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浙教版数学八年级上2.6直角三角形教学设计
课题 直角三角形（1） 单元 第二章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 通过对直角三角形性质的学习对数学证明有进一步的认识，感受数学严密思维的趣味。
能力目标 在探究直角三角形的性质中培养学生自主探究和合作学习的能力
知识目标 1.认识直角三角形2.掌握直角三角形的两个锐角互余的性质定理3.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质
重点 两个锐角互余的三角形是直角三角形的判定定理的探究
难点 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的推导过程。
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 直角三角形：有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形你能从图中找出多少个直角三角形？5个直角三角形 观察 回答问题 从学生熟悉的事物引入本课知识
讲授新课 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形表示：“Rt△”如图的三角形可以记为Rt△ABC你能举出生活中的直角三角形吗？已知：在△ABC中，∠C=90°求证：∠A+∠B=90°证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=180°-∠C=90°则∠A+∠B=90°直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余在Rt△ABC中，∠C=90°则∠A+∠B=___90° 听课思考 讲解直角三角形的表示和一个性质定理
思考探究 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高。（1）图中有几个直角三角形？Rt△ABC、 Rt△ACD、 Rt△BCD（2）图中有几对互余的角？∠A与∠B、∠A与∠1、∠B与∠2、∠1与∠2（3）图中有几对相等的角？∠1=∠B、∠2=∠A 思考 培养学生的自主探究能力
即时演练 已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°×=54°；
90°×=36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°． 做练习 及时练习，巩固概念
做一做 已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD，求证：AD=CD证明：∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,
∴∠A=∠ACD(等角的余角相等),
∴AD=CD.从本题中，你发现直角三角形斜边上的中线有什么性质？斜边上的中线等于斜边的一半 做练习 通过做一做来让学生得出直角三角形斜边上的中线的性质
讲授新知 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。它有什么性质呢？（1）具有等腰三角形的所有性质（2）具有直角三角形的所有性质等腰直角三角形的两个锐角都是45° 听课 讲解等腰直角三角形的性质定理
即时演练 已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=______．解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠C=90°，AD=2CD，
∴∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=45°-30°=15°．
故答案为：15°． 做练习 及时练习，巩固所学
讲解新知 直角三角形还有以下性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 数学语言表述为：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线∴CD=AD=BD=AB 听课 讲解直角三角形的性质定理
例题讲解 例1 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B。已知AB=200m,问这名滑雪运动员的高度下降了多少米 解：作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=AD=AB=×200=100（m）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∵∠B=30°∴∠A=90°-∠B=60°（直角三角形的两个锐角互余）∴△ADC是等边三角形（为什么？）∴AC=AD=100（m）答：这名滑雪运动员的高度下降了100m 听课思考 讲解例题，明白题型
讲授新知 从例1的结果，你能得到什么结论？直角三角形性质定理：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即在Rt△ABC 中，如果 ∠ACB ＝ ９0° ∠A＝ 30 ° 那么 BC＝ 听课 讲解直角三角形的性质
即时演练 右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, ∠A＝ 30 °,立柱BC、DE要多长？解： ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∠A＝ 30 °由上述定理可得：BC=AB，DE=AD，∴BC=×7.4=3.7(m)又AD=AB=BC∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC、DE分别要3.7m、1.85m. 练习 及时做练习巩固所学
达标测评 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ） A．20 B．10 C．5 D．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD=×AB=5，故选C．2.如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD=125°，求∠BAD的度数．解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD=125°，
∴∠CBE=∠EPD﹣∠ADB=125°﹣90°=35°，
∵BE是一条角平分线，
∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°﹣∠ABD=90°﹣70°=20°．
故答案为：20 °．3.如图，方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有10个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）A．16个 B．20个 C．24个 D．28个解：图3中，每一个小正方形可以有4个等腰直角三角形，共有4×4=16个，
两个小正方形组合的矩形可以有2×4=8个等腰直角三角形，
四个小正方形可以组合成一个大正方形，可以有4个等腰直角三角形，
所以，等腰三角形共有16+8+4=28．
故选D．4.如图，直角三角形ABC中，O是BC中点且BD⊥CD，试说明AO与OD的关系．解：AO=DO，
理由是：∵∠BAC=90°，O为BC中点，
∴AO=BC，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵O为BC中点，
∴DO=BC，
∴AO=DO5.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论。（1）连结AD，∵AB=AC，∠BAC=90°D为BC的中点 ∴AD⊥BC ，BD=AD，∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF， ∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90° ∴△DEF为等腰直角三角形（2）若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示，连结AD， ∵ AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点
∴AD=BD，AD⊥BC， ∴ ∠DAC=∠ABD=45°
∴ ∠DAF=∠DBE=135°
又AF=BE， ∴ △DAF≌△DBE
∴ FD=ED，∠FDA=∠EDB
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90° ∴ △DEF仍为等腰直角三角形 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
拓展提升 4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．解：如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°-60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=2 2x=4x，
∴EB=AB-EA=4x-x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3． 思考 拓展学生思维
