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第一章 三角形的初步认识（高分冲刺卷）
一．选择题
1．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）21教育名师原创作品
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．不能确定
4．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
C．AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF
5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（ ）
A．OA=OB B．OP为△AOB的角平分线
C．OP为△AOB的高 D．OP为△AOB的中线
7．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（ ）21*cnjy*com
A．105° B．110° C．100° D．120°
9．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等
10．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少经过（ ）次操作．21cnjy.com
A．6 B．5 C．4 D．3
二．填空题（共8小题）
11．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54°，则∠BCA的度数为 °．
12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 度．
13．一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是 ．
14．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC的度数为 ．
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为 ．
15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为 时，△PEC与△QFC全等．【出处：21教育名师】
16．如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
17．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．21教育网
18．如图，在△ABC中，C1，C2是AB边上的三等分点，A1，A2，A3是BC边上的四等分点，AA1与CC1交于点B1，CC2与C1A2交于点B2，记△AC1B1，△C1C2B2，△C2BA3的面积为S1，S2，S3．若S1+S3=9，S2= ．21·cn·jy·com
三．解答题
19．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．www.21-cn-jy.com
20．如图，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；2·1·c·n·j·y
（2）求证：BD平分∠CBA．
23．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE．【来源：21·世纪·教育·网】
证明：在△AEB和△AEC中，
∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
∴△AEB≌△AEC…第一步
∴∠BAE=∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．2-1-c-n-j-y
24．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c=2：3：4，求a，b，c的值．
25．证明三角形的内角和定理：
已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180°．
26．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：【来源：21cnj*y.co*m】
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．21世纪教育网版权所有
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）21·世纪*教育网
结论： ．
27．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：【版权所有：21教育】
（1）PC= cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
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第一章 三角形的初步认识（高分冲刺卷）—答案
一．选择题
1．解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，
加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④
故选：B．
2．解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
3．解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．
故选A．
4．解：
A、根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、根据∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据AC=DF，∠B=∠F，AB=DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项正确；
故选D．
5．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，又∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE=BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD=∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：D．
6．解：当点P是AB的中点时S△AOB最小；如图，过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G，21cnjy.com
在△APG和△BPD中，，∴△APG≌△BPD（ASA），S四边形AODG=S△AOB．∵S四边形AODG＜S△COD，∴S△AOB＜S△COD，∴当点P是AB的中点时S△AOB最小；
故选：D．
7．解：∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等
∴x+y+z=，∵y+z＞x
∴可得x＜，
又因为x为最长边大于
∴x≥
综上可得≤x＜
故选 A．
8．解：设∠C′=α，∠B′=β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠C′DB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．
则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．
故选：B．
9．解：在直角△DEF与直角△FMP中，∠E=∠M=90°，∠5=∠MFP，
∴∠4=∠FPM，
∴∠2=∠3；
同理易证∠ANB=∠CAE，而∠CAE与∠4不一定相等．因而∠1与∠3不一定相等．
故图中相等的角是∠2与∠3．
故选B．
10．解：△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，21世纪教育网版权所有
∵△ABC面积为1，
∴S△A1B1B=2．
同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，
∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；
同理可证S△A2B2C2=7S△A1B1C1=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
第四次操作后的面积为7×343=2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少经过4次操作．
故选C．
二．填空题
11．解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠CAO，∠BCO=∠ACO，
∵AD=A0，
∴∠D=∠AOD，
∴∠BAO=2∠D，
设∠D=α，
则∠BAO=2α，∠BAC=4α，
在△DBO与△CBO中，
∴△DBO≌△CBO，
∴∠BCO=∠D=α，
∴∠BCA=2α，
∴54+4α+2α=180，
∴α=21，
∴∠BCA=42°，
故答案为：42．
12．解：如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
13．解：设第三边长为x，
则8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11．
又∵x为奇数，
∴x=7或9，
故答案为7或9．
14．解：（1）∵∠F=30°，∠EAC=45°，
∴∠ABF=∠EAC﹣∠F=45°﹣30°=15°，
∵∠FBC=90°，
∴∠ABC=∠FBC﹣∠ABF=90°﹣15°=75°；
（2）∵∠B=60°，∠BAC=90°，
∴∠C=30°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C=30°，
∴∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°．
故答案为：75°，75°．
15．解：如图1所示；
∵△PEC与△QFC全等，
∴PC=QC．
∴6﹣t=8﹣3t．
解得：t=1．
如图2所示：
∵点P与点Q重合，
∴△PEC与△QFC全等，
∴6﹣t=3t﹣8．
解得：t=．
故答案为：1或．
16．解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有个全等三角形．
故答案为：．
17．解：由题意得：α=2β，α=110°，则β=55°，
180°﹣110°﹣55°=15°，
故答案为：15°．
18．解：根据图形和已知条件发现：S1=S△ACC1，S2=S△CC1C2，S3=S△CC2B，
S△ACC1=S△CC1C2=S△CC2B，
∴S1=S2，S3=S2，
若S1+S3=9，S2=4．
三．解答题
19．∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°．
又∵∠DBE+∠ADB+∠BED=180°，∠BED=70°，
∴∠DBE=180°﹣∠ADB﹣∠BED=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=40°．
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=80°．
20．连结BC，∵∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠BFC=180°，
又∵∠EFD=∠BFC，
∴∠E+∠D=∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2
=∠ABC+∠A+∠ACB
=180゜．
21．（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=40°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣20°=20°；
（3）能．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠B，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C），
∵∠B﹣∠C=40°，
∴∠DAE=×40°=20°．
22．（1）如图1所示：
（2）连接BD，如图2所示：
∵∠C=60°，∠A=40°，
∴∠CBA=80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠A=∠DBA=40°，
∴∠DBA=∠CBA，
∴BD平分∠CBA．
23．上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：
在△BEC中，
∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC．
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE．
24．设三边长分别为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x=36，
解得：x=4．
则a=2×4=8（cm），
b=3×4=12（cm），
c=4×4=16（cm）．
25．证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
即三角形内角和等于180°．
26．（1）探究2结论：∠BOC=∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°﹣∠A．
27．（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP=2t，21教育网
则PC=10﹣2t；
（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP，
∵当t=2.5时，BP=2.5×2=5，
∴PC=10﹣5=5，
∵在△ABP和△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP（SAS）；
（2）①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB=6，
∴PC=6，
∴BP=10﹣6=4，
2t=4，
解得：t=2，
CQ=BP=4，
v×2=4，
解得：v=2；
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB=PC，
∴BP=PC=BC=5，
2t=5，
解得：t=2.5，
CQ=BP=6，
v×2.5=6，
解得：v=2.4．
综上所述：当v=2.4或2时△ABP与△PQC全等．
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