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浙教版数学八年级上2.6直角三角形教学设计
课题 直角三角形（2） 单元 第二章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 能够用本课知识解决实际问题，在不断的探索中培养对数学的兴趣，感受数学严谨的思维。
能力目标 在探究直角三角形判定定理的过程中，培养学生自主探究和合作学习的能力。
知识目标 1.掌握两个角互余的三角形是直角三角形的判定定理2.掌握判定等腰直角三角形的方法
重点 两个角互余的三角形是直角三角形的判定定理
难点 直角三角形的判定定理的应用
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 直角三角形的性质定理：1.直角三角形的两个锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半4.有一个角为90°的三角形是直角三角形。 回忆思考 回忆过去学过的知识，为学习本课奠定基础
讲授新知 说出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，这个逆命题正确吗？你是怎么判定的？逆定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形根据“三角形三个内角的和等于180°”，当一个三角形中有两个角互余时，它的第三个角就等于90°，所以这个三角形是直角三角形。直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形几何语言：在△ABC中，∠A+∠C=90°则△ABC 是直角三角形 听课 讲解直角三角形的判定定理
做一做 根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。（1）有一个外角为90°（2）∠A=36°，∠B=54°（3）如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1（1）∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴这个三角形有两个角互余根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可以判断△ABC是直角三角形（2）∵∠A=36°，∠B=54°∴∠C=90°，根据直角三角形的定义可知，可以判断△ABC是直角三角形（3）∵∠1+∠2=90°，又∠B=∠1∴∠B+∠2=90°∴∠ACB=90°，则△ABC是直角三角形 做题 思考应用所学知识
巩固练习 根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。（1）∠A，∠B，∠C的度数比为5:3:2（2）∠A=∠B= ∠C解：（1）∠A,∠B,∠C的度数比为5：3：2，∵三角形内角和为180°∴∠A=90°∴△ABC 是直角三角形（2）设∠A=x，则x+x+2x=180°∴x=45°∠A=45°，∠C=90°∴△ABC 是直角三角形 练习 及时练习，巩固所学
例题讲解 例2 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，CD=AB求证：△ABC是直角三角形证明 ∵CD是AB边上的中线（已知）∴AD=BD=AB（三角形中线的定义）∵CD=AB∴CD=AD∴∠A=∠ACD（在同一个三角形中，等边对等角）同理，∠B=∠BCD∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°（三角形内角和为180°）∴∠A+∠B= ∠ACD+∠BCD=×180°=90°∴△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形） 听课 讲解课本例题
讲授新知 根据例2，可得出直角三角形的判定定理2：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形几何语言：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，CD=AB则△ABC是直角三角形 听课 讲授直角三角形判定定理2
即时演练 已知△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC。
求证：△ABC是直角三角形。证明：作AB的中垂线DE，交AC于D，交AB于E，连结BD。∵DE⊥AB，AE=BE
∴AD=BD
∴ ∠2=∠A
∵ ∠ABC=2∠A
∴ ∠1=∠2
∵ AB=2BC
∴ BE=BC
∴ △EDB≌△CDB（SAS）
∴ ∠C=∠3=Rt∠
∴ △ABC是直角三角形。 练习 及时做练习巩固所学
讲解新知 在△ABC中，∠A=45°，AC=BC，判断△ABC 的形状解：∵AC=BC∴∠A=∠B（等边对等角）∴∠C=180°-（∠A+∠B） =90°（三角形内角和为180°）∴△ABC为等腰直角三角形。等腰直角三角形的判定定理：底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。几何语言：在△ABC中，∠A=45°，AC=BC则△ABC 是等腰直角三角形 听课 讲解直角三角形判定定理2
即时演练 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解：∵若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，
又∵等腰三角形的两个底角相等，
∴该等腰三角形的底角是45°，
∴顶角等于90°，
∴该三角形一定是等腰直角三角形．
故选D． 做练习 讲解例题，明白题型
达标测评 1.三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（ ）A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形解：设此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3（其中∠3最大），根据题意得
∠1=∠3-∠2，
∴∠1+∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴2∠3=180°，