课堂小结 这节课我们学习了：直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半4.等腰直角三角形的两个锐角都是45° 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P70页第1、 3、 5 题 做练习 课下练习提升
板书 2.6直角三角形（1）1直角三角形的定义2直角三角形的性质定理：1）直角三角形的两个锐角互余2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半3.等腰直角三角形的性质定理：等腰直角三角形的两个锐角都是45° 看黑板 帮助学生梳理本课知识点
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直角三角形（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、直角三角形斜边上的中点是（ ）
A．三条边中线的交点 B．三边高线的交点
C．三个角平分线的交点 D．三边中垂线的交点
2.△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（ ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 15°
3. 如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）21教育网
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ ）
A．9° B．18° C．27° D．36°
5. 如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD
二、填空题
1、等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为______度．
2. 下图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=30°，AB=7.4m，则BC=______m，DE=______m．21cnjy.com
3. 已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠B=30°，AD=a，则AB=______．
4. 如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，那么当船继续航行，______时______分测得灯塔C在正西方向．21·cn·jy·com
三、证明题
1. 如图，在△ABCC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AF是角平分线，交CD于点E．求证：∠1=∠2．www.21-cn-jy.com
2. 如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AP⊥AB交BC于点P。
求证：PB=2PC。
四、计算题
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠A的平分线交BC于D，点D到AB的距离是4cm，求BC的长．21世纪教育网版权所有
参考答案
一、选择题
2、D
【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠C=90°，AD=2CD，
∴∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=45°-30°=15°．
故答案为：D．
3、C
【解析】
∵易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，而斜边与圆水杯底相等为8cm．
∴P点到杯口距离为4cm．
∴水深为10-4=6cm．
故选C．
4.B
【解析】设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．
则x+4x=90，
解得：x=18°．
故选B．
5.C
【解析】
∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D
∴∠A=∠D=90°（A正确）
又∵AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB（B正确）
∴AB=CD
又∵∠AOB=∠C
∴△AOB≌△DOC
∴OA=OD（D正确）
C中OD、OB不是对应边，不相等．
故选C．
二、填空题
1、30或150
【解析】①如图，
∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD= AB，
∴∠A=30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC= 1 2 AC，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°，
故答案为：30或150．
2、3.7、1.85
【解析】
∵BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4m，
∴BC= AB=3.7m；
∵点D是AB的中点，
∴AD= AB=3.7m，
∵DE⊥AC，∠A=30°，
∴DE= AD=1.85m．
故答案为3.7、1.85．
3、
【解析】
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=180°-90°-60°=30°，
∴AC=2AD=2a，AB=2AC=4a，
故答案为：4a．
4、 10；15
【解析】∵∠CBD为△ABC的外角，且∠CBD=60°，∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠CBD-∠ACB=30°，即∠CAB=∠ACB，
又AB=15×（9.5-8）=22.5（海里），
∴AB=BC=25海里，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴BD= BC=12.5（海里），
∴从B到D用的时间为12.5÷15= 小时=45分钟，
则当船继续航行，10时15分测得灯塔C在正西方向．
故答案为：10；15
【】
三、证明题
1、【解析】证明：∵AF是角平分线，
∴∠CAF=∠BAF，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠2=90°，∠BAF+∠AED=90°，
∴∠2=∠AED，
∵∠AED=∠1，
∴∠1=∠2．
2、【解析】证明：因为AB=AC，∠BAC=120°，
所以∠B=∠C=30°，
又∠BAP=90°，
所以∠PAC=30°，
在Rt△APB中，因为∠B=30°，
所以PB=2PA，
又∠C=∠PAC=30°，
所以PA=PC，
所以PB=2PC。
四、计算题
【解析】
设DE⊥AB于E，则DE=4
∵AD是∠BAC的平分线
∴CD=4
∵∠B=30°
∴∠DAB=∠DAC=30°
∵∠C=90°
∴AD=2CD=8
∵∠B=30°
∴∠DAB=∠B
∴AD=BD=8
∴BC=BD+CD=8+4=12cm．
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直角三角形
浙教版 八年级上
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——第一课时
教学目标
导入新课
你能从图中找出多少个直角三角形？
5个直角三角形
有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形
直角三角形：
教学目标
讲授新知
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：
“Rt△”
如图的三角形可以记为Rt△ABC
斜边
直
角
边
直角边
你能举出生活中的直角三角形吗？
教学目标
讲授新知
已知：在△ABC中，∠C=90°
求证：∠A+∠B=90°
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）
∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
教学目标
讲授新知
直角三角形的两个锐角互余
直角三角形的性质定理：
在Rt△ABC中，∠C=90°
则∠A+∠B=__________
90°
教学目标
思考探究
如图，CD是Rt△ABC斜边上的高。
（1）图中有几个直角三角形？
（2）图中有几对互余的角？
（3）图中有几对相等的角？
Rt△ABC、 Rt△ACD、 Rt△BCD
∠A与∠B、∠A与∠1、∠B与∠2、∠1与∠2
∠1=∠B、∠2=∠A
C
A
D
B
1
2
教学目标
即时演练
已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。
解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°×=54°；
90°×=36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°．
教学目标
做一做
已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD，求证：AD=CD
从本题中，你发现直角三角形斜边上的中线有什么性质？
证明：∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∵BD=CD,∴∠B=∠BCD,
∴∠A=∠ACD(等角的余角相等),
∴AD=CD.
