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浙教版数学八年级上2.3等腰三角形的性质定理（2）教学设计
课题 2.3等腰三角形的性质定理（2） 单元 第二章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 感受三线合一的性质在生活中的乐趣，感受数学的乐趣。
能力目标 通过互动交流，动手操作来培养学生自主探究、合作学习的能力
知识目标 1.掌握等腰三角形三线合一的性质2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图
重点 理解并掌握等腰三角形三线合一的性质
难点 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 你已经知道等腰三角形的哪些性质？1、等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是顶角平分线所在的直线。可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”几何语言：∵AB=AC，∴ ∠B=∠C 回忆思考 回忆学过的知识，引入课题
导入新课 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线。在图中找出所有相等的线段和相等的角。由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？相等的线段:AB=AC,BD=CD相等的角:∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一 观察 回答问题 通过提问引出等腰三角形的第二个性质
讲授新课 几何语言表述：（1）∵AB=AC，∠1=∠2，∴AD⊥BC，BD=CD。（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD；（3）∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD ,AD⊥CD；证明：等腰三角形中，底边上的高线、中线、顶角的平分线重合．已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．证明：∵ AB=AC， AD=AD， BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
∴∠ADB+∠ADC=180度，
∴∠ADB=90度，即有AD⊥BC． 听课 讲解三线合一的几何表述
例题讲解 例3 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC求证：AD⊥BC证明：如图，延长AD，交BC于点E。∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）而AD=AD（公共边）∠ADB=∠ADC（已知）∴△ABD≌△ACD（ASA）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）∵AE是等腰三角形ABC顶角的平分线∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）即AD⊥BC 听课思考 讲解例题，明白题型
即时演练 将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。否则梁就不是水平。 思考 及时练习，巩固所学
例题讲解 例4 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC上的高线长为h.作法 如图：1、作线段BC=a；2、作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；3、在直线 MN 上截取DA=h，连结AB、AC。△ABC就是所求作的等腰三角形。 听课 讲解课本例题
即时演练 如图，已知∠α和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的中线等于a。1. 以线段a为半径,A为顶点画弧交AM,AM于BC
2.用任意半径,分别以BC点为半径画弧相交,连接交点与A点,此线为角A的角平分线.它与上一个圆弧相交于D点.
3.通过D点做一条直线使其垂直于直线AD 做练习 及时练习，巩固所学
达标测评 1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ B ） A．平行B．AO垂直且平分BCC．斜交D．AO垂直但不平分BC【解析】连接AO并延长，如图：
在△ABO和△ACO中，AB=ACBO=COAO=AO
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合）． 2,.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．3.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC, 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。解：在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）∴∠B=∠C= (180°－∠BAC)=40°(三角形内角和定理)又∵AD⊥BC（已知）∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）∴∠BAD=∠CAD=50°4.如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF．证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，
∴△ABC≌△AED（SAS）∴AC=AD；
②∵AF⊥CD，AC=AD，
∴CF=FD（三线合一性质）．5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为______．【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9。 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高，且BD、CE相交于O．
（1）请你写出三类不同的正确的结论；
（2）设∠CBD=α，∠A=β，试找出α与β之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：∠ABC=∠ACB）．解：（1）三类不同的正确结论是：
①△CEB≌△BDC；②∠ABD=∠ACE；③AE=AD；
（2）α与β之间的一种关系式是β=2α．
其理由是：
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠ACB=90°，
即α+∠ACB=90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴ β+2∠ACB=180°，
即β+2（90°-α）=180°，
∴ β=2α． 思考练习 通过猜想拓展学生思维
课堂小结 这节课我们学习了：等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P61页第2、3、4、5 题 做练习 课下练习提升
板书 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一尺规作图 看黑板 帮助学生梳理本课知识点
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等腰三角形的性质定理（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、下列说法正确是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合
B．等角对等边
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形两个底角相等
2. 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数是（ ）21世纪教育网版权所有
A．30° B．36° C．45° D．54°
3. 如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：21·cn·jy·com
①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；
②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；
③AD⊥BC且BD=CD；
④∠BDE=∠CDF．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 如图，在△ACB的边BC所在直线上找一点P，使得△ABP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）www.21-cn-jy.com
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5. 如图，AB=AC，BE=CF，AD是△AEF的中线，则图中全等三角形的对数共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题
1、等腰三角形的顶角等于50°，则一个底角的度数为______；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为______．【来源：21·世纪·教育·网】
2. 如图所示，AB=AD，AD∥BC，∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，则∠ADB等于______度．
3. 如图，已知OC是∠AOB的平分线，DC∥OB，那么△DOC一定是______三角形（填按边分类的所属类型）．21·世纪*教育网
4. 在△ABC和△ADC中，下列三个论断：
①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．
将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：______．
5. 如图，①请你填写一个适当的条件：______，使AD∥BC．②若AD∥BC，△ABD是等腰三角形，当∠ABC=70°时，∠ADB=______°．21教育网
三、解答题
1. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120度。
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想。
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =50°，CD为腰AB上的高，求∠BCD的度数。
四、探究题
如图，在△ABC中，AB=AC，点P 是BC边上的一点，PD⊥AB 于D ，PE⊥AC于E，CM⊥AB 于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。2·1·c·n·j·y
参考答案
一、选择题
1、D
【解析】
A、等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，故本选项错误．
B、等角对等边必须在三角形中．故本选项错误．
C、等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，故本选项错误．
D、等腰三角形的两个底角相等．故本选项正确．
故选D．
2、C
【解析】设∠EBD=x°，
∵EB=DE，
∴∠BDE=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
即：2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．
故选C．
3、D
【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等，
∴①正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴③正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠CDF，④正确．
故选D．
4.C
【解析】先以A为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有一个交点；
