4.5
相似三角形的性质及其应用(二)
1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)
A.
1∶2 B.
1∶3 C.
1∶4 D.
1∶16
2．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(C)
A.
4
B.
C.
D.
6
3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(A)
A.
1∶4
B.
1∶3
C.
1∶2
D.
1∶
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(第3题)
(第4题)
4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED的面积的比为(B)
A.
1∶2
B.
1∶3
C.
1∶4
D.
1∶1
5．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28
，则△ABC的面积为__36__．
6．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，∠1＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE的周长为10．
(第6题)
7．如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，求的值．
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(第7题)
【解】 ∵＝，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC＝a.
∵BF⊥AC，四边形ABCD为矩形，
∴易得△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE·AC，AB2＝AE·AC，
∴a2＝CE·a，(2a)2＝AE·a，
∴CE＝，AE＝，∴＝.
易得△CEF∽△AEB，∴＝＝.
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若＝，S△ABC＝25，求S BFED.
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(第8题)
【解】 ∵DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB.
∴＝，＝.
∵＝，∴＝，＝.
∵S△ABC＝25，∴S△ADE＝4，S△CEF＝9，
∴S BFED＝25－4－9＝12.
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为(D)
(第9题)
A.
B.
C.
D.
【解】 ∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，
∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4.
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，△BDE∽△BAC，
∴＝＝，∴S△DOE∶S△AOC＝＝.
10．如图，把△ABC沿A
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(第10题)
【解】 设BC与A′C′交于点E.
易知AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，
∴S△BEA′∶S△BCA＝A′B2∶AB2＝1∶2.
∵AB＝，∴A′B＝1，
∴AA′＝AB－A′B＝－1.
11．如图，已知△ABC是
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(第11题)
【解】 过点F作FG⊥AE于点G.
∵△ABC∽△ADE，∴＝＝4，
∴S△ADE＝，∴正三角形ADE的边长为1.
∵∠EAD＝∠CAB＝60°，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，∴FG＝AG.
在Rt△EGF中，设EG＝x，则易得FG＝x，
∴x＋x＝1，∴x＝，∴FG＝.
∴S△AEF＝AE·FG＝.
12．如图，已知A是反比例函数y＝在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边向右作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在反比例函数y＝上运动，则k的值是－3__．
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(第12题)
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(第12题解)
【解】 ∵反比例函数y＝的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB.
连结OC，如解图．
∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB，∠BAC＝60°.
∴AC＝2OA.∴OC＝OA.
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F.
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO＝∠OFC＝90°，
∴∠AOE＝90°－∠FOC＝∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，且相似比＝，
∴＝＝3.
设点A的坐标为(a，b)．
∵点A在双曲线y＝上，∴S△AEO＝ab＝，∴S△OFC＝FC·OF＝.
设点C的坐标为(x，y)．
∵点C在第四象限，∴FC＝x，OF＝－y.
∴FC·OF＝x·(－y)＝－xy＝3
.
∵点C在双曲线y＝上，∴k＝xy＝－3
.
(第13题)
13．如图，在△ABC中，DE∥FG∥B
( http: / / www.21cnjy.com )C，并将△ABC分成面积分别为S1，S2，S3的三块．若S1∶S2∶S3＝1∶4∶10，BC＝15，求DE，FG的长．
【解】 ∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴＝，＝，
即＝，＝.
设S1＝k，则S2＝4k，S3＝10k，
∴＝＝，＝＝，
∴DE＝，FG＝5
.
14．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．
(第14题)
(1)如图①，已知折痕与边BC相交于点O.
①求证：△OCP∽△PDA.
②若△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长．
(2)若图①中的P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．
(3)如图②，在(1)的条件下，擦
( http: / / www.21cnjy.com )去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上(点M不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，过点M作ME⊥BP于点E.试问：在点M，N移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长度．
【解】 (1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
由折叠的性质，得∠APO＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠POC＝90°－∠CPO＝∠APD.
又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，△OCP∽△PDA，
∴＝＝＝＝，
∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP.
∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.
设OP＝x，则OB＝x，OC＝8－x.
在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，OC＝8－x，
∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，
∴AB＝AP＝2OP＝10，∴边AB的长为10.
(2)∵P是CD边的中点，∴DP＝DC.
∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝AP.
∵∠D＝90°，∴∠DAP＝30°.
∵∠DAB＝90°，∠OAP＝∠OAB，
∴∠OAB＝30°.
(3)过点M作MQ∥AN交PB于点Q.
