3.3垂径定理（2）课件
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课件19张PPT。3.3 垂径定理(2)定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两条弧.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,温故知新垂径定理的逆命题是什么？想一想垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的
两 条弧.条件结论1结论2逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。②CD⊥AB,探索规律AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?由 ① CD是直径③ AM=BM┗ 平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（不是直径）只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB, 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:规律（3）
（1）（2）
（4）
（5）（2）
（3）（1）
（4）
（5）（1）
（4）（3）
（2）
（5）（1）
（5）（3）
（4）
（2）命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB, 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径定理已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.证明：连结OA，OB，则OA=OB∴△AOB是等腰三角形∵AE=BE,∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）（垂径定理）请同学们独立证明定理2（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.×√××√辨一辨（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，必定过圆心。（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。???（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。???例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).ABOCDR解：∴OC⊥AB.∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.练一练1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H, EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.M3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。 （弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF.G提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等课堂小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。拓展提高1、 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
弦所对的两条弧.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,温故知新垂径定理的逆命题是什么？想一想垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的
两 条弧.条件结论1结论2逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。②CD⊥AB,探索规律AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?由 ① CD是直径③ AM=BM┗ 平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（不是直径）只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB, 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:规律（3）
（1）（2）
（4）
（5）（2）
（3）（1）
（4）
（5）（1）
（4）（3）
（2）
（5）（1）
（5）（3）
（4）
（2）命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB, 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径定理已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.证明：连结OA，OB，则OA=OB∴△AOB是等腰三角形∵AE=BE,∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）（垂径定理）请同学们独立证明定理2（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.×√××√辨一辨（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，必定过圆心。（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。???（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。???例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).ABOCDR解：∴OC⊥AB.∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.练一练1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H, EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.M3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。 （弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF.G提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等课堂小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。拓展提高1、 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
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