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浙教版数学八年级上2.7探索勾股定理（1）教学设计
课题 探索勾股定理（1） 单元 第二章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 学生在探索勾股定理的过程中体会数学乐趣，增加学习兴趣。同时增加学生的成就感，增加学习自信心。
能力目标 在探索勾股定理的过程中培养学生善于观察，自主思考的能力
知识目标 1.探索勾股定理的得出2.掌握勾股定理3.能应用勾股定理解决简单的数学问题
重点 探索并掌握勾股定理
难点 运用勾股定理解决简单的问题
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会(ICM—2002) 的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位. 观察听课 开门见山引入勾股定理
合作学习 （1）剪四个全等的直角三角形纸片（如图1），把它们按图2放入一个边长为c的正方形中。这样我们就拼成了一个形如图2的图形.（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边的长a，b和斜边长c，分别计算图中的阴影部分的面积与大、小正方形的面积。（3）比较图中阴影部分和大、小正方形的面积，你发现了什么？大正方形的面积:c 小正方形面积:（b-a） 阴影部分面积:4×ab它们之间的关系是：化简得： a2+b2=c2直角三角形三边有下面的关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 动手操作，思考探究 通过实践活动得出直角三角形两条直角边和斜边的关系
讲授新课 勾股定理：直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（揭示直角三角形三边之间的关系）几何语言表示：在Rt△ABC中∵ ∠C=90°∴ a2+b2=c2(AC2+BC2=AB2) 听课思考 讲解勾股定理
例题讲解 例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a， AC=b，AB=c。(1)若a=1, b=2, 求c;(2)若a=15,c=17,求b;解：（1）根据勾股定理，得c =a +b =1 +2 =5∵c>0，∴c=（2）根据勾股定理，得b =c -a =17 -5 =64∵b>0，∴b=8 听课思考 讲解例题，明白题型
即时演练 1.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（ ） A．2n B．n+1 C．n2-1 D．n2+1解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：==n +12.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．解：当此直角三角形的两直角边分别是3和4时，
则第三边为==5，
当此直角三角形的一个直角边为3，斜边为4时，
则第三边为==． 做练习 及时训练巩固所学
例题讲解 例2 如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm）由勾股定理，得AB =AC +BC =50 +120 =16900（mm ）∵AB>0,∴AB=130（mm）答：两孔中心A,B之间的距离为130mm 听课 讲解课本例题
即时演练 铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如图），已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站______km处．解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2．
设AE为x，则BE=25-x，
将BC=10，DA=15代入关系式为x2+152=（25-x）2+102，
整理得，50x=500，
解得x=10，∴E站应建在距A站10km处． 做练习 及时训练巩固所学
达标测评 1.下列几组数据：（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中是勾股数组的有几组（ ） A．1 B．2 C．3 D．4解：（1）∵82+152=64+225=289，172=289，
∴82+152=172，即8，15，17是一组勾股数；
（2）∵72+122=49+144=193，152=225，
∴72+122≠152，即7，12，15不是一组勾股数；
（3）∵122+152=144+225=369，202=400，
∴122+152≠202，即12，15，20不是一组勾股数；
（4）∵72+242=49+576=625，252=625，
∴72+242=252，即7，24，25是一组勾股数，
则其中勾股数有2组．
故选B．2.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯______米。解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：
OB=6m，
根据题意，得：OB′=6+2=8m．
又∵梯子的长度不变，
在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．
则AA′=8-6=2m．3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，将△ABP绕点A旋转到△ACP′的位置，若AP=3，则PP′=______．解：依题意，得旋转角∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
∴△APP′为等腰直角三角形，
∴PP′= =3 ．
故本题答案为：3 ． 4.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm， AD=13cm。△ABC的面积是6cm2。
（1）求AB的长度；
（2）求△ABD的面积。解：（1）∵∠C=90°
∴S△ABC=×BC×AC=6，
∴AC=4（cm）．
∵BC2+AC2=AB2，
∴AB===5（cm）．
（2）∵AB2+BD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AB2+BD2=AD2．
∴∠ABD=90°．
∴S△ABD=×AB×BD=×5×12=30（cm2）． 5.如图所示，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为 8 cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点 A沿棱柱的表面爬到顶点C＇处吃食物. 那么它需要爬行的最短路程的长是多少？解：(1)沿侧枝 BB＇,将侧面A＇B和侧面B＇C展开如图1所示，连接AC＇.
∵AB=BC=5 cm，CC＇=8 cm,
由勾股定理，得= = (2)沿底边A‘B’. 将底面A‘C’和侧面A‘B展开如图2所示，连接 AC’.