∵AP＝AB，MQ∥AN，
∴∠APB＝∠ABP，∠ABP＝∠MQP，
∴∠APB＝∠MQP，∴MP＝MQ.
∵ME⊥PQ，∴PE＝QE＝PQ.
∵BN＝MP，MP＝MQ，∴BN＝MQ.
∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.
又∵∠QFM＝∠BFN，QM＝BN，
∴△MFQ≌△NFB(AAS)，
∴QF＝BF，∴QF＝QB，
∴EF＝EQ＋QF＝PQ＋QB＝PB.
由(1)中的结论，得CP＝4，BC＝8，∠C＝90°，
∴PB＝＝4
，∴EF＝PB＝2
，
∴在(1)的条件下，在点M，N移动的过程中，线段EF的长度不变，为2
.4.5
相似三角形的性质及其应用(三)
1．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6
m，梯子上点D距墙1.4
m，BD的长是0.55
m，则梯子的长为(
)
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(第1题)
A.3.85
m
B.4.00
m
C.4.40
m
D.4.50
m
2．如图，小明同学用自制三
( http: / / www.21cnjy.com )角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DE保持水平，并且DE边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40
cm，EF＝20
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝8
m，则树高AB是(
)
A.
5.0
m
B.
5.5
m
C.
6.0
m
D.
6.5
m
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(第2题)
(第3题)
(第4题)
3．如图，在台球桌上，一球被击
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m，BP＝0.9
m，CE＝0.3
m，则EF的长为(
)
A.
0.1
m
B.
0.2
m
C.
0.45
m
D.
0.6
m
4．如图，为估计某河的宽度，在河对岸选定一个
( http: / / www.21cnjy.com )目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20
m，CE＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB为__
_m.
5．如图，为了测量旗杆AB的高度，某
( http: / / www.21cnjy.com )同学画出了示意图，BA⊥EA于点A，DC⊥EA于点C，并把测量结果记录如下：CD＝a，CA＝b，CE＝c.请你帮助该同学计算旗杆AB的高度(用含a，b，c的代数式表示)．
(第5题)
6．如图，水平放置的一圆
( http: / / www.21cnjy.com )柱形油桶高1.5
m，用一根2
m长的木棒从桶盖小口A处斜插至油桶底部对角B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2
m，求桶内油面的高度(木棒的粗细忽略不计)．
(第6题)
7．如图，一张等腰三角形
( http: / / www.21cnjy.com )纸片，底边长15
cm，底边上的高长22.5
cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3
cm的矩形纸条．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是(
)
A.
第4张
B.
第5张
C.
第6张
D.
第7张
(第7题)
8．如图是某校足球场的示意图，点B是
( http: / / www.21cnjy.com )罚点球处，围栏外点A处有一根电杆．利用皮尺无法直接测量A，B之间的距离．请你设计一个方案，测出A，B间的距离，作出图示，说说你的理由．
(第8题)
9．幼儿园购买了一个板长AB为
4
m
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m的翘翘板(如图所示)，支点O在板AB的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高2.4
m的车库里，准备改装．现有几个小朋友把板的一端A按到地面上．
(1)板的另一端B会不会碰到车库的顶部？
(2)能否通过移动支架，使点B恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点O的位置；若不能，请说明理由．
(第9题)
10．已知一块直角三角形木板的一条直角边
( http: / / www.21cnjy.com )AB的长为1.5
m，面积为1.5
m2.小明爸爸要在木板上截出一个面积最大的正方形桌面，请小明和小芳设计加工方案，小明的设计方案如图①，小芳的设计方案如图②.你认为哪位同学设计的方案符合要求？请说明理由．
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(第10题)
11．如图，将一张三角形纸片沿平行于三
( http: / / www.21cnjy.com )边的虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小．
(第11题)4.5
相似三角形的性质及其应用(二)
1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(
)
A.
1∶2 B.
1∶3 C.
1∶4 D.
1∶16
2．已知△ABC的三边长分
( http: / / www.21cnjy.com )别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(
)
A.
4
B.
C.
D.
6
3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(
)
A.
1∶4
B.
1∶3
C.
1∶2
D.
1∶
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(第3题)
(第4题)
(第6题)
4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED的面积的比为(
)
A.
1∶2
B.
1∶3
C.
1∶4
D.
1∶1
5．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28
，则△ABC的面积为__
__．
6．如图，点D，E分别在△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )的边AB，AC上，∠1＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE的周长为
．
7．如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，求的值．
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(第7题)
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若＝，S△ABC＝25，求S BFED.
