第3章 圆的基本性质单元检测B卷
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园的基本性质单元检测B卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题（本大题共12小题 ）
1.如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )2·1·c·n·j·y
A．26° B．64° C．52° D．128°
3.如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（ ）
A．3 B． 4 C．5 D．8
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
5.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
6.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）21*cnjy*com
A． B．2 C． D．
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（ ）
A． B．2 C．3 D．2
9.如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（ ）
A．（，） B．（， ） C．（，） D．（，4）
10.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
11.如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣2
、填空题（本大题共6小题 ）
13.如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
14.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是 ．
15.已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为__________．
16.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 __________
17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为 ．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 ．
、解答题（本大题共8小题 ）
19.如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12.
求线段EF的长.
20.已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45o．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．
21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
22.如图，已知△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，B为AE上一点，△ABC经过旋转到达△EDC的位置，问：
（1）旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
（2）若已知∠ACB=20°，求∠CDE、∠DEB的度数．
23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°，BC=，求⊙O的半径．
24.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
25.如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
26.如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证： AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
答案解析
、选择题
1.【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．
解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
2.【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．21cnjy.com
解：∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，
∴的度数为52°．
故选：C．
3.解：连接BC，
∵∠BOC=90°，
∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，
在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，
根据勾股定理得：BC=10，
则圆A的半径为5．
故选C
4.【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故选C．
5.【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．
解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x=，
∴OA=×13，
∴⊙O的周长=2OA?π=13π，
故选B．
6.【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE=AD，∠ODE=∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE=AD=1，∠ODE=∠ADB=30°，
∴OD==．
故选D．
7.【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．www-2-1-cnjy-com
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC==5，
∴PC=OC=OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
8.【分析】首先证明△ACA1，△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题．
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2，
∵CA=CA1，
∴△ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，
∴∠BCB1=∠ACA1=60°，
∵CB=CB1，
∴△BCB1是等边三角形，
∴BB1=2，BA1=2，∠A1BB1=90°，
∴BD=DB1=，
∴A1D==．
故选A．
9.解：如图所示，过点作轴，过点A作轴，
∵ 点A的坐标为，
∵ OB==2OE=4，∴
∵AB=AO=3，∴ B=AB=3.
∴点的纵坐标为
，
∴ 点的坐标为
故选C
10.【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
转动一次A的路线长是： =2π，
转动第二次的路线长是： =π，
转动第三次的路线长是： =π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，
故选D．
11.【分析】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．
解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴的长==；
故选：B．
12.【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．21·cn·jy·com
解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2OA=2OB=AC=2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，
∴BA′=AB，
∴BA′=2OB，
∴∠OA′B=30°，
∴∠A′BA=60°，
即旋转角为60°，
S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′，
=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，
=﹣，
=π﹣π，
=π．
故选C．
、填空题
13.【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°．
故答案为：90°．
14.【分析】 连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．
解：连接AO，
∵半径是5，CD=1，
∴OD=5﹣1=4，
根据勾股定理，
AD===3，
∴AB=3×2=6，
因此弦AB的长是6．
15.【 分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【来源：21·世纪·教育·网】
解答： 解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数=×360°=60°．
故答案为60°．
16.解:当已知长度分别为16和12的两边为直角边时,可知斜边长为20,此时直角三角形的外接圆半径是10.当斜边长为16时,此时直角三角形的外接圆半径是8.所以三角形的外接圆半径是10或8.21·世纪*教育网
17.【分析】连接CD，由∠ABC=∠DAC可得，得出则AC=CD，又∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长．21*cnjy*com
解：连接CD，如图所示：
∵∠B=∠DAC，
∴，
∴AC=CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=6，
∴AC=CD=AD=×4=2，
故答案为：2．
18.【分析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．
解：连接AA′、CC′，
作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，
直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．
∵直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，由题意：，
∴，
∴直线CC′为y=x+，
∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，），
∴直线EF为y=﹣3x+2，
由得，
∴P（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）．
、解答题
19.作OM⊥BC于M，连接OE.
∴ME=MF=EF.
∵AD=12，∴OE=6.
在矩形ABCD中，OM⊥BC，∴OM=AB=4.
在△OEM中，∠OME=90°，∴ME=2.
∴EF=2ME=4.
