4.6
相似多边形
1．下列说法中，正确的是(
)
A.
所有的菱形都相似
B.
所有的矩形都相似
C.
所有的正六边形一定相似
D.
所有的等腰梯形都相似
2．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是(
)
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(第2题)
A.
∠E＝2∠K
B.
BC＝2HI
C.
六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D.
S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL
3．如果两个相似五边形的面积之比为16∶9，那么这两个相似五边形的周长之比为(
)
A.
16∶9
B.
4∶3
C.
2∶3
D.
256∶81
4．有一个多边形的各边长分别是4cm，
( http: / / www.21cnjy.com )5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形的最长边长为8cm，那么这个多边形的周长是__
__cm.
5．如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则CD＝__
__，∠D＝__
__．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题)
6．两个相似多边形的一组对应边分别是3
cm和4.5
cm，如果它们的面积之和是78
cm2，那么较大的多边形的面积是__
__cm2.
7．已知矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由．
(2)如图②，当x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题)
8．如图，等腰梯形ABCD是某儿童
( http: / / www.21cnjy.com )公园中游乐场的示意图．为满足市民的需求，计划建一个与原游乐场相似的新游乐场，要求新游乐场以MN为对称轴，且与原游乐场的相似比为2∶1.请你画出新游乐场的示意图．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOC
( http: / / www.21cnjy.com )B在第二象限，OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB的边长扩大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1,
再将矩形A1OC1B1的边长扩大为原来的倍，得到矩形A2OC2B2……以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为
．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第9题)
10．如图，已知菱形A1B1C1D1
( http: / / www.21cnjy.com )的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An,
则点An的坐标为
．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题)
11．如图，在矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．
(1)求证：四边形ABEF是正方形．
(2)求证：点F是AD的黄金分割点．
(第11题)
12．如图，An系列矩形纸张的规格特征
( http: / / www.21cnjy.com )是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸……An纸对裁后可以得到An＋1纸．
(第12题)
(1)填空：A1纸的面积是A2纸面积的__
__倍，A2纸的周长是A4纸周长的__
__倍．
(2)根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比．
(3)设A1纸的质量为a(g)，试求出A8纸的质量(用含a的代数式表示)．4.6
相似多边形
1．下列说法中，正确的是(C)
A.
所有的菱形都相似
B.
所有的矩形都相似
C.
所有的正六边形一定相似
D.
所有的等腰梯形都相似
2．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是(B)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题)
A.
∠E＝2∠K
B.
BC＝2HI
C.
六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D.
S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL
3．如果两个相似五边形的面积之比为16∶9，那么这两个相似五边形的周长之比为(B)
A.
16∶9
B.
4∶3
C.
2∶3
D.
256∶81
4．有一个多边形的各边长分别是4cm，5
( http: / / www.21cnjy.com )cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形的最长边长为8cm，那么这个多边形的周长是__32__cm.
5．如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则CD＝__10__，∠D＝__105°__．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题)
6．两个相似多边形的一组对应边分别是3
cm和4.5
cm，如果它们的面积之和是78
cm2，那么较大的多边形的面积是__54__cm2.
7．已知矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由．
(2)如图②，当x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题)
【解】 (1)不相似．理由如下：
∵AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，
∴≠.
∴两矩形不相似．
(2)若矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则＝或＝.
∴＝或＝，
解得x＝1.5或x＝9.
∴当x＝1.5或9时，两矩形相似．
8．如图，等腰梯形ABCD是某儿童公园中游
( http: / / www.21cnjy.com )乐场的示意图．为满足市民的需求，计划建一个与原游乐场相似的新游乐场，要求新游乐场以MN为对称轴，且与原游乐场的相似比为2∶1.请你画出新游乐场的示意图．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
【解】 如图，梯形A′B′C′D′就是所求的新游乐场(梯形沿网格上下平移都可以)．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB
( http: / / www.21cnjy.com )在第二象限，OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB的边长扩大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1,
再将矩形A1OC1B1的边长扩大为原来的倍，得到矩形A2OC2B2……以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第9题)
【解】 ∵在第二象限内，将矩形AOCB的边长扩大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB相似，点B与点B1是对应点．
∵OA＝2，OC＝1，
∴OA1＝2×，OC1＝1×，
∴点B1的坐标为.
∵将矩形A1OC1B1的边长扩大为原来的倍，得到矩形A2OC2B2，
∴OA2＝2××，OC2＝1××，
∴点B2，
……
∴点Bn，
∴矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为，即.
10．如图，已知菱形A1B
( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An,
则点An的坐标为(3n－1，0)．
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(第10题)
【解】 ∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，
∴∠A1B1O＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2×＝1，∴OB1＝，
∴点A1(1，0)．
∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,
∴∠B1C2D1＝∠A1B1C1＝60°，
∴∠B1A2O＝30°，
∴OA2＝OB1＝3，
∴点A2(3，0)．
同理可得点A3(9，0)，A4(27，0)……
∴点An(3n－1，0)．
11．如图，在矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．
(第11题)
(1)求证：四边形ABEF是正方形．
(2)求证：点F是AD的黄金分割点．
【解】 (1)∵∠B＝∠BAF＝∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形．
由折叠的性质可知AB＝AF，
∴四边形ABEF是正方形．
(2)∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴矩形EFDC∽矩形DABC，∴＝.
∵CD＝AB＝AF，CB＝AD，∴＝，
∴点F是AD的黄金分割点．
12．如图，An系列矩形纸张的规格特征
( http: / / www.21cnjy.com )是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸……An纸对裁后可以得到An＋1纸．
(第12题)
(1)填空：A1纸的面积是A2纸面积的__2__倍，A2纸的周长是A4纸周长的__2__倍．
(2)根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比．
(3)设A1纸的质量为a(g)，试求出A8纸的质量(用含a的代数式表示)．
【解】 (1)∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸的面积是A2纸面积的2倍．
设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸的周长＝2(a＋b)．
易知A3纸的长为b，宽为，A4纸的长为，宽为，
故A4纸的周长＝2＝a＋b，
∴A2纸的周长是A4纸周长的2倍．
(2)设A1纸的长与宽分别是m，n，则A2纸的长与宽分别为n，m，∴＝，
∴＝，
即该系列纸张的长与宽之比为∶1.
(3)∵A1纸的质量为a(g)，A2纸是A1纸面积的一半，
∴A2纸的质量为a(g)．
同理，A3纸的质量是a(g)……
∴A8纸的质量是a(g)．