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(第8题)
9．如图，D，E分别是△ABC的边
( http: / / www.21cnjy.com )AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为(
)
(第9题)
A.
B.
C.
D.
10．如图，把△ABC沿AB边平移到
( http: / / www.21cnjy.com )△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半．若AB＝，则此三角形移动的距离AA′＝
．
(第10题)
11．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE交于点F，则△AEF的面积等于
(结果保留根号).
( http: / / www.21cnjy.com )
(第11题)
12．如图，已知A是反比例函数y＝在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边向右作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在反比例函数y＝上运动，则k的值是
．
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(第12题)
13．如图，在△ABC中，DE∥
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(第13题)
14．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．
(第14题)
(1)如图①，已知折痕与边BC相交于点O.
①求证：△OCP∽△PDA.
②若△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长．
(2)若图①中的P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．
(3)如图②，在(1)的
( http: / / www.21cnjy.com )条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上(点M不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，过点M作ME⊥BP于点E.试问：在点M，N移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长度．4.5
相似三角形的性质及其应用(一)
1．已知△ABC∽△DEF，若
△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(A)
A.
B.
C.
D.
2．如图，为测量学校旗杆高度，小东用长为
( http: / / www.21cnjy.com )3.2
m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8
m，与旗杆相距22
m，则旗杆高为(C)
(第2题)
A.
8.8
m
B.
10
m
C.
12
m
D.
14
m
3．如图，已知D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是(B)
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(第3题)
A.AD＝2DE
B.AE＝2DE
C.BE＝CE
D.S△ABE＝S△ACE
4．如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应高线之比是2∶3．
5．如图是小明设计用手电筒来测量古城墙高度
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m，BP＝1.8
m，PD＝3.6
m，那么该古城墙的高度是__2.4__m(平面镜厚度忽略不计)．
(第5题)
6．若一个三角形的三边长之比为3∶5∶7，与它相似的一个三角形的最长边的长为21
cm，则其余两边长的和为24cm.
7．如图，AC⊥CD，垂足为C，BD⊥CD，垂足为D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，求AO的长．
(第7题)
【解】 ∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠C＝∠D＝90°.
又∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，
∴＝＝，∴CO＝CD＝，
∴AO＝＝＝.
(第8题)
8．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定
( http: / / www.21cnjy.com )一个目标点P，在近岸取点Q和S，使P，Q，S三点在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60
m，ST＝120
m，QR＝80
m，求河的宽度PQ.
【解】 ∵RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，
∴＝，即＝，
解得PQ＝120(m)．
答：河的宽度PQ为120
m.
9．如图，在平面直角坐标系
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)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连结BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为(1，)．
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(第9题)
【解】 ∵点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，2
)，
∴BO＝2
，AO＝8.
∵CD⊥OB，OA⊥OB，
∴CD∥OA.
∵C是AB的中点，
∴＝＝.
∴BD＝，CD＝4.
∴OD＝OB－BD＝.
设DP＝a，则CP＝4－a.
如解图，当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直于点F时，易得∠FCP＝∠DBP.
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(第9题解)
又∵EP⊥CP，PD⊥BD，
∴∠EPC＝∠PDB＝90°，
∴△EPC∽△PDB.
∴＝，即＝，
解得a1＝1，a2＝3(不合题意，舍去)．
∴DP＝1.
∴点P(1，)．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是△ABC的重心，AB＝8.
(1)求线段GC的长．
(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于点M，交BC于点N，求MN的长．
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(第10题)
【解】 (1)延长CG交AB于点D.
∵G是三角形的重心，
∴CD为AB边上的中线，CG＝CD.
又∵∠C＝90°，
∴CD＝AB＝4.
∴CG＝CD＝.
(2)∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，△CMG∽△CAD，
∴＝＝＝，
∴MN＝AB＝.
11．已知△ABC(如图所示)．
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(第11题)
(1)在图中找出重心O.
(2)设BC，AC，AB边的中点分别为
( http: / / www.21cnjy.com )M，N，G，度量OM与OA，ON与OB，OG与OC，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间的关系，并给予证明．
【解】 (1)用尺规作图作出△ABC三边的中线，设它们的交点为O，则O为△ABC的重心(画图略)．
(2)通过度量发现：OA＝2OM，OB＝2ON，OC＝2OG.
猜想：三角形的重心O到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．
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(第11题解)
证明：如解图所示，取OB，OC的中点K，H，连结KH，HN，NG，GK.
∵G，N分别是AB，AC的中点，
∴GN平行且等于BC.
同理可得KH平行且等于BC.
∴GN平行且等于KH.
∴四边形KHNG是平行四边形.