以B为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有两个交点；
作线段AB的垂直平分线与直线BC有一个交点，
故满足条件的点P有4个．
故选C．
5.D
【解析】∵AB=AC，BE=CF，AD是△AEF的中线，
∴AD⊥BC，DE=DF，DB=DC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠ADF=90°，BE=CF，
在△ABE和△ACF中
AB=AC ∠B=∠C BE=CF
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∴根据SSS可推出△AED≌△AFD，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴CE=BF，
∴根据SSS可推出△ABF≌△ACE，
利用SAS可证明△ADB≌△ADC
即有4对全等三角形，
故选D．
二、填空题
1、65°，80°
【解析】（1）设一个底角度数为x°，则另一个底角也为x°，
∵顶角等于50°，
∴50°+2x°=180°，
解得：x=65°；
（2）设顶角为y°，
∵等腰三角形的一个底角为50°，
∴另一个底角也为50°，50°+50°+y°=180°，
解得：y°=80°．
故答案为：65°，80°．
2、30
【解析】
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，
∴∠DBC=（180°-90°）÷3=30°．
∴∠ADB=30°．
故答案为：30．
3、等腰
【解析】
∵DC∥OB，
∴∠DCO=∠BOC，
又OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠BOC=∠DCO，
∴△DOC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．
4. 在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
或者在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC．
【解析】（1）在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
可以证明△ABC≌△ADC（SAS），再利用全等三角形对应边相等得到BC=DC．
（2）在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC．
可以证明△ABC≌△ADC（SSS），再利用全等三角形对应角相等得到∠BAC=∠DAC．
故填在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC．
5. ∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°，35°．
【解析】
①∵内错角相等，两直线平行，
∴∠ADB=∠DBC（或∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°），则AD∥BC．21cnjy.com
②∵△ABD是等腰三角形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴BD平分∠ABC，
∵∠ABC=70°，
∴∠ABD=35°，
故答案为：∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°，35°．
【】
三、解答题
1.【解析】证明：（1）作图如下：
（2）CM=2BM
证明：连接AM，则BM=AM
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∴∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°
∴AM=CM，
故BM=CM，
即CM=2BM．
2. 【解析】解：∵AB=AC，
∴∠C=∠B,
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A =50°
∴∠C=∠B=65°
∵CD⊥AB
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠ACD=40°
∴∠BCD=25°
四、探究题
【解析】解：PD+PE=CM，
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浙教版 八年级上
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等腰三角形的性质定理
——第二课时
教学目标
回顾旧知
2、等腰三角形性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等.
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
几何语言：
A
C
B
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C
1、等腰三角形的轴对称性：
你已经知道等腰三角形的哪些性质？
等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是顶角平分线所在的直线。
教学目标
导入新课
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线。在图中找出所有相等的线段和相等的角。由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？
相等的线段:
AB=AC,BD=CD
相等的角:
∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一
等腰三角形性质定理2：
教学目标
讲授新知
（1）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴AD⊥BC，BD=CD。
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD；
（3）∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD ,AD⊥CD；
A
D
C
B
A
D
C
B
几何语言表述：
A
D
C
B
1 2
教学目标
讲授新知
已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
证明：∵ AB=AC，
AD=AD，
BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
即有AD⊥BC．
证明：等腰三角形中，底边上的高线、中线、顶角的平分线重合．
教学目标
例题讲解
证明：如图，延长AD，交BC于点E。
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
而AD=AD（公共边）
∠ADB=∠ADC（已知）
∴△ABD≌△ACD（ASA）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
例3 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC
求证：AD⊥BC
A
B
C
D
E
∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
∵AE是等腰三角形ABC顶角的平分线
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）
即AD⊥BC
教学目标
即时演练
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。否则梁就不是水平。
教学目标
例题讲解
例4 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC上的高线长为h.
作法 如图：
h
a
1、作线段BC=a；
2、作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；
3、在直线 MN 上截取DA=h，连结AB、AC。
△ABC就是所求作的等腰三角形。
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教学目标
即时演练
如图，已知∠α和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的中线等于a。
a
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教学目标
即时演练
1. 以线段a为半径,A为顶点画弧交AM,AM于BC
2.用任意半径,分别以BC点为半径画弧相交,连接交点与A点,此线为角A的角平分线.它与上一个圆弧相交于D点.
3.通过D点做一条直线使其垂直于直线AD
教学目标
达标检测
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行
B．AO垂直且平分BC
C．斜交
D．AO垂直但不平分BC
B
教学目标
达标测评
【解析】连接AO并延长，如图：
在△ABO和△ACO中，
AB=AC
BO=CO
AO=AO
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合）．
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教学目标
讲解新知
2,.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）
如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．
教学目标
达标测评
3.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC, 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
A
B
D
C
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C= (180°－∠BAC)
=40°(三角形内角和定理)
又∵AD⊥BC（已知）
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）
∴∠BAD=∠CAD=50°
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教学目标
达标测评
4.如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF．
证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD；
②∵AF⊥CD，AC=AD，
∴CF=FD（三线合一性质）．
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教学目标
达标测评
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为______．
【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9。
9
教学目标
拓展提升
如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高，且BD、CE相交于O．
（1）请你写出三类不同的正确的结论；
（2）设∠CBD=α，∠A=β，试找出α与β之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：∠ABC=∠ACB）．
教学目标
拓展提升
解：（1）三类不同的正确结论是：
①△CEB≌△BDC；②∠ABD=∠ACE；③AE=AD；
（2）α与β之间的一种关系式是β=2α．
其理由是：
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠ACB=90°，
即α+∠ACB=90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴ β+2∠ACB=180°，
即β+2（90°-α）=180°，
∴ β=2α．
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教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一
教学目标
课后作业
课本P61页第2 、3 、4 、5 题
谢 谢！
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