4.4
两个三角形相似的判定(三)
1．有下列命题：①三边对应成
( http: / / www.21cnjy.com )比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的命题是(
)
A.
①③
B.
①④
C.
①②④
D.
①③④
2．下列各组条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是(
)
A.∠A＝∠D，∠B＝∠F
B.＝，∠B＝∠D
C.＝＝
D.＝，∠B＝∠D
3．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若△ABC∽△CAD，则CD等于(
)
(第3题)
A.
B.
C.
D.
4．下列四组三角形中，相似的一组是(
)
A.在Rt△ABC中，直角边AC＝6，斜边AB＝10；在Rt△A′B′C′中，两条直角边A′C′＝16，B′C′＝12
B.在△ABC中，∠A＝42°，∠B＝118°；
在△A′B′C′中，∠A′＝118°，∠B′＝15°
C.在△ABC中，AB＝18，AC＝4，∠A＝105°；
在△A′B′C′中，A′B′＝16，B′C′＝4，∠A′＝100°
D.在△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35；
在△A′B′C′中，A′B′＝36，B′C′＝40，C′A′＝75
5．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(
)
(第5题)
A.
①和②
B.
②和③
C.
①和③
D.
②和④
6．如图，已知＝＝.求证：
(1)∠BAD＝∠CAE.
(2)∠ABD＝∠ACE.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
7．如图，已知O为△ABC内一点，A′，B′，C′分别为OA，OB，OC的中点．求证：△A′B′C′∽△ABC.
(第7题)
8．如图，在正方形网格上，若要使△ABC∽△PBD，则点P应在(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
A.点P1处
B.点P2处
C.点P3处
D.点P4处
9．现要做两个形状为三角形
( http: / / www.21cnjy.com )的框架，其中甲三角形框架的三边长分别为4，5，6，乙三角形框架的一边长为2.若要使这两个三角形相似，则乙三角形框架的另外两边长可以是
．
10．如图，
△PQR在边长为1个单位的方
( http: / / www.21cnjy.com )格纸中，它的各个顶点都在小正方形的顶点位置，其中A，B，C，D也是小正方形的顶点，那么以P，Q，__
__(填“A”“B”“C”或“D”)为顶点的三角形与△PQR相似．
(第10题)
11．如图所示，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠BDC＝__
__．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第11题)
12．如图，三个边长为a的小正方形拼成一个矩形AEDF，求∠1＋∠2的值．
(第12题)
13．在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，
( http: / / www.21cnjy.com )以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5方格纸中，已知点A(0，－2)，B(－1，0)，作格点三角形ABC，使它和三角形OAB相似(相似比不为1)，求点C的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第13题)4.4
两个三角形相似的判定(二)
1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
(第2题)
2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
3．如图，在方格纸中，△ABC和△PED的顶点均在格点上，要使△ABC∽△PED，则点P所在的格点为(
)
A.
P1 B.
P2 C.
P3 D.
P4
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
4．如图，在△ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )D，E分别是AB，AC上的点，有下列条件：①∠AED＝∠B；②＝；③＝.其中能够判断△ADE与△ACB相似的有(
)
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
(第5题)
5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(
)
A.
∠ABP＝∠C
B.
∠APB＝∠ABC
C.
＝
D.
＝
6．如图，在平面直角坐标
( http: / / www.21cnjy.com )系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，点C在x轴上(点C与点A不重合)．当点C的坐标为
时，以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
7．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
∠A＝100°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝100°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.
8．如图，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED.
(第8题)
9．在△ABC中，E是AB上一点，AE＝2，BE＝3，AC＝4.在AC上取一点D，使△ADE与△ABC相似，则AD的值是(
)
A.
B.
C.
或
D.
或
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥
( http: / / www.21cnjy.com )BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝8.若DC边上有一点P，使△PAD与△PBC相似，则符合条件的点P有(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC，那么图中相似的三角形共有多少对？并证明．
(第11题)
12．如图①，△ABC与△CDE是等腰
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，M，N分别是斜边AB，DE的中点，P是AD的中点，连结AE，BD，PM，PN.
(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论．
(2)现将图①中的△CDE绕点C顺时针旋
( http: / / www.21cnjy.com )转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD，BC分别交于点G，H，O.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)4.4
两个三角形相似的判定(一)
1．如图，在△ABC中，DE∥BC.若＝，DE＝4，则BC＝(D)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12
2．有一个角相等的两个等腰三角形(C)
A.
一定相似
B.
一定不相似
C.
不一定相似
D.
一定全等
3．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，AE交BD于点F.如果＝，那么的值为(B)
A.
B.
C.
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
(第4题)
4．如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为(C)
A.
