2.3等腰三角形的性质定理（1） 练习题

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等腰三角形的性质定理（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、已知等腰三角形的顶角等于30°，则这个等腰三角形的底角等于（　　）
A．120° B．75° C．60° D．30°
2. 如图，P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点，∠A=50°，则∠BPC的度数为（　　）
A．100° B．80° C．60° D．75°
3. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=50°，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（　　）
①∠ACB=70°；②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；④∠CFE=40°．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
4. 下列说法正确的是（　　）
A．等腰三角形的两条高相等
B．等腰三角形的两条角平分线相等
C．等腰三角形的两条中线相等
D．等腰三角形两腰上的中线相等
5. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，垂足为E，则∠1与∠A的关系式为（　　）
A．∠1=∠A B．∠1= 1 2 ∠A C．∠1=2∠A D．无法确定
二、填空题
1、已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个内角是______。
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93°，则∠A=______度．21教育网
3. 已知等腰三角形的一个外角是80°，则它的三个内角度数为______．
4. 如图△ABC中，∠A=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为______．21·cn·jy·com
5. 如图，△ABC中，AP垂直∠B的平分线BP于P．若△PBC的面积为6cm2，且△APB的面积是△APC的面积的2倍．则△APB的面积=______cm2．21cnjy.com
三、解答题
1. 如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。www.21-cn-jy.com
2. 如图，点E为△ABC边AB上一点，AC=BC=BE，AE=EC，BD⊥AC于D，求∠CBD的度数．
四、证明题
已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DB=DC，
求证：△ABC是等腰三角形．
参考答案
一、选择题
2、A
【解析】连接PA并延长，如图：
∵P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点
∴PA=PC=PB
∴∠PCA=∠PAC，∠PBA=∠PAB
∴∠BPC=2×50°=100°（三角形的外角的性质）
故选A．
3、C
【解析】∵∠A=60°，∠ABC=50°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=70°，所以①正确；
∵∠B、∠C的平分线相交于F，
∴∠BFC=90°+ ∠A=120°，所以②错误；
∵DE∥BC，
∴∠BDF=180°-∠ABC=130°，所以③正确；
∵CF平分∠BCE，
∴∠BCF= ∠ACB=35°，
∵DE∥BC，
∴∠CFE=∠BCF=35°，所以④正确．
故选C．
4.D
【解析】
A、等腰三角形两腰上的高相等，当底和腰不相等时，底边和腰上的高也不相等；故A错误．
B、等腰三角形两个底角的平分线相等，当底角和顶角不相等时，其角平分线也不相等；故B错误．
C、等腰三角形两腰上的中线相等，当底和腰不相等时，底边和腰上的中线也不相等；故C错误．
D、等腰三角形两腰上的中线相等．故D正确．
5.B
【解析】
∵在等腰△ABC中，AB=AC，
∠C=∠ABC，
∴2∠C+∠A=180°
∴∠A+∠C=90°，
∵BE⊥AC，垂足为E，
∴∠1+∠C=90°，
∴∠1= ∠A，
故选B．
二、填空题
1、50°、50°，或80°、20°
【解析】根据三角形内角和180°及等腰三角形的两个底角相等，得
1、若80°角为顶角，则两个底角均为：（180°-80°）÷2=50°，
2、若80°角为底角，则另一个底角为80°，顶角为180°-80°-80°=20°，
答：它的另外两个内角分别是50°、50°，或80°、20°。
2、56
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线
∴2∠DBC=∠C
∵∠ADB=∠DBC+∠C=3∠DBC=93°
∴∠DBC=31°
∴∠A=180°-93°-31°=56°．
故填56．
3、100°，40°，40°
【解析】
∵等腰三角形的一个外角等于80°，
∴这个外角的邻补角=180°-80°=100°，即等腰三角形的一个内角为100°，
∴三角形是钝角三角形，
则底角=×（180°-100°）=40°，
所以三角形的三个内角度数分别为100°，40°，40°．
故答案为：100°，40°，40°．
4.69°
【解析】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
∴AD=AB=AC，
∠DAC=∠BAC-∠BAD=18°，
∴∠ACD=∠ADC=81°，
∵AB=AC，∠BAC=78°，
∴∠ABC=∠ACB=51°，
∴∠CDB=141°=∠BPC，
又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵∠PCD=60°，
∴△DPC是等边三角形，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP=∠CAP=9°，
∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=9°+60°=69°．
故答案为：69°．
5.4
【解析】延长AP交BC于E，
∠ABP=∠EBP
BP=BP
∠APB=∠EPB
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△ABP和△EBP中，
∵，
∴△ABP≌△EPB（ASA），
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∵S△ABP=2S△APC，
∴S△BEP=2S△PCE，
∵S△PBC=6cm2，
∴S△BEP=4cm2，
∴S△ABP=4cm2．
故答案为：4．21世纪教育网版权所有
【】
三、解答题
1.【解析】解：∵AB=AC，∠A=50°
∴∠ABC=∠C=（180°-30°）÷2=75°，
又∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=37.5°
∴∠ADB=180°-（30°+37.5°）=112.5°，
故∠ADB的度数为112.5 °。
2. 【解析】设∠A=x°，
∵AC=BC，AE=EC，
∴∠ABC=∠A=x°∠ACE=∠A=x°，
∴∠BEC=∠A+∠ACE=2x°，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE=2x°，
在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC=180°，
∴2x+2x+x=180，
解得：x=36，
∴∠A=∠ABC=36°，
∴∠CBD=90°-∠A-∠ABC=18゜．
四、证明题
【解析】证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴AD是△ABC顶角的角平分线（角平分线的定义），
∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），
∴DE=DF（角平分线的性质），
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CD BE=CF ，
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴∠B=∠C（对应角相等），
∴△ABC是等腰三角形．
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