∴∠3=90°．2.如图在矩形方格纸上（小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点为格点，则以格点为顶点，面积为1的等腰直角三角形的个数为（ ） A．6B．12C．16D．20解：如图所示，面积为1的等腰直角三角形的个数为12个，故选B3.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（ ）A. B. C. D. 解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，
则k+2k+3k=180°，
解得k=30°，2k=60°，3k=90°，
∵AB=a，∴BC=AB=，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A=30°，
∴DB=BC=×=．
故选A． 4.已知：如图所示，△ABC中，∠C=2∠B。BC=2AC，求证：∠A=90°解：作CD平分ACB交AB于D，取BC中点E，连结DE，则∠ ACB=2∠1=2∠2∵∠ACB=2∠B，∴∠1=∠B∴DB=DC∵BC=2EC，∠DEC=90°，BC=2AC∴EC=AC在△ACD和△ECD中，AC=EC,∠2=∠1，CD=CD∴△ACD≌△ECD（SAS）∴∠A=∠DEC=90°5.已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．
求证：MN=(AB-CD)． 证明：如图，作DE∥CB，
∵∠A=36°，∠B=54°，∴△ADE是直角三角形，其中AE=AB-CD，∠ADE=90°，
取AE中点F，连DF，则 FN=AN-AF=-=，
∴FN∥DM且FN=DM，
∴DMNF是平行四边形，
∴DF=MN，
∵DF是直角△ADE斜边的中线，
∴2DF=AE=AB-CD，
∴2MN=AB-CD， ∴MN=(AB-CD)． 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 如图，直线AB//CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，试判断EFG的形状，并写出完整的说理过程。解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，又∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠1=∠BEF，∠2=∠DFE，∴∠1+∠2=（∠BEF+∠DFE）= ×180°=90°，
∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°．
∴△EFG是直角三角形． 思考练习 通过猜想拓展学生思维
课堂小结 这节课我们学习了：直角三角形的判定定理1.有两个角互余的三角形是直角三角形2.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形等腰直角三角形的判定定理：底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P72页第1、 4、 5 题 做练习 课下练习提升
板书 2.6直角三角形（2）直角三角形的判定定理1.角 有两个角互余的三角形是直角三角形2.边 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 等腰直角三角形的判定定理底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形 看黑板 帮助学生梳理本课知识点
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直角三角形（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1. 平面上有A、B两个点，以线段AB为一边作等腰直角三角形能作（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．无数个
2. 如图，在4×3的长方形网格中，已知A、B两点为格点（网格线的交点称为格点），若C也为该网格中的格点，且△ABC为等腰直角三角形，则格点C的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3. 用两个完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．等腰三角形 D．梯形
4. △ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
5.如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（ ）
A．10cm B．20cm C．30cm D．35cm
二、填空题
1、将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=______度．21教育网
2. 在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是______度．21cnjy.com
3. 如图，△ABD中，∠BAD=45°，AE⊥BD于E，DF⊥AB于F，交AE于G，BE=4，DE=3，则AG=______．21·cn·jy·com
4. 已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是______．www.21-cn-jy.com
5. 已知Rt△ABC的两直角边不相等，如果要画一个三角形与Rt△ABC全等，且使所画三角形两条直角边与Rt△ABC的两条直角边分别在同一条直线上（Rt△ABC本身不算），那么满足上述条件的三角形最多能画出______个．2·1·c·n·j·y
三、证明题
1. 已知如图, 在△ABC 中, ∠BAC=2 ∠B,AB=2AC, 求证: △ABC 是直角三角形。
2. 如图所示，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF中点．
求证：MN⊥EF．
参考答案
一、选择题
2、C
【解析】如图所示，，所以有6个
3、D