B.
7
C.
D.
5．如图，在 ABCD中，F是BC上一点
( http: / / www.21cnjy.com )，直线DF与AB的延长线交于点E，作BP∥DF，与AD交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED(答案不唯一)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题)
6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2
，AB＝3，则BD＝____．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为4__．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题)
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.
(第8题)
【解】 ∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴∠FAE＋∠C＝90°.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE＋∠C＝90°.
∴∠FAE＝∠CBE.
又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，
∴△AFE∽△BCE.
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．
(第9题)
【解】 结论：△AEC∽△ACD.
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC＋∠B＝180°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∴∠ADC＋∠ACB＝180°.
又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，
∴∠ACE＝∠ADC.
又∵∠EAC＝∠CAD，
∴△AEC∽△ACD.
10．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC的值为(B)
A.
1∶2
B.
1∶3
C.
1∶4
D.
2∶3
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题)
【解】 如解图，连结BD，交AC于点O.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题解)
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥DB，且EF＝DB，
∴△AEF∽△ADB，△AEG∽△ADO，
∴＝＝＝.
∴G为AO的中点．
∴AG＝GO.
又∵OA＝OC，
∴AG∶GC＝1∶3.
11．已知在 ABCD中，点E在直线AD上，AE＝AD，连结CE交BD于点F，则EF∶CF的值是或．
【解】 当点E在线段AD上时，如解图①.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF∶CF＝DE∶BC.
∵AE＝AD，
∴DE＝2AE＝AD＝BC，
∴DE∶BC＝2∶3，
∴EF∶CF＝2∶3.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第11题解)
当点E在线段DA的延长线上时，如解图②.
同上可得△EFD∽△CFB，
∴EF∶CF＝DE∶BC.
∵AE＝AD，
∴DE＝4AE＝AD＝BC，
∴DE∶BC＝4∶3，∴EF∶CF＝4∶3.
综上所述，EF∶CF的值是或.
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝9
( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC＝5
cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2
cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以
cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(s)(0≤t≤5)，连结MN.
(1)若BM＝BN，求t的值．
(2)若以M，B，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)
【解】 (1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝10，BC＝5
.
由题意，得BM＝2t，CN＝t，
∴BN＝5
－t.
当BM＝BN时，2t＝5
－t，解得t＝10
－15.
(2)分两种情况：
①当△MBN∽△ABC时，
＝，即＝，解得t＝.
②当△NBM∽△ABC时，
＝，即＝，解得t＝.
综上所述，当t＝或t＝时，△MBN与△ABC相似．
(3)如解图，过点M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题解)
∴＝，即＝，解得MD＝t.
设四边形ACNM的面积为y，
则y＝×5×5
－(5
－t)×t＝t2－t＋＝＋.
∴当t＝时，y取得最小值，为，
即当t＝时，四边形ACNM的面积最小，为
cm2.
13．如图，在△ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )∠C＝90°，∠A＝30°.在△A′B′C′中，∠C′＝90°，
A′C′＝B′C′.能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第13题)
【解】 能分割，如解图所示(答案不唯一)．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(第13题解)4.4
两个三角形相似的判定(三)
1．有下列命题：①三边对应成
( http: / / www.21cnjy.com )比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的命题是(A)
A.
①③
B.
①④
C.
①②④
D.
①③④
2．下列各组条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是(D)
A.∠A＝∠D，∠B＝∠F
B.＝，∠B＝∠D
C.＝＝
D.＝，∠B＝∠D
3．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若△ABC∽△CAD，则CD等于(A)
(第3题)
A.
B.
C.
D.
4．下列四组三角形中，相似的一组是(A)
A.在Rt△ABC中，直角边AC＝6，斜边AB＝10；在Rt△A′B′C′中，两条直角边A′C′＝16，B′C′＝12
B.在△ABC中，∠A＝42°，∠B＝118°；
在△A′B′C′中，∠A′＝118°，∠B′＝15°
C.在△ABC中，AB＝18，AC＝4，∠A＝105°；
在△A′B′C′中，A′B′＝16，B′C′＝4，∠A′＝100°
D.在△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35；
在△A′B′C′中，A′B′＝36，B′C′＝40，C′A′＝75
5．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(C)
(第5题)
A.
①和②
B.
②和③
C.
①和③
D.
②和④
6．如图，已知＝＝.求证：
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
(1)∠BAD＝∠CAE.
(2)∠ABD＝∠ACE.
【解】 (1)∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE.
(2)∵＝，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE.
7．如图，已知O为△ABC内一点，A′，B′，C′分别为OA，OB，OC的中点．求证：△A′B′C′∽△ABC.