20.解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
连OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD==5cm．
（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π?52﹣×5×5=cm2．
21.【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．
解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；【版权所有：21教育】
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．21教育名师原创作品
22.【分析】（1）根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可；
（2）由旋转的性质可知：∠CDE=∠ABC由此可得∠CDE的度数，再根据∠DEB=∠CED+∠CEB计算即可．www.21-cn-jy.com
解：（1）∵△ABC经过旋转到达△EDC的位置，
∴△ABC≌△EDC，
∴C是旋转中心，
∵AC=CE，
∴AC和CE之间的夹角为旋转角，
∵∠ACE=90°，
∴旋转了90度；
（2）∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，
∴∠A=∠CEB=45°，
∵∠ACB=20°，
∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠ACB=115°，
∴∠CDE=∠ABC=115°，
∵∠DEC=∠A=45°，
∴∠DEB=∠CED+∠CEB=90°．
23.【 分析】 （1）根据垂径定理得到弧CD=弧AD，然后根据圆周角定理得∠CBD=∠DBA；
（2）由于∠OBD=∠ODB=30°，则∠ABC=60°，再根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系．
可得到直径AB的长，则即可得到圆的半径．
解答： （1）证明：∵OD⊥AC，
∴弧CD=弧AD，
∴∠CBD=∠DBA，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=，
∴AB=2BC=2，
∴⊙O的半径为．
24.【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；21教育网
（2）先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．2-1-c-n-j-y
解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠A=∠DCE
∵DC=DE
∴∠DCE=∠AEB
∴∠A=∠AEB
（2）∵∠A=∠AEB
∴△ABE是等腰三角形。
∵OE⊥CD
∴CF=DF
∴OE是CD的垂直平分线
∴ED=EC
又DC=DE
∴DC=DE=EC
∴△DCE是等边三角形
∴∠AEB=60°
∴△AEB是等边三角形
25.【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论； 【来源：21cnj*y.co*m】
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【出处：21教育名师】
解：（1）连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×2=π﹣．
26.【分析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°； 21世纪教育网版权所有
（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．
解：（1）∵=，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
（2）在CD的延长线上截取DE=BC，
连接EA，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵=
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
∴AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，
∵BM2+MF2=BF2，
∴BM2+2AM2=DM2．
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题（本大题共12小题 ）
1.如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )2·1·c·n·j·y
A．26° B．64° C．52° D．128°
3.如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（ ）
A．3 B． 4 C．5 D．8
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
5.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
6.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）21*cnjy*com
A． B．2 C． D．
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（ ）
A． B．2 C．3 D．2
9.如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（ ）
A．（，） B．（， ） C．（，） D．（，4）
10.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
11.如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π﹣2 B．π C．π D．π﹣2
、填空题（本大题共6小题 ）
13.如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
14.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是 ．
15.已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为__________．
16.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 __________
17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为 ．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 ．
、解答题（本大题共8小题 ）
19.如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12.
求线段EF的长.
20.已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45o．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．
21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
22.如图，已知△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，B为AE上一点，△ABC经过旋转到达△EDC的位置，问：
（1）旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
（2）若已知∠ACB=20°，求∠CDE、∠DEB的度数．
23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°，BC=，求⊙O的半径．
24.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
25.如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
26.如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证： AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
答案解析
、选择题
1.【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．
解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
2.【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．21cnjy.com
解：∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，
∴的度数为52°．
故选：C．
3.解：连接BC，
∵∠BOC=90°，
∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，
在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，
根据勾股定理得：BC=10，
则圆A的半径为5．
故选C
4.【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故选C．
5.【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．
解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x=，
∴OA=×13，
∴⊙O的周长=2OA?π=13π，
故选B．
6.【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE=AD，∠ODE=∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE=AD=1，∠ODE=∠ADB=30°，
∴OD==．
故选D．
7.【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．www-2-1-cnjy-com
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC==5，
∴PC=OC=OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
8.【分析】首先证明△ACA1，△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题．
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2，
∵CA=CA1，
∴△ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，
∴∠BCB1=∠ACA1=60°，
∵CB=CB1，
∴△BCB1是等边三角形，
∴BB1=2，BA1=2，∠A1BB1=90°，
∴BD=DB1=，
∴A1D==．
故选A．
9.解：如图所示，过点作轴，过点A作轴，
∵ 点A的坐标为，
∵ OB==2OE=4，∴
∵AB=AO=3，∴ B=AB=3.