【解析】如图，把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：
分别有等边三角形，等腰三角形，矩形，平行四边形．
4.D
【解析】根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．
5.D
【解析】如图，依题意得△ABC是一个斜边为40的等腰直角三角形，
∴此三角形中斜边上的高应该为20，
∴水深至少应为55-20=35cm．
故选D．
二、填空题
1、90
【解析】如图，连接两交点，
根据矩形两边平行，得
∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
又矩形的角等于90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°．
故答案为：90．
2、130°
【解析】∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠BDC=∠AEB=90°
∴∠ABE=90°-50°=40°
∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40+90=130°．
故填130°．
3、7
【解析】由∠BAD=45°，DF⊥AB于F则△ADF是等腰直角三角形，
所以AF=DF，
又∵∠AGF=∠DGE，AE⊥BD于E，
∴∠FAG=∠GDE，
利用等角（或同角）的余角相等可证得∠BAE=∠BDF，
又∵∠AFG=∠DFB=90°，
可证得△AGF≌△DBF（ASA），
所以AG=BD=BE+DE=7．
4. 4096
【解析】根据题意：每作一次图，三角形面积变为原来的2倍；且第一个等腰直角三角形的面积为1，故第13个等腰直角三角形的面积是1×212=4096．21世纪教育网版权所有
5.7
【解析】如图所示：
△AMC，△EFC，△EGC，△HGC，△HFC，△BCN，△MNC共7个，
故答案为：7．
三、证明题
1.【解析】解：过A 作∠CAB 的角平分线, 交BC 于D, 过D 作DE ⊥AB 于E
∵∠BAC=2 ∠B
∴∠CAD= ∠DAB= ∠B
在△DAE 和△DBE 中 ∠DAE= ∠B,
∠DEA= ∠DEB=90 °,DE=DE
∴△DAE ≌△DBE(AAS)
∴AE=BE=AB=AC在△ACD和△AED中AC=AE,
∠CAD=∠EAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED(SAS)
∴∠C=∠DEA=90°
∴△ABC为直角三角形
2. 【解析】证明：
连接ME，MF．
则有ME= BC，MF= BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴ME=MF．
又∵N为EF中点，
∴MN⊥EF．
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直角三角形
浙教版 八年级上
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——第二课时
教学目标
回顾旧知
直角三角形的性质定理：
2.直角三角形的两个锐角互余
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
1.直角三角形有一个角为90°。
教学目标
讲解新知
说出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，这个逆命题正确吗？你是怎么判定的？
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和）
∴∠B=180°-(∠A+∠C)
=180°-90°
=90°
∴△ABC 是直角三角形
逆定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形
A
B
C
教学目标
讲解新知
直角三角形的判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形
A
B
C
在△ABC中，∠A+∠C=90°
则△ABC 是直角三角形
几何语言：
教学目标
做一做
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。
（1）有一个外角为90°
（2）∠A=36°，∠B=54°
（3）如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1
C
A
B
D
2
1
（1）∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴这个三角形有两个角互余
根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可以判断△ABC是直角三角形
教学目标
做一做
（2）∵∠A=36°，∠B=54°
∴∠C=90°，根据直角三角形的定义可知，可以判断△ABC是直角三角形
（3）∵∠1+∠2=90°，
又∠B=∠1
∴∠B+∠2=90°
∴∠ACB=90°，
则△ABC是直角三角形
教学目标
巩固练习
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。
（1）∠A，∠B，∠C的度数比为5:3:2
（2）∠A=∠B= ∠C
解：（1）∠A,∠B,∠C的度数比为5：3：2，
∵三角形内角和为180°
∴∠A=90°
∴△ABC 是直角三角形
（2）设∠A=x，则x+x+2x=180°
∴x=45°
∠A=45°，∠C=90°
∴△ABC 是直角三角形
教学目标
例题讲解
例2 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，CD=AB
求证：△ABC是直角三角形
证明 ∵CD是AB边上的中线（已知）
∴AD=BD=AB（三角形中线的定义）
∵CD=AB
∴CD=AD
∴∠A=∠ACD（在同一个三角形中，等边对等角）
同理，∠B=∠BCD
∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°（______________________）
∴∠A+∠B= ∠ACD+∠BCD=×180°=90°
