则线段BC＝__12__cm.
(第4题)
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC边上，且AE∶EC＝1∶2，BE交AD于点P，则＝1∶1．
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(第5题)
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，
( http: / / www.21cnjy.com )AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是__4__．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
7．如图，已知l1∥l2∥l3，＝.求证：＝.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题)
【解】 ∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
∴＝，
即＝.
8．如图，在 ABCD中，DF交AB于点E，交CB的延长线于点F.求证：EA·CF＝AB·AD.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
【解】 ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥FC，AB∥CD，BC＝AD，
∴＝，＝＝，
∴＝，
∴EA·CF＝AB·AD.
9．如图，在矩形ABCD中
( http: / / www.21cnjy.com )，点E在CD上，且AE＜AC.若P，Q两点分别在AD，AE上，AP∶PD＝4∶1，AQ∶QE＝4∶1，直线PQ交AC于点R，且Q，R两点到CD的距离分别为q，r，则下列关系正确的是(D)
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(第9题)
A.
q＜r，QE＝RC
B.
q＜r，QE＜RC
C.
q＝r，QE＝RC
D.
q＝r，QE＜RC
【解】 过点Q作QM⊥CD于点M，过点R作RN⊥CD于点N.
∵AP∶PD＝4∶1，AQ∶QE＝4∶1，
∴＝＝4，∴PQ∥CD.
∵QM⊥DC，RN⊥DC，∴QM＝RN，即q＝r.
∵＝＝4，∴＝＝.
∵AE＜AC，∴QE＜RC.
10．如图，△ADC与△CBE均为正三角形，点A，C，B在同一直线上．求证：DM·BN＝DN·CM.
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(第10题)
【解】 ∵△ADC与△CEB均为正三角形，
∴AD＝DC＝AC，CE＝EB＝BC，
∠ACD＝∠CEB＝∠EBC＝∠BCE＝∠CAD＝∠ADC＝60°，
∴CD∥BE，CE∥AD，
∴＝，＝，＝，
∴＝，
∴＝，即＝，
∴DM·BN＝DN·CM.
11．如图，将边长为10的正三角形OA
( http: / / www.21cnjy.com )B放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点(不与端点A，B重合)，过点C作CD⊥OB于点D.若点C，D都在反比例函数y＝上(k＞0，x＞0)，求k的值．
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(第11题)
【解】 过点A作AE⊥OB于点E.
∵△OAB为边长为10的正三角形，
∴点A的坐标为(10，0)，点B的坐标为(5，5
)，
∴点E的坐标为.
∵CD⊥OB，AE⊥OB，
∴CD∥AE，∴＝.
易得点B，E的横坐标之差为，纵坐标之差为.
设＝＝n(0＜n＜1)，
则点D的横坐标为5－·n＝，纵坐标为5
－·n＝.
∴点D的坐标为.
同理，点C的坐标为(5＋5n，5
－5
n)．
∵点C，D均在反比例函数y＝的图象上，
∴解得n＝或n＝0(舍去)．∴k＝9
.
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(第12题)
12．如图，D为△ABC的边BC的中点，△ABE和△ACF均为正三角形，M，N分别为BE，CF的中点．求∠MDN的度数．
【解】 如解图，连结CE，BF.
∵△ABE，△ACF都是正三角形，
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(第12题解)
∴AB＝AE，AF＝AC，∠CAF＝∠BAE＝60°，
∴∠CAF＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，
即∠BAF＝∠EAC，
∴△BAF≌△EAC(SAS)．
∴BF＝EC.
∵D是BC的中点，M是BE的中点，
∴DM平行且等于CE.
同理，DN平行且等于BF.∴∠MDN＝∠1.
由△BAF≌△EAC，得∠2＝∠3.
∵∠2＋∠EAB＝∠3＋∠4，
∴∠4＝∠EAB＝60°，
∴∠1＝180°－∠4＝120°.∴∠MDN＝120°.
13．如图，在 ABCD中，延长CD到点E，使DE＝CD，连结BE交AD于点F，交AC于点G.
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(第13题)
(1)求证：AF＝DF.
(2)若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长．
【解】 (1)如解图，连结BD，AE.
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(第13题解)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，AB＝CD.
∵DE＝CD，∴AB＝DE.
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AF＝DF.
(2)由(1)，得AB＝DE.
∵DE＝1，∴AB＝1.
如解图，在BC上截取BN＝AB＝1，连结AN.
∵∠ABC＝60°，
∴△ANB是等边三角形．
∴AN＝BN＝1，∠ANB＝∠BAN＝60°.
∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN，
∴∠ACN＝∠CAN＝×60°＝30°，
∴∠BAC＝90°.
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得AC＝＝.
∵AB∥CD，∴＝，
∴＝，∴AG＝.
在Rt△BGA中，
由勾股定理，得BG＝＝.
∵AB∥CD，∴＝＝，
∴GE＝，∴BE＝＋＝2
.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BF＝BE＝，∴FG＝－＝.
