2017-2018学年浙教版八年级数学上册习题：第1章 三角形的初步知识（同步练习）

第1章　三角形的初步知识
1．1　认识三角形
第1课时　三角形的有关概念及三边关系
01　　基础题
知识点1　三角形及相关概念
1．(1)如图，点D在△ABC内，写出图中所有除△ABC外的三角形：△ABD，△ACD，△BCD；
(2)在△ACD中，∠ACD所对的边是AD；在△ABD中，边AD所对的角是∠ABD．
知识点2　三角形内角和定理
2．(温州校级期中)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是(
B
)
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
3．如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(
C
)
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
第3题图　　第4题图
4．(南三县期末)一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为(
A
)
A．75°
B．60°
C．65°
D．55°
知识点3　三角形按角的大小分类
5．(诸暨期末)在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝55°，则△ABC为
(
C
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
6．如图，图中有6个三角形，其中，△ABC，△ACD是锐角三角形，△ACE，△ABE，△ADE是直角三角形，△ABD是钝角三角形．
知识点4　三角形的三边关系
7．(萧山区四校联考)在下列长度的四根木棒中，能与4
cm、9
cm长的两根木棒钉成一个三角形的是(
C
)
A．4
cm
B．5
cm
C．9
cm
D．13
cm
8．(盐城中考)若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋＝0，则c的值可以为(
A
)
A．5
B．6
C．7
D．8
9．如图，从点A到点D有三条路线：A—B—D，A—C—D，A—D，其中最短的路线是A－D．
10．(1)在△ABC中，AB＝3，AC＝4，那么BC边的长度应满足什么条件？
(2)如果一个三角形的两边长分别为5
cm，7
cm，第三边的长为x
cm，且x是一个奇数，求三角形的周长；
(3)如果三角形的三边为连续整数，且周长为24
cm，求它的最短边长．
解：(1)1(2)三角形的周长为15
cm或17
cm或19
cm或21
cm或23
cm.
(3)它的最短边长为7
cm.
02　　中档题
11．若a，b，c是三角形的三边长，则化简：|a－b－c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|＝(
B
)
A．3a－b－c
B．－a－b＋3c
C．a＋b＋c
D．a－3b＋c
12．(盐城中考)一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为(
B
)
A．85°
B．75°
C．60°
D．45°
13．(义乌模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为(
D
)
A．6
B．7
C．8
D．9
第13题图　　　第14题图
14．(温州八中期中)如图，△ABC中，∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∠A＝45°，则∠BDC＝135°．
15．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器安装在AC，BD的交点E处，你知道为什么吗？
解：另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE′，CE′，DE′，
在△BDE′中，DE′＋BE′>DB.
在△ACE′中，AE′＋CE′>AC.
∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，
即AE＋BE＋CE＋DE最短．
16．(杭州期中改编)若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形有多少个？分别写出三角形的三边长．
解：满足条件的三角形共有7个．三边长分别是8，8，2；8，7，3；8，6，4；8，5，5；7，7，4；7，6，5；6，6，6.
03　　综合题
17．观察并探求下列各问题：
(1)如图1，在△ABC中，点P为边BC上一点，则BP＋PC”“<”或“＝”)；
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图2，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图3，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
解：(2)△BPC的周长<△ABC的周长．
理由如下：延长BP交AC于点M.
在△ABM中，BP＋PM在△PMC中，PC两式相加，得BP＋PC∴BP＋PC＋BC即△BPC的周长<△ABC的周长．
(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长，
理由如下：分别延长BP1，CP2交于点M.
由(2)知，BM＋CM又∵P1P2∴BP1＋P1P2＋P2C∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．
第2课时　三角形的重要线段
01　　基础题
知识点1　三角形的角平分线
1．在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝31°，则∠C的度数为(
D
)
A．62°
B．60°
C．92°
D．58°
2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为(
B
)
①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.
A．1
B．2
C．3
D．4
第2题图　　第3题图
3．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是(
C
)
A．45°
B．54°
C．40°
D．50°
知识点2　三角形的中线
4．如图所示，点D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是(
C
)
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BD＝EC
D．在△CDE中，∠C的对边是DE
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．
(1)若BC＝6
cm，则CD＝3cm；
(2)若CD＝a
cm，则BC＝2acm；
(3)若S△ABD＝8
cm2，则S△ACD＝8cm2.
第5题图　　第6题图
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB＝7
cm，AC＝5
cm，则△ABD和△ACD的周长差为2cm.
知识点3　三角形的高线
7．(杭州上城区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是(
D
)
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，图中线段可以作为△ABC的高的有(
B
)
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
第8题图　　第9题图
9．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为40°．
10．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于70°．
02　　中档题
11．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B
落在点B′的位置，则线段AC具有性质(
D
)
A．是∠BAB′的平分线
B．是边BB′上的高
C．是边BB′上的中线
D．以上三种线重合
第11题图　
第12题图
12．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADB的度数为(
D
)
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
13．(绵阳中考)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝(C)
A．118°
B．119°
C．120°
D．121°
第13题图　　第14题图
14．(温州永嘉县岩头中学期中)如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8
cm2，则阴影部分△AEF的面积为1cm2.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD将△ABC的周长分成为12
cm和15
cm两部分，求三角形的底边BC的长．
解：①当AB＋AD＝15
cm时，
∵D是AC的中点，
∴AD＝AC＝AB.
