4.3
相似三角形
1．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2，则(C)
A.∠A
是∠A′的2倍
B.∠A′是∠A
的2倍
C.AB是A′B′的2倍
D.A′B′是AB的2倍
2．已知△ABC∽△A′B′C′，∠A＝45°，∠B＝105°，则∠C′等于(D)
A.105°
B.80°
C.45°
D.30°
3．如图，已知△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是(B)
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(第3题)
A.1∶2
B.1∶3
C.2∶3
D.3∶2
4．已知在△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形的最长边是36，则最短边是(C)
A.
27 B.
12 C.
18 D.
20
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论中，一定正确的是(A)
A.
AB2＝BC·BD
B.
AB2＝AC·BD
C.
AB·AD＝BC·BD
D.
AB·AC＝AD·BD
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(第5题)
(第6题)
6．如图，若△ADE∽△ACB，且＝，DE＝10，则BC＝__15__．
7．如图，已知AB与CD交于点O，△OBD∽△OAC.若＝，OB＝4，求AB的长．
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(第7题)
【解】 ∵△OBD∽△OAC，
∴＝，即＝，
∴OA＝6，∴AB＝OA＋OB＝10.
8．已知三角形的三边之比是3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边是21
cm，求另两边之和．
【解】 ∵三角形的三边之比是3∶5∶7，
∴与之相似的三角形的三边之比也是3∶5∶7，
∵最长边是21
cm，
∴另两边之和是21×＝24(cm)．
9．如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚B
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cm，梯上一点D距墙60
cm，AD的长为100
cm，且△ADE∽△ABC，试求梯子AB的长．
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(第9题)
【解】 由题意，得BC＝80，DE＝60，AD＝100.
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴AB＝＝(cm)．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(
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(第10题)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【解】 ∵点P在反比例函数y＝－的图象上，
∴设点P.
易得OA＝2，OB＝1，OQ＝|x|，PQ＝.
当△PQO∽△AOB时，则＝，
∴＝，解得x＝±.
∴点P的坐标为或.
同理，当△PQO∽△BOA时，
可求得点P的坐标为或.
综上所述，相应的点P共有4个．
11．如果有一个直角三角形的两条边长分别是10和26，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是5，13和x，求x的值．
【解】 ∵一个直角三角形的两条边长分别是10和26，
∴此直角三角形的第三边长为或，
即24或2.
当＝＝时，x＝12；
当＝＝时，x＝.
∴x＝12或.
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点B.试在y轴上找一点P，使△AOP与△AOB相似，你能找出几个这样的点(点P与点B不重合)？分别求出对应AP的长度．
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(第12题)
【解】 可求得点A(－2，0)，B(0，1)，∴＝.
∵点P在y轴上，且点P与点B不重合，
∴∠AOB＝∠AOP＝90°.
若△AOP与△AOB相似，
则＝或＝，
∴OP＝4或OP＝1.
∴当OP＝4时，点P(0，4)或P(0，－4)，此时AP＝＝2
；
当OP＝1时，点P(0，－1)，此时AP＝＝.
综上所述，共3个点满足条件，分别为点P1(0，4)，P2(0，－4)，P3(0，－1)，AP1＝AP2＝2
，AP3＝.
13．如图，直线y＝ax＋
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(第13题)
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若Q为反比例函数上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于点H，当以Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
【解】 (1)把点A(－2，0)的坐标代入y＝ax＋1，得a＝，
∴y＝x＋1.
∵点P在直线y＝x＋1上，且点P的纵坐标为2，
∴2＝x＋1，解得x＝2.
∴点P的坐标为(2，2)．
∵点P在反比例函数y＝上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)设点Q(a，b)．
∵点Q(a，b)在反比例函数y＝上，
∴b＝.
当△QCH∽△BAO时，可得＝，
即＝，
整理，得a－2＝，
解得a＝4或a＝－2(不合题意，舍去)．
∴b＝＝1.
∴点Q(4，1)．
当△QCH∽△ABO时，可得＝，
即＝，
整理，得a2－2a＝2，
解得a＝1＋或a＝1－(不合题意，舍去)．
∴b＝＝2
－2.
∴点Q(1＋，2
－2)．
综上所述，点Q的坐标为(4，1)或(1＋，2
－2)．4.3
相似三角形
1．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2，则(
)
A.∠A
是∠A′的2倍
B.∠A′是∠A
的2倍
C.AB是A′B′的2倍
D.A′B′是AB的2倍
2．已知△ABC∽△A′B′C′，∠A＝45°，∠B＝105°，则∠C′等于(
)
A.105°
B.80°
C.45°
D.30°
3．如图，已知△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是(
)
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(第3题)
A.1∶2
B.1∶3
C.2∶3
D.3∶2
4．已知在△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形的最长边是36，则最短边是(
)
A.
27 B.
12 C.
18 D.
20
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论中，一定正确的是(
)
A.
AB2＝BC·BD
B.
AB2＝AC·BD
C.
AB·AD＝BC·BD
D.
AB·AC＝AD·BD
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(第5题)
(第6题)
6．如图，若△ADE∽△ACB，且＝，DE＝10，则BC＝__
__．
7．如图，已知AB与CD交于点O，△OBD∽△OAC.若＝，OB＝4，求AB的长．
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(第7题)
8．已知三角形的三边之比是3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边是21
cm，求另两边之和．
9．如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚
( http: / / www.21cnjy.com )B距墙80
cm，梯上一点D距墙60
cm，AD的长为100
cm，且△ADE∽△ABC，试求梯子AB的长．
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(第9题)
10．如图，在平面直角坐标系中，已
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)
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(第10题)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
11．如果有一个直角三角形的两条边长分别是10和26，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是5，13和x，求x的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝
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(第12题)
13．如图，直线y＝ax＋1与x轴，
( http: / / www.21cnjy.com )y轴分别相交于A，B两点，与反比例函数y＝(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为(－2，0)．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若Q为反比例函数上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于点H，当以Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
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(第13题)