∵AB=5cm,BC’=BB’+B’C’=8+5=13cm,
由勾股定理，得= = （cm）∴易知沿 DC展开和DD＇展开的情况同上述两种情况一致.
又∵ >=2∴蚂蚁需要爬行的最短路轻的长为2cm 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，
∴AB=BC．∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，
∴AB2+BC2=2AB2，
∴BC2=AB2，（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中， ∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC∴△BAE≌△CBF ．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD． 思考练习 拓展思维
课堂小结 这节课我们学习了：1.勾股定理的证明2.勾股定理3.勾股定理的应用 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P75页第1、 4、 5 题 做练习 课下练习提升
板书 2.7 探索勾股定理（1）1.勾股定理的证明2.含义：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方3.应用 看黑板 帮助学生梳理本课知识点
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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探索勾股定理（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、有一对角线长为200cm的长方形黑板，小明测得长为160cm，那么这块黑板的宽为（ ）
A．180cm B．120cm C．160cm D．64cm
在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．a2-b2=c2 D．a2-c2=b2
3. 一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后，他从杆顶到屋顶四角之间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米，另一根长1米，则最后一根的长度应为（ ）21·cn·jy·com
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
4. 如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的周长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．175 B．75 C．625 D．100
5. 如图是某地的长方形广场的示意图，如果小红要从点A走到点C，那么他至少要走（ ）
A．90米 B．100米 C．120米 D．140米
二、填空题
1、一个直角三角形的两条直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边长为_______cm。
2. 如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是______米．21·世纪*教育网
3. 如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程为______m．21*cnjy*com
4. 如图，∠A=15°，∠C=90°，DE垂直平分AB交AC于E，若BC=4cm，则AC=______cm．
5. 某花园小区有一空地 （如图所示的△ABC），为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量AB=13m，BC=10m，BC边上的中线AD=12m，如果种植每平方米花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要______元．21cnjy.com
三、解答题
1. 如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积。www-2-1-cnjy-com
2. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？【来源：21cnj*y.co*m】
四、证明题
如图，在ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q在斜边上，且∠PCQ=45°， 求证：PQ2 =AP2+BQ2。
参考答案
一、选择题
1、B
【解析】如图，在矩形ABCD中，AC=200cm，CD=160cm．
在Rt△ADC中，根据勾股定理知AD= = =120（cm），即这块黑板的宽为120cm．2-1-c-n-j-y
故选B．
2、A
【解析】∵在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，
∴由b2+c2=a2或a2-b2=c2或a2-c2=b2等式成立，
所以选项A错误，B、C、D正确．
故选A．【出处：21教育名师】
3、A
【解析】如图（1），矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；
如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF．www.21-cn-jy.com
于是有FD2-PF2+BF2-PF2=AF2-PF2+FC2-FP2；
整理得PD2+BF2=AF2+FC2；
于是72+42=12+FC2；
解得FC=8．
故选A．【版权所有：21教育】
4.D
【解析】因为以两个直角边为边长的正方形面积为225，400，则边长为 和
所以斜边长的平方= 和（） =625
正方形A的边长=斜边长=25，
故正方形A的周长为25×4=100．
故选D．
5.B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°；
Rt△ACD中，AD=60m，CD=80m；
根据勾股定理，得：AC= = 60 +80 =100m；
故选B．
二、填空题
1、13
【解析】由勾股定理得：斜边长==13
2、3
【解析】
由题意得，AC=5米，BC=4米，
在Rt△ABC中，AB= =3米
故答案为：3．
3、2
【解析】折线分为AB、BC两段，
AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC= = 米．
小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程为
=2米．
4. 8+4
【解析】因为DE垂直平分AB交AC于E，可得∠BEC=30°，
又BC=4cm，所以BE=8cm，即AE=8cm，EC=4 cm，所以AC=（8+4）cm．
5.3000
【解析】∵AD是中线，AB=13m，BC=10m，
∴BD= BC=5m．
∵5 +12 =13 ，即BD +AD =AB ，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
∴S△ABC=×AD×BC= ×10×12=60（m2），
∵种植每平方米花草需要50元，
∴种植这块三角形空地需要：50×60=3000（元）．
故答案为：3000．
【】
三、解答题
1.【解析】解：在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠B=90°
由勾股定理得AB2+BC2=AC2
∴AC=5m
在△ADC中，AC=5m，DC=12m，AD=13m
∴AC2+DC2=169，AD =169
∴AC2+DC2=AD2
∠ACD=90°
四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC=AB×BC+AC×DC=×3×4+×5×12=36（m2）
答：这块草坪的面积是36m2。21世纪教育网版权所有
2. 【解析】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+()2=(x+1)2，
解得：x=12（尺），
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．21教育网
四、证明题
【解析】证明：如图，在PC的右侧作CP的垂线，并截取CD=CP，连接BD，QD，
则∠DCQ=∠PCQ=45°，于是可证△DCB≌△PCA（SAS），
得AP=BD，∠DBC=∠A=45°，
∴∠DBQ=90°，
再证△DCQ≌△PCQ（SAS），
得DQ=PQ，2·1·c·n·j·y
Rt△DBQ中，DQ =BQ +BD
即PQ2 =AP2+BQ2。
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探索勾股定理
浙教版 八年级上
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——第一课时
教学目标
导入新课
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会(ICM—2002) 的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位.