∴AB＋AD＝AB＋AB＝15，解得AB＝10
cm.
∴AC＝10
cm.
∴BC＝15＋12－10×2＝7(cm)．
此时能构成三角形，且底边长为7
cm；
②当AB＋AD＝12
cm时，
∴AB＋AD＝AB＋AB＝12，解得AB＝8
cm.
∴AC＝8
cm.
∴BC＝15＋12－8×2＝11(cm)．
此时能构成三角形，且底边长为11
cm.
综上，底边BC的长为7
cm或11
cm.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，求PF＋PE的值．
解：连结PA.
∵S△ABC＝S△APB＋S△APC，
∴AC·BD＝AB·PF＋AC·PE.
∵AB＝AC，
∴BD＝PF＋PE.
∴PF＋PE＝8.
03　　综合题
17．(嵊州校级期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
(1)若∠BAC＝80°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
(2)若∠B＝80°，∠C＝40°，求∠DAE的度数；
(3)探究：小明认为如果只知道∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
解：(1)∵∠BAC＝80°，∠C＝30°，
∴∠B＝70°.
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝20°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
(2)∵∠B＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝10°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)＝×60°＝30°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝30°－10°＝20°.
(3)能求得∠DAE＝(∠B－∠C)＝20°.
理由：∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°－∠B.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠B)＝(∠B－∠C)＝20°.
1.2　定义与命题
第1课时　定义与命题
01　　基础题
知识点1　定义
1．下列语句中，属于定义的是(
C
)
A．两点之间线段最短
B．三人行，必有我师焉
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．两条直线相交，只有一个交点
2．下列语句中，属于定义的是(
D
)
A．两点确定一条直线
B．同角或等角的余角相等
C．两直线平行，内错角相等
D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
3．下列语句中，属于定义的有(
B
)
①含有未知数的等式称为方程；②三角形内角和等于180°；③等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
称为两数和的完全平方公式；④如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知识点2　命题
4．(杭州萧山区期中)下列语句是命题的是(
C
)
A．作直线AB的垂线
B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补
D．垂线段最短吗？
5．下列语句中，不是命题的是(
A
)
A．延长线段AB
B．自然数也是整数
C．两个锐角的和一定是直角
D．同角的余角相等
6．下列语句中，是命题的是(
C
)
①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能要下雪；④同旁内角不互补，两直线不平行；⑤作∠ACB的角平分线．
A．①②③
B．①②⑤
C．①②③④
D．①②④
7．下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？
(1)若a(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗？
(4)两点之间线段最短；
(5)解方程x2－2x－3＝0；
(6)1＋2≠3.
解：(1)(2)(4)(6)是命题，(3)(5)不是命题．
知识点3　命题的条件和结论
8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(
D
)
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
9．写出下列命题的条件和结论．
(1)如果a2＝b2，那么a＝b；
(2)同角或等角的补角相等；
(3)同旁内角互补，两直线平行．
解：(1)条件：a2＝b2；结论：a＝b.
(2)条件：两个角是同角或等角的补角；结论：这两个角相等．
(3)条件：同旁内角互补；结论：两直线平行．
10．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
(2)绝对值相等的两个数一定相等；
(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点．
解：(1)在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．
(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定也相等．
(3)如果一个数是有理数，那么这个数一定对应着数轴上的一个点．
02　　中档题
11．下列语句中，是命题的是(
A
)
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②对顶角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤
B．①②④
C．①②⑤
D．②③④
12．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序’或‘降序’排列次序重新设定行．”这段话是对名称按行排列进行定义．
13．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)对顶角相等；
(2)同角的余角相等；
(3)三角形的内角和等于180°；
(4)角平分线上的点到角的两边距离相等．
解：(1)条件是“两个角是对顶角”，
结论是“这两个角相等”．
可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
(2)条件是“两个角是同一个角的余角”，
结论是“这两个角相等”．
可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
(3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，
结论是“这三个角的和等于180°”．
可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”．
(4)条件是“一个点在一个角的平分线上”，
结论是“这个点到这个角的两边距离相等”．
可以改写成“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”．
14．用语言叙述这个命题：如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠GHD，则GM⊥HM.
解：两条平行线间的同旁内角的角平分线互相垂直．
15．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．
x3＋x2－3x＋4＝0；x3＋x－1＝0；
x3－2x2＋3＝x；y3＋2y2－5y－1＝0.