(第7题)
【解】 ∵A′，B′分别为OA，OB的中点，
∴A′B′是△OAB的中位线，
∴＝.
同理，＝，＝.
∴＝＝.
∴△A′B′C′∽△ABC.
8．如图，在正方形网格上，若要使△ABC∽△PBD，则点P应在(C)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
A.点P1处
B.点P2处
C.点P3处
D.点P4处
【解】 若设每个小正方形的边长为1，
则AC∶AB∶BC＝∶1∶，
∴PD∶PB∶BD＝∶1∶，
∴点P只能在点P3处，故选C.
9．现要做两个形状为三角形的框架，其中
( http: / / www.21cnjy.com )甲三角形框架的三边长分别为4，5，6，乙三角形框架的一边长为2.若要使这两个三角形相似，则乙三角形框架的另外两边长可以是和3或和或和．
【解】 设另外两边长为x，y(x①＝＝，解得x＝，y＝3.
②＝＝，解得x＝，y＝.
③＝＝，解得x＝，y＝.
综上所述，乙三角形框架的另外两边长可以是和3或和或和.
10．如图，
△PQR在边长为1个单位
( http: / / www.21cnjy.com )的方格纸中，它的各个顶点都在小正方形的顶点位置，其中A，B，C，D也是小正方形的顶点，那么以P，Q，__B__(填“A”“B”“C”或“D”)为顶点的三角形与△PQR相似．
(第10题)
【解】 由勾股定理，得QR＝，BP＝，PQ＝.
又∵PR＝2，QB＝5，
∴＝＝，＝＝，＝，
∴＝＝，∴△QBP∽△PQR.
11．如图所示，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠BDC＝__135°__．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第11题)
【解】 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得
AB＝，DB＝，DC＝.
又∵AD＝1，BC＝5，
∴＝＝＝，
∴△ABD∽△DCB，
∴∠ABD＝∠DCB.
∵∠ABD＋∠DBC＝45°，
∴∠DCB＋∠DBC＝45°，
∴∠BDC＝135°.
(第12题)
12．如图，三个边长为a的小正方形拼成一个矩形AEDF，求∠1＋∠2的值．
【解】 由勾股定理，得BC＝a，BA＝a，BD＝2a，AC＝a，AD＝a.
∴＝＝，＝＝，
＝＝，∴＝＝，
∴△ABC∽△DBA.∴∠2＝∠BAC.
∴∠1＋∠2＝∠1＋∠BAC＝∠ABF.
∵∠ABF＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.
13．在方格纸中，每个小方格的顶点称为格
( http: / / www.21cnjy.com )点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5方格纸中，已知点A(0，－2)，B(－1，0)，作格点三角形ABC，使它和三角形OAB相似(相似比不为1)，求点C的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第13题)
【解】 由题意，得OA＝2，OB＝1.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝.
∵相似比不为1，
∴△OAB∽△CAB或△OAB∽△CBA不合题意，
∴△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论：
①∠ABC＝90°，
当△BCA∽△OAB时，＝＝，
即＝＝，
解得AC＝5，BC＝2
.
分别以点A，B为圆心，5，2
为半径作圆，两圆的交点C的坐标是(3，2)．
同理，当△BAC∽△OAB时，可知不存在这样的格点C.
②∠BAC＝90°，
当△ACB∽△OAB时，＝＝，
即＝＝，
解得AC＝2
，BC＝5.
易得点C的坐标是(4，0)．
同理，当△ABC∽△OAB时，可知不存在这样的格点C.
综上所述，点C的坐标为(3，2)或(4，0)．4.4
两个三角形相似的判定(一)
1．如图，在△ABC中，DE∥BC.若＝，DE＝4，则BC＝(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12
2．有一个角相等的两个等腰三角形(
)
A.
一定相似
B.
一定不相似
C.
不一定相似
D.
一定全等
3．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，AE交BD于点F.如果＝，那么的值为(
)
A.
B.
C.
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
(第4题)
4．如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为(
)
A.
B.
7
C.
D.
5．如图，在 ABCD中，F是BC上一
( http: / / www.21cnjy.com )点，直线DF与AB的延长线交于点E，作BP∥DF，与AD交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题)
6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2
，AB＝3，则BD＝__
__．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为
．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题)
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.
(第8题)
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，A
( http: / / www.21cnjy.com )B＝AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．
(第9题)
10．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC的值为(
)
A.
1∶2
B.
1∶3
C.
1∶4
D.
2∶3
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题)
11．已知在 ABCD中，点E在直线AD上，AE＝AD，连结CE交BD于点F，则EF∶CF的值是
．
12．如图，在Rt△ABC中，∠A
( http: / / www.21cnjy.com )CB＝90°，AC＝5
cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2
cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以
cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(s)(0≤t≤5)，连结MN.