∴OG＝OH，ON＝OK.
∵BK＝OK，CH＝OH，∴OB＝2ON，OC＝2OG.
若取OA的中点R，同理可证OA＝2OM.
∴OA＝2OM，OB＝2ON，OC＝2OG.
12．如图，点G是等边三角形ABC
( http: / / www.21cnjy.com )的重心，过点G作BC的平行线，分别交AB，AC于点D，E，点M在BC边上．如果以点B，D，M为顶点的三角形与以点C，E，M为顶点的三角形相似(但不全等)，求S△BDM∶S△CEM的值．
(第12题)
【解】 ∵点G是等边三角形ABC的重心，DE∥BC，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，＝＝，
∴BD＝AB，CE＝AC，∴BD＝CE.
当△BDM∽△CME时，有＝.
设BD＝a，CM＝x，则CE＝a，BC＝3a，BM＝3a－x.
∴＝，解得x＝.
当CM＝a时，BM＝a，
∴S△BDM∶S△CEM＝BM∶CM＝.
当CM＝a时，BM＝a，
∴S△BDM∶S△CEM＝BM∶CM＝.
当△BDM∽△CEM时，有＝＝＝1，
此时△BDM≌△CEM，与题意不符．
综上所述，S△BDM∶S△CEM＝或.4.5
相似三角形的性质及其应用(三)
1．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6
m，梯子上点D距墙1.4
m，BD的长是0.55
m，则梯子的长为(C)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
A.3.85
m
B.4.00
m
C.4.40
m
D.4.50
m
2．如图，小明同学用自制三角
( http: / / www.21cnjy.com )形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DE保持水平，并且DE边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40
cm，EF＝20
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝8
m，则树高AB是(B)
A.
5.0
m
B.
5.5
m
C.
6.0
m
D.
6.5
m
(第2题)
(第3题)
3．如图，在台球桌上，一球
( http: / / www.21cnjy.com )被击打后，从点A出发，沿AP方向运动，撞击至点P后，沿PC方向运动，撞击至点C后，再沿CF方向运动，撞击至点F.若AB＝0.6
m，BP＝0.9
m，CE＝0.3
m，则EF的长为(C)
A.
0.1
m
B.
0.2
m
C.
0.45
m
D.
0.6
m
4．如图，为估计某河的宽度，在河对岸选定一
( http: / / www.21cnjy.com )个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20
m，CE＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB为__40__m.
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(第4题)
(第5题)
5．如图，为了测量旗杆AB的高度，某同学画出
( http: / / www.21cnjy.com )了示意图，BA⊥EA于点A，DC⊥EA于点C，并把测量结果记录如下：CD＝a，CA＝b，CE＝c.请你帮助该同学计算旗杆AB的高度(用含a，b，c的代数式表示)．
【解】 ∵DC⊥AE，BA⊥AE，∴DC∥BA，
∴△ECD∽△EAB，
∴＝，即＝，
∴AB＝＝a＋.
(第6题)
6．如图，水平放置的一圆柱形油桶高1.5
m
( http: / / www.21cnjy.com )，用一根2
m长的木棒从桶盖小口A处斜插至油桶底部对角B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2
m，求桶内油面的高度(木棒的粗细忽略不计)．
【解】 根据题意，得DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，解得AE＝0.9(m)．
∴EC＝AC－AE＝0.6
m，
即桶内油面的高度为0.6
m.
7．如图，一张等腰三角形纸片
( http: / / www.21cnjy.com )，底边长15
cm，底边上的高长22.5
cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3
cm的矩形纸条．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是(C)
A.
第4张
B.
第5张
C.
第6张
D.
第7张
(第7题)
(第7题解)
【解】 如解图，过点A作AN⊥BC于点N，AN交正方形DEFG的边DE于点M.
由题意，可知DE＝3
cm，AN＝22.5
cm，BC＝15
cm.
易得△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，∴AM＝4.5
cm，
∴MN＝22.5－4.5＝18(cm)，
∴18÷3＝6，即这张正方形纸条是第6张．
8．如图是某校足球场的示意图，点
( http: / / www.21cnjy.com )B是罚点球处，围栏外点A处有一根电杆．利用皮尺无法直接测量A，B之间的距离．请你设计一个方案，测出A，B间的距离，作出图示，说说你的理由．
(第8题)
【解】 如图，构造出△ABC，在CB的延长线上截取BE＝BC，作∠BED＝∠BCA，交AB的延长线于点D，得到△BDE.