解：共同特征：都是整式方程，均含有一个未知数，未知数的最高次数均为3；
名称：一元三次方程；
定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程是一元三次方程．
第2课时　真假命题及定理
01　　基础题
知识点1　真命题和假命题
1．下列命题中的真命题是
(
C
)
A．锐角大于它的余角
B．锐角大于它的补角
C．钝角大于它的补角
D．锐角与钝角之和等于平角
2．在同一平面内，下列命题中，属于假命题的是(
A
)
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b
D．若a⊥c，b∥a，则b⊥c
3．下面给出的四个命题中，假命题是(
D
)
A．如果a＝3，那么|a|＝3
B．如果x2＝4，那么x＝±2
C．如果(a－1)(a＋2)＝0，那么a－1＝0或a＋2＝0
D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0，那么a＝1或b＝－2
4．已知四个命题：
①若一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；
②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；
③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；
④若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．
其中真命题有(
A
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．请在横线上填上适当的词，使所得到的命题是假命题：相等的角是答案不唯一，如：对顶角(或直角或平角等)．
知识点2　举反例
6．(嵊州期末)对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是(
C
)
A．∠1＝50°，∠2＝40°
B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45°
D．∠1＝40°，∠2＝40°
7．(杭州萧山区戴村期中)已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是(
D
)
A．2k
B．15
C．24
D．42
8．(温州新城学校初中部月考)可以用来证明命题“如果a，b是有理数，那么|a＋b|＝|a|＋|b|”是假命题的反例可以是a＝－1，b＝3(答案不唯一)．
知识点3　基本事实和定理
9．下列不是基本事实的是(
C
)
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
10．下列说法中，正确的是(
B
)
A．定理是假命题
B．基本事实不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．所有的命题都是定理
11．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应．
解：A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．
02　　中档题
12．下列命题中，是假命题的是(
C
)
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B．对顶角相等
C．互补的角是邻补角
D．邻补角是互补的角
13．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥c；④a∥c；⑤b⊥c，以其中的两个论断为条件，一个论断为结论，写出一个真命题．
解：答案不唯一，如：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
14．(杭州萧山区四校联考期中)请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．
(1)若a＞b，则a2＞b2；
(2)两个无理数的和仍是无理数；
(3)若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．
解：(1)是假命题，例如：0＞－1，但02＜(－1)2.
(2)是假命题，例如：－和是无理数，但－＋＝0，和是有理数．
(3)是假命题，例如：三条线段a＝3，b＝2，c＝1满足a＋b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．
15．如图，已知∠ACE＝∠AEC，CE平分∠ACD，则AB∥CD，用推理的方法说明它是一个真命题．
解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD.
∵∠ACE＝∠AEC，
∴∠ECD＝∠AEC.
∴AB∥CD.
∴它是一个真命题．
16．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°.
图1　　　　　　　　　　　图2
(1)图1中∠DEF＝45°，图2中∠DEF＝135°；
(2)请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．
解：图1中∠DEF＝∠ABC，
图2中∠DEF＋∠ABC＝180°.
命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
1.3　证明
第1课时　证明的含义及表述格式
01　　基础题
知识点1　证明的定义
1．下列能作为证明依据的是(
D
)
A．已知条件
B．定义和基本事实
C．定理和推论
D．以上三项都可以
2．通过观察你能肯定的是
(
C
)
A．图形中线段是否相等
B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交
D．图形中线段是否垂直
知识点2　证明过程的书写
3．如图，直线a∥b，直线c与a，b都相交，∠1＝55°，则∠2＝(
A
)
A．55°
B．35°
C．125°
D．65°
第3题图　　　第4题图
4．如图，下面推理正确的是(
B
)
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
B．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB∥CD
C．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD
D．∵∠1＋∠4＝180°，∴AB∥CD
5．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(
C
)
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
第5题图　　第6题图
6．(海宁新仓中学期中)如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO＝28°，则∠MFE＝56度．
7．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4＝120°．
第7题图　　第8题图
8．如图所示，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝54°．
9．已知：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.
填写分析和证明中的空白．
分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠BAD＝∠CAD，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出AD∥EF，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴AD∥EF(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)．
∴∠BAD＝∠1(两直线平行，内错角相等)，
∠CAD＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．
10．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝40°，求证：BC∥DE.
证明：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝40°.
∵∠D＝40°，
∴∠C＝∠D.
∴BC∥DE.
02　　中档题
11．如图所示，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于(
A
)
A．100°
B．60°
C．40°
D．20°
第11题图　
　第12题图
12．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，那么AC∥DE；③如果∠2＝30°，那么BC∥AD；④如果∠2＝30°，那么∠4＝∠C.其中正确的有(
B
)
A．①②③
B．①②④
C．③④
D．①②③④
13．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求证：∠BDC＋∠DGF＝180°.
证明：∵∠1＝∠ACB(已知)，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．
∴∠2＝∠DCF(两直线平行，内错角相等)．
∵∠2＝∠3(已知)，
∴∠3＝∠DCF(等量代换)．
∴CD∥FG(同位角相等，两直线平行)．
∴∠BDC＋∠DGF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
14．如图，已知BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD.求证：AB∥CD.