D
斜边上的中线等于斜边的一半
教学目标
讲授新知
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
它有什么性质呢？
（1）具有等腰三角形的所有性质
（2）具有直角三角形的所有性质
等腰直角三角形的两个锐角都是45°
C
A
B
教学目标
即时演练
已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=______．
解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠C=90°，AD=2CD，
∴∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=45°-30°=15°．
故答案为：15°．
15°
教学目标
讲授新知
直角三角形还有以下性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
数学语言表述为：
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线
∴CD=AD=BD=AB
D
教学目标
例题讲解
例1 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B。已知AB=200m,问这名滑雪运动员的高度下降了多少米
解：作Rt△ABC的斜边上的中线CD，
则CD=AD=AB=×200=100（m）
（_________________________________________）
∵∠B=30°
∴∠A=90°-∠B=60°（___________________________________）
∴△ADC是等边三角形（为什么？）
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直角三角形的两个锐角互余
A
B
C
D
30°
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
∴AC=AD=100（m）
答：这名滑雪运动员的高度下降了100m。
教学目标
讲授新知
从例1的结果，你能得到什么结论？
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
即在Rt△ABC 中，如果
∠ACB ＝ ９0°
∠A＝ 30 °
那么 BC＝
Ｂ
Ａ
Ｃ
直角三角形性质定理：
教学目标
即时演练
右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、
DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, ∠A＝ 30 °,立柱BC、DE要多长？
B
A
D
C
E
解： ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∠A＝ 30 °
由上述定理可得：
BC=AB，DE=AD，
∴BC=×7.4=3.7(m)
又AD=AB=BC
∴DE=AD=×3.7=1.85(m).
答：立柱BC、DE分别要3.7m、1.85m.
教学目标
达标测评
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）
A．20 B．10 C．5 D．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD=×AB=5，故选C．
C
教学目标
达标测评
2.如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD=125°，求∠BAD的度数．
解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD=125°，
∴∠CBE=∠EPD﹣∠ADB=125°﹣90°=35°，
∵BE是一条角平分线，
∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°﹣∠ABD=90°﹣70°=20°．
故答案为：20 °．
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教学目标
达标测评
3.如图，方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有10个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）
A．16个 B．20个 C．24个 D．28个
D
教学目标
达标测评
解：图3中，每一个小正方形可以有4个等腰直角三角形，共有4×4=16个，
两个小正方形组合的矩形可以有2×4=8个等腰直角三角形，
四个小正方形可以组合成一个大正方形，可以有4个等腰直角三角形，
所以，等腰三角形共有16+8+4=28．
故选D．
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教学目标
达标测评
4.如图，直角三角形ABC中，O是BC中点且BD⊥CD，试说明AO与OD的关系．
解：AO=DO，
理由是：∵∠BAC=90°，O为BC中点，
∴AO=BC，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵O为BC中点，
∴DO=BC，
∴AO=DO
教学目标
达标测评
5.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论。
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教学目标
达标测评
（1）连结AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点
∴AD⊥BC ，BD=AD，
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90° ∴△DEF为等腰直角三角形
教学目标
达标测评
（2）若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示，连结AD，
∵ AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点
∴AD=BD，AD⊥BC， ∴ ∠DAC=∠ABD=45°
∴ ∠DAF=∠DBE=135°
又AF=BE，
∴ △DAF≌△DBE
∴ FD=ED，∠FDA=∠EDB
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°
∴ △DEF仍为等腰直角三角形
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
解：如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°-60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=2 2x=4x，
∴EB=AB-EA=4x-x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3．
拓展提升
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教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
直角三角形的性质：
1、直角三角形的两个锐角互余
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
4.等腰直角三角形的两个锐角都是45°
教学目标
课后作业
课本P70页第1、 3、 5 题
谢 谢！
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