只要测量出DB的长度，即可得到A，B间的距离．理由如下：
∵∠ABC＝∠DBE，∠BED＝∠BCA，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝＝2，∴AB＝2DB.
9．幼儿园购买了一个板长AB为
4
m，支
( http: / / www.21cnjy.com )架OC高0.8
m的翘翘板(如图所示)，支点O在板AB的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高2.4
m的车库里，准备改装．现有几个小朋友把板的一端A按到地面上．
(1)板的另一端B会不会碰到车库的顶部？
(2)能否通过移动支架，使点B恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点O的位置；若不能，请说明理由．
(第9题)
(第9题解)
【解】 (1)如解图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
∵OC⊥AC，BD⊥AD，∴OC∥BD，
∴△AOC∽△ABD，∴＝.
∵AO＝OB＝AB＝2
m，OC＝0.8
m，
∴BD＝＝1.6
m＜2.4
m，
∴板的另一端B不会碰到车库的顶部．
(2)能．当BD＝2.4
m时，
由＝，可得＝，
∴AO＝(m)，即当AO＝
m时，点B恰好碰到车库的顶部．
10．已知一块直角三角形木板的一条直角
( http: / / www.21cnjy.com )边AB的长为1.5
m，面积为1.5
m2.小明爸爸要在木板上截出一个面积最大的正方形桌面，请小明和小芳设计加工方案，小明的设计方案如图①，小芳的设计方案如图②.你认为哪位同学设计的方案符合要求？请说明理由．
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(第10题)
【解】 如图①.∵AB＝1.5，S△ABC＝1.5，
∴BC＝2，∴AC＝2.5.
易得△CDE∽△CBA，∴＝.
设此时正方形的边长为x，
则＝，解得x＝.
如图②.过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M.
∵S△ABC＝1.5，AC＝2.5，∴BN＝.
设此时正方形的边长为y，则BM＝－y.
易得△BDE∽△BAC，∴＝.
∴＝，解得y＝.
∵x＝＝，y＝，∴x>y，
∴小明设计的方案符合要求．
11．如图，将一张三角形纸片沿平行
( http: / / www.21cnjy.com )于三边的虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小．
(第11题)
【解】 如解图．
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(第11题解)
∵AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，
∴＝＝＝，
∴＝.∴S乙＜S丙．
同理可得，＝＝.
∴＝.∴S甲＜S乙．
综上所述，S甲＜S乙＜S丙．4.5
相似三角形的性质及其应用(一)
1．已知△ABC∽△DEF，若
△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(
)
A.
B.
C.
D.
2．如图，为测量学校旗杆高度，小东用长
( http: / / www.21cnjy.com )为3.2
m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8
m，与旗杆相距22
m，则旗杆高为(
)
(第2题)
A.
8.8
m
B.
10
m
C.
12
m
D.
14
m
3．如图，已知D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是(
)
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(第3题)
A.AD＝2DE
B.AE＝2DE
C.BE＝CE
D.S△ABE＝S△ACE
4．如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应高线之比是
．
5．如图是小明设计用手电筒来测
( http: / / www.21cnjy.com )量古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶点C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2
m，BP＝1.8
m，PD＝3.6
m，那么该古城墙的高度是__
__m(平面镜厚度忽略不计)．
(第5题)
6．若一个三角形的三边长之比为3∶5∶7，与它相似的一个三角形的最长边的长为21
cm，则其余两边长的和为
cm.
7．如图，AC⊥CD，垂足为C，BD⊥CD，垂足为D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，求AO的长．
(第7题)
8．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸
( http: / / www.21cnjy.com )选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使P，Q，S三点在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60
m，ST＝120
m，QR＝80
m，求河的宽度PQ.
(第8题)
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B
( http: / / www.21cnjy.com )的坐标分别为(8，0)，(0，2
)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连结BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为
．
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(第9题)
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是△ABC的重心，AB＝8.
(1)求线段GC的长．
(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于点M，交BC于点N，求MN的长．
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(第10题)
11．已知△ABC(如图所示)．
(1)在图中找出重心O.
(2)设BC，AC，AB边的
( http: / / www.21cnjy.com )中点分别为M，N，G，度量OM与OA，ON与OB，OG与OC，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间的关系，并给予证明．
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(第11题)
12．如图，点G是等边三角形ABC的重
( http: / / www.21cnjy.com )心，过点G作BC的平行线，分别交AB，AC于点D，E，点M在BC边上．如果以点B，D，M为顶点的三角形与以点C，E，M为顶点的三角形相似(但不全等)，求S△BDM∶S△CEM的值．
(第12题)