证明：∵BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD(已知)，
∴∠1＝∠ABC，
∠2＝∠BCD(角平分线的定义)．
∵BE∥CF(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
∴∠ABC＝∠BCD，
即∠ABC＝∠BCD.
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
03　　综合题
15．阅读：如图1，∵CE∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B.这是一个有用的事实，请用这个事实，在图2中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．
解：过点D作DE∥AB交BC于点E.
则∠DEB＝∠C＋∠EDC.
∵DE∥AB，
∴∠A＋∠ADE＝180°，∠B＋∠DEB＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝∠A＋∠B＋∠C＋∠EDC＋∠ADE＝∠A＋∠ADE＋∠B＋∠DEB＝360°.
第2课时　三角形内角和定理的推论
01　　基础题
知识点1　几何命题的证明
1．证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题．
解：已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于M，交CD于点N.
求证：EF⊥CD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠AMN＋∠CNM＝180°.
∵EF⊥AB，
∴∠AMN＝90°.
∴∠CNM＝90°.
∴EF⊥CD.
2．证明命题“两条平行线被第三条直线所截，得到的一组同旁内角的角平分线互相垂直”是真命题
.
解：已知：如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠DHG.
求证：GM⊥HM.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BGH＋∠DHG＝180°.
∵GM平分∠BGH，HM平分∠DHG，
∴∠MGH＝∠BGH，∠GHM＝∠DHG.
∴∠MGH＋∠GHM＝(∠BGH＋∠DHG)＝×180°＝90°.
∴∠M＝180°－∠MGH－∠GHM＝180°－90°＝90°.
∴GM⊥HM.
知识点2　三角形内角和定理的推论
3．(甘孜中考)如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为(
C
)
A．110°
B．80°
C．70°
D．60°
第3题图　　
第4题图
4．(金华六校联考)如图，AD是∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝65°，那么∠ACD等于(
B
)
A．60°
B．80°
C．65°或80°
D．100°
5．(嵊州校级期中)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是(
A
)
A．15°
B．25°
C．30°
D．10°
第5题图　
　第6题图
6．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是(
B
)
A．∠A＞∠1＞∠2
B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1
D．∠2＞∠A＞∠1
7．(丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为70°．
8．(嵊州期末)如图，在△ABC中，E点是AB上的一点，DE⊥AB交AC的延长线于D点，已知∠B＝28°，∠D＝46°，求∠BCD的度数．
解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.
∵∠D＝46°，∴∠A＝44°.
∴∠BCD＝∠A＋∠B＝44°＋28°＝72°.
9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，∠BDC＝87°，求∠A的度数．
解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠ABD.
∵∠CBD＋∠C＋∠BDC＝180°，∠ABC＝∠C，
∴3∠ABD＋87°＝180°.
∴∠ABD＝31°.
∵∠CDB＝∠A＋∠ABD，
∴∠A＝87°－31°＝56°.
02　　中档题
10．(恩施中考)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为(
B
)
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
　第10题图　第11题图
11．如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝360°．
12．如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是125°．
第12题图　　第13题图
13．如图所示，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝80°．
14．(温州校级期中)如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是2∠A＝∠1＋∠2．
15．如图，在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD＝∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
解：∵∠ADB＝100°，∠C＝80°，
∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝100°－80°＝20°.
∵∠BAD＝∠DAC，
∴∠BAD＝×20°＝10°.
在△ABD中，∠ABC＝180°－∠ADB－∠BAD＝180°－100°－10°＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝×70°＝35°.
∴∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝10°＋35°＝45°.
16．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，AF平分外角∠BAD，BE与FA交于点E，求∠E的度数．
解：设∠ABC＝x°，
∵∠BAD是△ABC的外角，∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＋∠C＝90°＋x°.
∵AF平分外角∠BAD，
∴∠BAF＝∠BAD＝(90°＋x°)．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝x°.
∴∠E＝∠BAF－∠ABE＝(90°＋x°)－x°＝45°.
03　　综合题
17．图中的两个图形是五角星和它的变形．
(1)如图1是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；
(2)图1中的点A向下移到BE上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？证明你的结论．
解：(1)证明：∵∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D，
∠1＋∠2＋∠A＝180°，
∴∠C＋∠E＋∠B＋∠D＋∠A＝180°.
(2)无变化．∵∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D，∠1＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠C＋∠E＋∠B＋∠D＋∠CAD＝180°.
1.4　全等三角形
01　　基础题
知识点1　全等图形及全等三角形
1．在下列各组图形中，是全等的图形是(
C
)
2．如图，把△ACB沿着AB翻转，点C与点D重合，请用符号表示图中所有的全等三角形．
解：△ACE≌△ADE；△BCE≌△BDE；△ABC≌△ABD.
