2.3等腰三角形的性质定理（2） 练习题（含解析)

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等腰三角形的性质定理（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、下列说法正确是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合
B．等角对等边
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形两个底角相等
2. 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数是（　　）21cnjy.com
A．30° B．36° C．45° D．54°
3. 如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：21·cn·jy·com
①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；
②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；
③AD⊥BC且BD=CD；
④∠BDE=∠CDF．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 如图，在△ACB的边BC所在直线上找一点P，使得△ABP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）2·1·c·n·j·y
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5. 如图，AB=AC，BE=CF，AD是△AEF的中线，则图中全等三角形的对数共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题
1、等腰三角形的顶角等于50°，则一个底角的度数为______；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为______．【来源：21·世纪·教育·网】
2. 如图所示，AB=AD，AD∥BC，∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，则∠ADB等于______度．
3. 如图，已知OC是∠AOB的平分线，DC∥OB，那么△DOC一定是______三角形（填按边分类的所属类型）．21世纪教育网版权所有
4. 在△ABC和△ADC中，下列三个论断：
①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．
将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：______．
5. 如图，①请你填写一个适当的条件：______，使AD∥BC．②若AD∥BC，△ABD是等腰三角形，当∠ABC=70°时，∠ADB=______°．21·世纪*教育网
三、解答题
1. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120度。
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想。
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =50°，CD为腰AB上的高，求∠BCD的度数。
四、探究题
如图，在△ABC中，AB=AC，点P 是BC边上的一点，PD⊥AB 于D ，PE⊥AC于E，CM⊥AB 于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。www.21-cn-jy.com
参考答案
一、选择题
1、D
【解析】
A、等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，故本选项错误．
B、等角对等边必须在三角形中．故本选项错误．
C、等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，故本选项错误．
D、等腰三角形的两个底角相等．故本选项正确．
故选D．
2、C
【解析】设∠EBD=x°，
∵EB=DE，
∴∠BDE=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
即：2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．
故选C．
3、D
【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等，
∴①正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴③正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠CDF，④正确．
故选D．
4.C
【解析】先以A为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有一个交点；
以B为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有两个交点；
作线段AB的垂直平分线与直线BC有一个交点，
故满足条件的点P有4个．
故选C．
5.D
【解析】∵AB=AC，BE=CF，AD是△AEF的中线，
∴AD⊥BC，DE=DF，DB=DC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠ADF=90°，BE=CF，
在△ABE和△ACF中
AB=AC ∠B=∠C BE=CF
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∴根据SSS可推出△AED≌△AFD，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴CE=BF，
∴根据SSS可推出△ABF≌△ACE，
利用SAS可证明△ADB≌△ADC
即有4对全等三角形，
故选D．
二、填空题
1、65°，80°
【解析】（1）设一个底角度数为x°，则另一个底角也为x°，
∵顶角等于50°，
∴50°+2x°=180°，
解得：x=65°；
（2）设顶角为y°，
∵等腰三角形的一个底角为50°，
∴另一个底角也为50°，50°+50°+y°=180°，
解得：y°=80°．
故答案为：65°，80°．
2、30
【解析】
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，
∴∠DBC=（180°-90°）÷3=30°．
∴∠ADB=30°．
故答案为：30．
3、等腰
【解析】
∵DC∥OB，
∴∠DCO=∠BOC，
又OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠BOC=∠DCO，
∴△DOC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．
4. 在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
或者在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC．
【解析】（1）在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
可以证明△ABC≌△ADC（SAS），再利用全等三角形对应边相等得到BC=DC．
（2）在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC．
可以证明△ABC≌△ADC（SSS），再利用全等三角形对应角相等得到∠BAC=∠DAC．
故填在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC．
5. ∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°，35°．
【解析】
①∵内错角相等，两直线平行，
∴∠ADB=∠DBC（或∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°），则AD∥BC．21教育网
②∵△ABD是等腰三角形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴BD平分∠ABC，
∵∠ABC=70°，
∴∠ABD=35°，
故答案为：∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°，35°．
【】
三、解答题
1.【解析】证明：（1）作图如下：
（2）CM=2BM
证明：连接AM，则BM=AM
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∴∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°
∴AM=CM，
故BM=CM，
即CM=2BM．
2. 【解析】解：∵AB=AC，
∴∠C=∠B,
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A =50°
∴∠C=∠B=65°
∵CD⊥AB
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠ACD=40°
∴∠BCD=25°
四、探究题
【解析】解：PD+PE=CM，
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