∴点的纵坐标为
，
∴ 点的坐标为
故选C
10.【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
转动一次A的路线长是： =2π，
转动第二次的路线长是： =π，
转动第三次的路线长是： =π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，
故选D．
11.【分析】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．
解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴的长==；
故选：B．
12.【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．21·cn·jy·com
解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2OA=2OB=AC=2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，
∴BA′=AB，
∴BA′=2OB，
∴∠OA′B=30°，
∴∠A′BA=60°，
即旋转角为60°，
S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′，
=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，
=﹣，
=π﹣π，
=π．
故选C．
、填空题
13.【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°．
故答案为：90°．
14.【分析】 连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．
解：连接AO，
∵半径是5，CD=1，
∴OD=5﹣1=4，
根据勾股定理，
AD===3，
∴AB=3×2=6，
因此弦AB的长是6．
15.【 分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【来源：21·世纪·教育·网】
解答： 解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数=×360°=60°．
故答案为60°．
16.解:当已知长度分别为16和12的两边为直角边时,可知斜边长为20,此时直角三角形的外接圆半径是10.当斜边长为16时,此时直角三角形的外接圆半径是8.所以三角形的外接圆半径是10或8.21·世纪*教育网
17.【分析】连接CD，由∠ABC=∠DAC可得，得出则AC=CD，又∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长．21*cnjy*com
解：连接CD，如图所示：
∵∠B=∠DAC，
∴，
∴AC=CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=6，
∴AC=CD=AD=×4=2，
故答案为：2．
18.【分析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．
解：连接AA′、CC′，
作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，
直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．
∵直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，由题意：，
∴，
∴直线CC′为y=x+，
∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，），
∴直线EF为y=﹣3x+2，
由得，
∴P（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）．
、解答题
19.作OM⊥BC于M，连接OE.
∴ME=MF=EF.
∵AD=12，∴OE=6.
在矩形ABCD中，OM⊥BC，∴OM=AB=4.
在△OEM中，∠OME=90°，∴ME=2.
∴EF=2ME=4.
20.解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
连OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD==5cm．
（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π?52﹣×5×5=cm2．
21.【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．
解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；【版权所有：21教育】
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．21教育名师原创作品
22.【分析】（1）根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可；
（2）由旋转的性质可知：∠CDE=∠ABC由此可得∠CDE的度数，再根据∠DEB=∠CED+∠CEB计算即可．www.21-cn-jy.com
解：（1）∵△ABC经过旋转到达△EDC的位置，
∴△ABC≌△EDC，
∴C是旋转中心，
∵AC=CE，
∴AC和CE之间的夹角为旋转角，
∵∠ACE=90°，
∴旋转了90度；
（2）∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，
∴∠A=∠CEB=45°，
∵∠ACB=20°，
∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠ACB=115°，
∴∠CDE=∠ABC=115°，
∵∠DEC=∠A=45°，
∴∠DEB=∠CED+∠CEB=90°．
23.【 分析】 （1）根据垂径定理得到弧CD=弧AD，然后根据圆周角定理得∠CBD=∠DBA；
（2）由于∠OBD=∠ODB=30°，则∠ABC=60°，再根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系．
可得到直径AB的长，则即可得到圆的半径．
解答： （1）证明：∵OD⊥AC，
∴弧CD=弧AD，
∴∠CBD=∠DBA，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=，
∴AB=2BC=2，
∴⊙O的半径为．
24.【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；21教育网
（2）先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．2-1-c-n-j-y
解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠A=∠DCE
∵DC=DE
∴∠DCE=∠AEB
∴∠A=∠AEB
（2）∵∠A=∠AEB
∴△ABE是等腰三角形。
∵OE⊥CD
∴CF=DF
∴OE是CD的垂直平分线
∴ED=EC
又DC=DE
∴DC=DE=EC
∴△DCE是等边三角形
∴∠AEB=60°
∴△AEB是等边三角形
25.【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论； 【来源：21cnj*y.co*m】
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【出处：21教育名师】
解：（1）连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×2=π﹣．
26.【分析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°； 21世纪教育网版权所有
（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．
解：（1）∵=，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
（2）在CD的延长线上截取DE=BC，
连接EA，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵=
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
∴AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，
∵BM2+MF2=BF2，
∴BM2+2AM2=DM2．
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