知识点2　全等三角形的对应元素
3．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是(
B
)
A．△ABE≌△AFB
B．△ABE≌△ABF
C．△ABE≌△FBA
D．△ABE≌△FAB
4．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．
解：∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；
BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．
知识点3　全等三角形的性质
5．如图所示，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是(
D
)
A．∠1＝∠2
B．CA＝AC
C．∠D＝∠B
D．AB＝BC
6．已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A＝50°，∠B′＝80°，则∠C的度数是(
C
)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60
7．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．
8．如图，已知△AOC≌△BOD.求证：AC∥BD.
证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠A＝∠B.
∴AC∥BD.
9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3
cm，BC＝4.5
cm，点A，B，C在一条直线上．
(1)求DE的长；
(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
解：(1)∵△ABD≌△EBC，
∴AB＝EB，BD＝BC.
∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5(cm)．
(2)AC⊥BD.
理由：∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC.
又∵∠ABD＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝90°.
∴AC⊥BD.
02　　中档题
10．如图，△ABC≌△AED，那么图中相等的角有(
C
)
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
第10题图　　
第11题图
11．如图，已知△ABC≌△DEF，DF∥BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在DE上，则∠BAD的度数为(
B
)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
12．如图，已知△ACF≌△DBE，∠A＝∠D，∠E＝∠F，AD＝11
cm，BC＝7
cm，则AB的长为2cm.
第12题图　　第13题图
13．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为55°．
14．如图，将长方形纸片ABCD(AD>AB)沿AM折叠，使点D落在BC上(与点N重合)，如果AD＝18.4
cm，∠DAM＝40°，求AN的长和∠NAB的度数．
解：∵沿AM折叠后，点D与点N重合，
∴△ADM≌△ANM.
∴AN＝AD＝18.4
cm，
∠MAN＝∠MAD＝40°.
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠DAB＝90°.
∴∠NAB＝∠BAD－∠MAN－∠MAD＝10°.
15．(温州新城学校初中部月考)如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB＝∠EAD.
又∵∠CAD＝35°，∠EAB＝105°，∠EAD＋∠DAC＋∠CAB＝∠EAB＝105°，
∴∠EAD＝∠DAC＝∠CAB＝35°.
∴∠DFB＝∠DAB＋∠B＝70°＋20°＝90°，
∠BED＝∠BFD－∠D＝90°－20°＝70°.
03　　综合题
16．已知，如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)试说明BD＝DE＋CE；
(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE
解：(1)∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE.
∵AE＝AD＋DE，
∴AE＝CE＋DE.
∴BD＝CE＋DE.
(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
理由如下：∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°－90°＝90°.
又∵△BAD≌△ACE，
∴∠CEA＝∠ADB＝90°.
∴∠CEA＝∠BDE.
∴BD∥CE.
微课堂
1．5　三角形全等的判定
第1课时　三角形全等的判定(SSS)
01　　基础题　　　　　　　　　　　　　　　
知识点1　利用“SSS”证明三角形全等
1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是
(
C
)
A．①
B．②
C．③
D．④
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定
(
C
)
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
第2题图　　第3题图
3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，则说明这两个三角形全等的依据是SSS．
4．如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.求证：△ACD≌△CBE.
证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝CB.
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(SSS)．
知识点2　“SSS”与全等三角形性质的综合运用
5．如图所示，在△ABC中，AD＝ED，AB＝EB，∠A＝80°，则∠BED＝80°．
6．(海宁新仓中学期中)如图，AF＝DB，BC＝EF，AC＝ED，求证：CB∥EF.
证明：∵AF＝DB，
∴AF＋FB＝DB＋FB，
即AB＝DF.
在△ACB和△DEF中，
∴△ACB≌△DEF(SSS)．
∴∠ABC＝∠DFE.
∴CB∥EF.
知识点3　三角形的稳定性
7．如图所示，不具有稳定性的是(
B
)
8．下列生产和生活：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有(
C
)
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
知识点4　用尺规作已知角的平分线
9．已知∠α(如图)，用直尺和圆规作∠α的平分线．
解：如图所示．
02　　中档题
10．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(
C
)
A．△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠ACE＝30°
D．∠1＝70°
第10题图　　
第11题图
11．(临海期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？(
B
)
A．0根
B．1根
C．2根
D．3根
12．如图所示，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出(
B
)
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
13．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的(如图)：
(1)分别在∠AOB的两边OA，OB上各取一点C，D，使得OC＝OD；(2)连结CD，并量出CD的长度，取CD的中点E；(3)过O，E两点作射线．则OE就是∠AOB的平分线．
请你说出小燕子这样作的理由．
解：在△OCE和△ODE中，
∵OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE(SSS)．
∴∠COE＝∠DOE(全等三角形的对应角相等)．
∴OE就是∠AOB的平分线．
故小燕子这样作是正确的．
14．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠3＝∠1＋∠2.
证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2.
∵∠3＝∠BAD＋∠ABD，
∴∠3＝∠1＋∠2.