∴△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）
C
A
D
B
三角形内角和为180°
教学目标
讲授新知
几何语言：
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
如图，CD是△ABC的AB边上的中线，CD=AB
则△ABC是直角三角形
C
A
D
B
根据例2，可得出直角三角形的判定定理2：
教学目标
即时演练
已知△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC。
求证：△ABC是直角三角形。
证明：作AB的中垂线DE，交AC于D，交AB于E，连结BD。
∵DE⊥AB，AE=BE
∴AD=BD
∴ ∠2=∠A
∵ ∠ABC=2∠A
∴ ∠1=∠2
∵ AB=2BC
∴ BE=BC
∴ △EDB≌△CDB（SAS）
∴ ∠C=∠3=Rt∠
∴ △ABC是直角三角形。
教学目标
讲授新知
在△ABC中，∠A=45°，AC=BC，判断△ABC 的形状
解：∵AC=BC
∴∠A=∠B（等边对等角）
∴∠C=180°-（∠A+∠B）
=90°（三角形内角和为180°）
∴△ABC为等腰直角三角形。
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教学目标
讲授新知
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
等腰直角三角形的判定定理：
几何语言：
在△ABC中，∠A=45°，AC=BC
则△ABC 是等腰直角三角形
教学目标
即时演练
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解：∵若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，
又∵等腰三角形的两个底角相等，
∴该等腰三角形的底角是45°，
∴顶角等于90°，
∴该三角形一定是等腰直角三角形．
故选D．
D
1.三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（ ）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
解：设此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3（其中∠3最大），根据题意得
∠1=∠3-∠2，
∴∠1+∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴2∠3=180°，
∴∠3=90°．
达标测评
B
2.如图在矩形方格纸上（小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点为格点，则以格点为顶点，面积为1的等腰直角三角形的个数为（ ）
A．6
B．12
C．16
D．20
解：如图所示，面积为1的等腰直角三角形的个数为12个，故选B
教学目标
达标测评
B
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教学目标
达标测评
3.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（ ）
A. B. C. D.
解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，
则k+2k+3k=180°，
解得k=30°，2k=60°，3k=90°，
∵AB=a，∴BC=AB=，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A=30°，
∴DB=BC=×=．
故选A．
A
教学目标
达标测评
4.已知：如图所示，△ABC中，∠C=2∠B。BC=2AC，求证：∠A=90°
解：作CD平分ACB交AB于D，取BC中点E，连结DE，则∠ ACB=2∠1=2∠2
∵∠ACB=2∠B，∴∠1=∠B
∴DB=DC
∵BC=2EC，∠DEC=90°，BC=2AC
∴EC=AC
在△ACD和△ECD中，
AC=EC,∠2=∠1，CD=CD
∴△ACD≌△ECD（SAS）
∴∠A=∠DEC=90°
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5.已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．
求证：MN=(AB-CD)．
证明：如图，作DE∥CB，
∵∠A=36°，∠B=54°，
∴△ADE是直角三角形，其中AE=AB-CD，∠ADE=90°，
取AE中点F，连DF，则 FN=AN-AF=-=，
∴FN∥DM且FN=DM，
∴DMNF是平行四边形，
∴DF=MN，
∵DF是直角△ADE斜边的中线，
∴2DF=AE=AB-CD，
∴2MN=AB-CD， ∴MN=(AB-CD)．
教学目标
达标测评
教学目标
拓展提升
如图，直线AB//CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，试判断EFG的形状，并写出完整的说理过程。
解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，又∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠1=∠BEF，∠2=∠DFE，∴∠1+∠2=（∠BEF+∠DFE）= ×180°=90°，
∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°．
∴△EFG是直角三角形．
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课堂小结
这节课我们学习了：
直角三角形的判定定理：
1.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么
这个三角形是直角三角形
等腰直角三角形的判定定理：
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
教学目标
课后作业
课本P72页第 1、 4、 5 题
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