(1)若BM＝BN，求t的值．
(2)若以M，B，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，
( http: / / www.21cnjy.com )∠A＝30°.在△A′B′C′中，∠C′＝90°，
A′C′＝B′C′.能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第13题)4.4
两个三角形相似的判定(二)
1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
(第2题)
2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)
( http: / / www.21cnjy.com )
3．如图，在方格纸中，△ABC和△PED的顶点均在格点上，要使△ABC∽△PED，则点P所在的格点为(C)
A.
P1 B.
P2 C.
P3 D.
P4
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
4．如图，在△ABC中，D，E分别是A
( http: / / www.21cnjy.com )B，AC上的点，有下列条件：①∠AED＝∠B；②＝；③＝.其中能够判断△ADE与△ACB相似的有(A)
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
(第5题)
5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D)
A.
∠ABP＝∠C
B.
∠APB＝∠ABC
C.
＝
D.
＝
6．如图，在平面直角坐标系中，有两
( http: / / www.21cnjy.com )点A(4，0)，B(0，2)，点C在x轴上(点C与点A不重合)．当点C的坐标为(1，0)或(－1，0)或(－4，0)时，以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
7．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
∠A＝100°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝100°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.
【解】 △ABC∽△A′B′C′.理由如下：
∵＝，＝＝，∴＝.
又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
(第8题)
8．如图，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED.
【解】 ∵AB·AD＝AC·AE，
∴＝.
又∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED.
9．在△ABC中，E是AB上一点，AE＝2，BE＝3，AC＝4.在AC上取一点D，使△ADE与△ABC相似，则AD的值是(C)
A.
B.
C.
或
D.
或
(第9题解)
【解】 如解图．
①当△ADE∽△ABC时，有＝.
∵AE＝2，BE＝3，∴AB＝5.
∴＝，∴AD＝.
②当△AED∽△ABC时，有＝，
∴＝，∴AD＝.
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥
( http: / / www.21cnjy.com )BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝8.若DC边上有一点P，使△PAD与△PBC相似，则符合条件的点P有(C)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解】 设PD＝x，则PC＝8－x.
在△PAD与△PBC中，∠D＝∠C＝90°.
①若△PAD∽△PBC，则＝，即＝，
解得x＝，符合题意．
②若△PAD∽△BPC，则＝，即＝，
解得x＝4±，均符合题意．
综上所述，符合条件的点P有3个．
(第11题)
11．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC，那么图中相似的三角形共有多少对？并证明．
【解】 图中相似三角形共有3对．证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB.
∵DE＝EC，FC＝BC，∴EC＝BC＝2CF，
∴＝＝2，∴△ADE∽△ECF，
∴＝，∠DAE＝∠CEF，
∴＝，即＝.
∵∠DAE＋∠AED＝90°，
∴∠CEF＋∠AED＝90°，
∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，
∴△ADE∽△AEF.
由相似三角形的传递性，得△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF.
12．如图①，△ABC与△CDE是等腰
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，M，N分别是斜边AB，DE的中点，P是AD的中点，连结AE，BD，PM，PN.
(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论．
(2)现将图①中的△CD
( http: / / www.21cnjy.com )E绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD，BC分别交于点G，H，O.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)
【解】 (1)PM＝PN，PM⊥PN.理由如下：
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.
在△ACE和△BCD中，
∵
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD.
∵M，N分别是斜边AB，DE的中点，P是AD的
中点，
∴PM＝BD，PN＝AE，∴PM＝PN.
易得∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC＋∠BDC＝90°，∴∠MPA＋∠NPD＝90°，
∴∠MPN＝180°－90°＝90°，即PM⊥PN.
(2)成立．证明如下：
同(1)可得△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD.
又∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BHO＝∠ACO＝90°.
∵P，M，N分别是AD，AB，DE的中点，
∴PM＝BD，PN＝AE，
∴PM＝PN.
易得PM∥BD，PN∥AE.
∴∠MGE＋∠BHA＝180°.
∴∠MGE＝∠BHO＝90°.
∴∠MPN＝∠MGE＝90°.
∴PM⊥PN.
(3)PM＝kPN.证明如下：
∵△ABC和△CDE是直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE.
∴∠ACE＝∠BCD.
∵BC＝kAC，CD＝kCE，
∴＝＝k，∴△BCD∽△ACE，
∴BD＝kAE.
∵P，M，N分别是AD，AB，DE的中点，
∴PM＝BD，PN＝AE.
∴PM＝kPN.