15．如图，C，F是线段BE上的两点，△ABF≌△DEC，且AC＝DF.
(1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由；
(2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由．
解：(1)还能找到2对全等三角形，分别是△ACF≌△DFC，△ABC≌△DEF.理由如下：
∵△ABF≌△DEC，
∴AB＝DE，BF＝EC，AF＝DC(全等三角形的对应边相等)．
∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.
在△ACF和△DFC中，
∵AC＝DF，AF＝DC，FC＝CF(公共边)，
∴△ACF≌△DFC(SSS)．
在△ABC和△DEF中，
∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)∠ACE＝∠BFD.理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)．
∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∠DFE＋∠BFD＝180°，
∴∠ACE＝∠BFD(等角的补角相等)．
03　　综合题
16．如图，已知AD＝BC，AC＝BD.求证：∠DAO＝∠CBO.
证明：连结AB，
在△ABD和△BAC中，
∵AD＝BC，BD＝AC，AB＝BA，
∴△ABD≌△BAC(SSS)．
∴∠ABD＝∠BAC，∠BAD＝∠ABC.
∴∠BAD－∠BAC＝∠ABC－∠ABD，即∠DAO＝∠CBO.
微课堂
第2课时　三角形全等的判定(SAS)
01　　基础题
知识点1　利用“SAS”证明三角形全等
1．下图中的两个三角形全等的是(
C
)
A．③④
B．②③
C．①②
D．①④
2．(温州八中期中)如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是(
D
)
A．∠A＝∠D
B．∠E＝∠C
C．∠A＝∠C
D．∠1＝∠2
知识点2　“SAS”与全等三角形性质的综合运用
3．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是(
A
)
A．50°
B．80°
C．40°
D．30°
4．(嵊州期末)如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)AB∥DE.
证明：(1)∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF.
∴AB∥DE.
知识点3　线段垂直平分线的性质定理
5．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为
(
B
)
A．6
B．5
C．4
D．3
第5题图　　第6题图
6．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是(
B
)
A．PB>PC
B．PB＝PC
C．PBD．PB≠PC
知识点4　利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
7．(金华四中期末)如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，连结AC，在AC的延长线上找一点D，使得DC＝AC，连结BC，在BC的延长线上找一点E，使得EC＝BC，测出DE＝60米，试问池塘的宽AB为多少？请说明理由．
解：AB＝60米．理由如下：
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(SAS)．
∴AB＝DE＝60米．
则池塘的宽AB为60米．
02　　中档题
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，连结AC，BD交于点O，则图中的全等三角形共有(
C
)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
第8题图　　　第9题图
9．如图，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，则△BCE的周长为18．
10．(宁波南三县期末)已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E.
(1)求证：△ABC≌△EDF；
(2)当∠CHD＝120°，求∠HBD的度数．
解：(1)证明：∵AD＝BE，
∴AB＝ED.
在△ABC和△EDF中，
∴△ABC≌△EDF(SAS)．
(2)∵△ABC≌△EDF，
∴∠HBD＝∠HDB.
∵∠CHD＝∠HDB＋∠HBD＝120°，
∴∠HBD＝60°.
11．如图，已知AD＝AE，AD⊥AE，AB＝AC，AB⊥AC，DC与BE的延长线交于点F，求证：
(1)CD＝BE；
(2)CD⊥BE.
证明：(1)∵AD⊥AE，AB⊥AC，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°.
∴∠DAE－∠CAE＝∠BAC－∠CAE，
即∠CAD＝∠BAE.
在△ADC和△AEB中，
∴△ADC≌△AEB(SAS)．
∴CD＝BE.
(2)延长BF，AC交于点G.
∵△ADC≌△AEB，
∴∠B＝∠ACD.
∵∠ACD＝∠FCG，
∴∠B＝∠FCG.
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°.
∴∠B＋∠G＝90°.
∴∠FCG＋∠G＝90°.
∴∠CFG＝90°，即CD⊥BE.
03　　综合题
12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？
解：延长AD至点E，使AD＝DE，并连结BE，
∵D点是BC上的中点，
∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，
∴△ACD≌△EBD(SAS)．
∴AC＝BE.
在△AEB中，AB＋BE>2AD>AB－BE，
即1＜AD＜4.
第3课时　三角形全等的判定(ASA)
01　　基础题
知识点1　利用“ASA”证明三角形全等
1．如图，能运用“ASA”证明△AOB≌△DOC的是(
A
)
A．AO＝DO，∠A＝∠D
B．AO＝DO，∠B＝∠C
C．AO＝DO，BO＝CO
D．AO＝DO，AB＝CD
2．如图，已知∠ABC＝∠BAD，∠ABD＝∠BAC，求证：△ABC≌△BAD.
证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(ASA)．
3．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF.
∵BE＝CF，
∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
知识点2　“ASA”与全等三角形性质的综合运用
4．(福州中考)如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.
证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ABC＝∠ABD.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(ASA)．
∴AC＝AD.
5．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.
证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(ASA)．
∴AE＝AD.
∴AB－AD＝AC－AE，
即BD＝CE.
知识点3　利用“ASA”判定三角形全等解决实际问题
6．(杭州青春中学期末)小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？(
B
)
A．第1块
B．第2块
C．第3块
D．第4块
7．(宜昌中考)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为点D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°.
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB＝OD.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)．
∴CD＝AB＝20米．
02　　中档题
8．如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△DEF的条件是(
B
)
A．①②④
　
B．①②③
　
C．①③④
　
D．②③④
习题解析
9．如图，点E是BC边上一点，AB⊥BC于点B，CD⊥CB于点C，AB＝CB，∠A＝∠CBD，AE与BD交于点O.下列结论：①AE＝BD；②AE⊥BD；③BE＝CD；④△AOB的面积等于四边形CDOE的面积．其中正确的结论有(
D
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．(嵊州校级期中)如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
∵∠2＋∠E＝∠C＋∠3，且∠2＝∠3，
∴∠E＝∠C.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
11．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边的中线，过C点作CF垂直于AE，垂足为点F，过B点作BD垂直于BC，交CF的延长线于点D.
(1)求证：AE＝CD；
(2)若AC＝12
cm，求BD的长．
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°.
∵CF⊥AE，
∴∠BCD＋∠AEC＝90°.
∴∠CAE＝∠BCD.
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝∠ACE＝90°.
∵AC＝CB，
∴△ACE≌△CBD(ASA)．
∴AE＝CD.
(2)∵AE是BC边的中线，
∴CE＝＝＝＝6(cm)．
∵△ACE≌△CBD，
∴BD＝CE＝6
cm.
03　　综合题
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，垂足为点E，试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
解：BD＝2CE.
理由如下：延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE.
在△BCE和△BFE中，
∴△BCE≌△BFE(ASA)．
∴CE＝EF.
∵∠A＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF＋∠F＝90°，∠ABD＋∠F＝90°.
∴∠ABD＝∠ACF.
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF(ASA)．
∴BD＝CF.
∵CF＝CE＋EF＝2CE，
∴BD＝2CE.
第4课时　三角形全等的判定(AAS)
01　　基础题
知识点1　利用“AAS”证明三角形全等
1．已知AC＝A′C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则判定△ABC≌△A′B′C′的根据是(
C
)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．不确定
2．如图，AB与CD相交于点O，且∠A＝∠B，AC＝BD，那么△ACO≌△BDO，理由是AAS．
3．如图，AC＝CE，∠B＝∠ACD＝∠D.求证：△ABC≌△CDE.
证明：∵∠ACD＝∠D，
∴AC∥DE.
∴∠ACB＝∠E.
在△ABC和△CDE中，
∵∠B＝∠D，∠ACB＝∠E，AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE(AAS)．
知识点2　角平分线的性质
4．(湖州中考)如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(
C
)
A．10
B．7
C．5
D．4
第4题图　　第5题图
5．(常德中考)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为3．
6．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD交于点O，若∠1＝∠2，求证：OB＝OC.
证明：∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD＝OE.
在△ODB和△OEC中，
∴△ODB≌△OEC(ASA)．
∴OB＝OC.
知识点3　探究三角形全等的条件
7．(绍兴柯岩中学月考)在△ABC和△DEF中，①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F，则下列条件组不能保证△ABC≌△DEF的是(
D
)
A．①②③
B．①②⑤
C．②④⑤
D．①③⑤
8．(莆田中考)如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(
D
)
A．PC⊥OA，PD⊥OB
B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD
D．PC＝PD
9．(大理中考)如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE(只能添加一个)．
(1)你添加的条件是：答案不唯一，如：∠C＝∠E或∠ABC＝∠ADE或AC＝AE或∠EBC＝∠CDE或BE＝DC；
(2)添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
解：选∠C＝∠E为条件，理由如下：在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(AAS)．
02　　中档题
10．(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(
C
)
A．8
B．6
C．4
D．2
11．如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S是(
A
)
　　习题解析
A．50
B．62
C．65
D．68
12．(嘉兴中考)如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
解：(1)证明：在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(AAS)．
(2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC.
∴∠EBC＝∠ECB.
∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°.
13．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD.
证明：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF.
∵∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠C.
在△AED和△CFD中，
∴△AED≌△CFD(AAS)．∴AD＝CD.
03　　综合题
14．(绍兴柯岩中学月考)如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F.
　
(1)当EF与斜边BC不相交时，请证明EF＝BE＋CF(如图1)；
(2)如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF＝BE－CF；
(3)如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明．
解：(1)证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠AFC＝90°.
∴∠EAB＋∠FAC＝90°，∠EBA＋∠EAB＝90°.
∴∠FAC＝∠EBA.
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF(AAS)．
∴EA＝FC，BE＝AF.
∴EF＝EA＋AF＝BE＋CF.
(2)证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠AFC＝90°.
∴∠EAB＋∠FAC＝90°，∠EBA＋∠EAB＝90°.
∴∠FAC＝∠EBA.
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF(AAS)．
∴EA＝FC，BE＝AF.
∴EF＝AF－AE＝BE－CF.
(3)EF＝CF－BE.
1.6　尺规作图
01　　基础题
知识点1　作一个角等于已知角
1．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是(
D
)
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
2．(绍兴月考)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是SSS(写出全等的简写)．
3．如图，已知∠α和∠β，求作∠α＋∠β.
解：作法：(1)作∠AOB＝∠α；
(2)以OB为一条边，在∠AOB的外部作∠BOC＝∠β，则∠AOC即为所求的角．图略．
知识点2　作一条线段的垂直平分线
4．(北京中考)阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB.
小芸的作法如下：
(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
(2)作直线CD.
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
知识点3　用尺规作图作三角形
5．给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是(
A
)
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
6．根据SAS用尺规作三角形，在作图过程中的依据是(
C
)
A．用尺规作一条线段等于已知线段
B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D．不能确定
7．已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法的合理顺序为
②①③．
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作直线BP，在BP上截取BC＝a；③连结AB，AC，△ABC为所求作的三角形．
02　　中档题
8．已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2a.
作法：(1)作一条线段AB＝a；
(2)分别以A、B为圆心，2a为半径画弧，两弧交于C点；
(3)连结AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形．
9．如图，已知∠α和∠β以及线段a.
(1)用直尺和圆规求作△ABC，要求∠A＝∠α，∠B＝∠β，AC＝a；
(2)用直尺和圆规作AB边的高CD.
解：图略．
10．为进一步打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，AB的一半长为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
03　　综合题
11．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°.
(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)连结DE，求证：△ADE≌△BDE.
解：(1)如图．
(2)证明：∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，
∴∠ABD＝∠A.
又∵∠AED＝∠BED＝90°，DE＝DE，
∴△ADE≌△BDE(AAS)．
章末复习(一)　三角形的初步知识
01　　基础题
知识点1　三角形内角和定理及其推论
1．(嵊州期末)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(
D
)
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
2．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于(
A
)
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
知识点2　三角形的三边关系
3．三角形的两边长分别为6
cm和10
cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是(
D
)
A．17
cm
B．16
cm
C．4
cm
D．5
cm
知识点3　三角形中的重要线段
4．(温州校级期中)如图，已知△ABC的面积是24，D是BC的中点，E是AC的中点，那么△CDE的面积是6．
第4题图　　第5题图
5．如图，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝32°，∠C＝78°，则∠DAF＝23°．
知识点4　命题与证明
6．请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例答案不唯一，如：α＝50°，β＝60°，α＋β>90°．
知识点5　全等三角形的性质与判定
7．(厦门中考)如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝(
A
)
A．∠B
B．∠A
C．∠EMF
D．∠AFB
第7题图　　第8题图
8．(杭州上城区期末)如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的(
A
)
A．AB＝CD
B．EC＝BF
C．∠A＝∠D
D．AB＝BC
9．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC.求证：△ACD≌△BEC.
证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B.
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC(SAS)．
知识点6　线段垂直平分线及角平分线的性质
10．(怀化中考)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C、D，则下列结论错误的是(B)
A．PC＝PD
B．∠CPD＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO
D．OC＝OD
第10题图　　第11题图
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是(
C
)
A．24°
B．30°
C．32°
D．36°
知识点7　尺规作图
12．(漳州中考)下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是(
B
)
02　　中档题
13．(杭州青春中学期末)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，若∠A＝40°，则∠EDF的度数为(
B
)
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
14．任取长度分别为4
cm，5
cm，6
cm，7
cm四根细木棍中的三根，首尾顺次相接组成三角形，则三角形的个数最多为(
D
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
15．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题(填“真”或“假”)．
16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝70°．
17．如图，已知△ABC，请按下列要求作图：
(1)用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG；
(2)作BC边上的高线(本小题作图工具不限)；
(3)用直尺和圆规作△DEF，使△DEF≌△ABC.
解：(1)如图1，CG为所作．
(2)如图1，AH为所作．
(3)如图2，△DEF为所作．
　　
　　　　图1　　　　　　　　图2
18．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，AE＝BF，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．
解：(1)与∠AED相等的角是∠DAG、∠BFA、∠CDE.
(2)方法一：选择∠AED＝∠BFA，
正方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝90°，AD＝AB，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BAF(SAS)．
∴∠AED＝∠BFA.
方法二：选择∠AED＝∠CDE，
正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE.
方法三：选择∠AED＝∠DAG，
先证△ADE≌△BAF.∴∠AED＝∠BFA.
正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠BFA.
∴∠AED＝∠DAG.
19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°.
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°.
∴∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°.
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°.
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C＋∠CBF＝60°＋35°＝95°.
∴∠BOA＝∠EAF＋∠AFB＝25°＋95°＝120°.
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°.