教学目标
合作学习
（1）剪四个全等的直角三角形纸片（如图1），把它们按图2放入一个边长为c的正方形中。这样我们就拼成了一个形如图2的图形.
（3）比较图中阴影部分和大、小正方形的面积，你发现了什么？
（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边的长a，b和斜边长c，分别计算图中的阴影部分的面积与大、小正方形的面积。
b
a
B
A
C
图1
b
a
c
D
A
C
B
图2
教学目标
合作学习
a2+b2=c2
大正方形的面积:c
小正方形面积:（b-a）
阴影部分面积:4×ab
它们之间的关系是：
化简得：
直角三角形三边有下面的关系：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
教学目标
讲解新知
勾股定理：
直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
∴ a2+b2=c2
在Rt△ABC中
∵ ∠C=90°
(AC2+BC2=AB2)
勾
股
弦
（揭示直角三角形三边之间的关系）
几何语言表示：
教学目标
例题讲解
(1)若a=1, b=2, 求c;
例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a， AC=b，AB=c。
(2)若a=15,c=17,求b;
解：（1）根据勾股定理，得c =a +b =1 +2 =5
∵c>0，∴c=
（2）根据勾股定理，得b =c -a =17 -5 =64
∵b>0，∴b=8
教学目标
即时演练
1.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（ ）
A．2n B．n+1 C．n2-1 D．n2+1
解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：==n +1
D
2.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．
解：当此直角三角形的两直角边分别是3和4时，
则第三边为==5，
当此直角三角形的一个直角边为3，斜边为4时，
则第三边为==．
5或
教学目标
例题讲解
例2 如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)
C
160
90
40
40
B
A
解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm）
BC=160-40=120（mm）
由勾股定理，得
AB =AC +BC
=50 +120 =16900（mm ）
教学目标
例题讲解
∵AB>0,
∴AB=130（mm）
答：两孔中心A,B之间的距离为130mm
C
160
90
40
40
B
A
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教学目标
即时演练
铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如图），已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站______km处．
10
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教学目标
即时演练
解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2．
设AE为x，则BE=25-x，
将BC=10，DA=15代入关系式为x2+152=（25-x）2+102，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站应建在距A站10km处．
教学目标
达标测评
1.下列几组数据：（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中是勾股数组的有几组（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：（1）∵82+152=64+225=289，172=289，
∴82+152=172，即8，15，17是一组勾股数；
（2）∵72+122=49+144=193，152=225，
∴72+122≠152，即7，12，15不是一组勾股数；
（3）∵122+152=144+225=369，202=400，
∴122+152≠202，即12，15，20不是一组勾股数；
（4）∵72+242=49+576=625，252=625，
∴72+242=252，即7，24，25是一组勾股数，
则其中勾股数有2组．
故选B．
B
教学目标
达标测评
2.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯______米。
解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：
OB=6m，
根据题意，得：OB′=6+2=8m．
又∵梯子的长度不变，
在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．
则AA′=8-6=2m．
2
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教学目标
达标测评
3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，将△ABP绕点A旋转到△ACP′的位置，若AP=3，则PP′=______．
解：依题意，得旋转角∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
∴△APP′为等腰直角三角形，
∴PP′= =3 ．
故本题答案为：3 ．
3
教学目标
达标测评
4.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm， AD=13cm。△ABC的面积是6cm2。
（1）求AB的长度；
（2）求△ABD的面积。
解：（1）∵∠C=90°
∴S△ABC=×BC×AC=6，
∴AC=4（cm）．
∵BC2+AC2=AB2，
∴AB===5（cm）．
（2）∵AB2+BD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AB2+BD2=AD2．
∴∠ABD=90°．
∴S△ABD=×AB×BD=×5×12=30（cm2）．
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教学目标
达标测评
5.如图所示，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为 8 cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点 A沿棱柱的表面爬到顶点C＇处吃食物. 那么它需要爬行的最短路程的长是多少？
解：(1)沿侧枝 BB＇,将侧面A＇B和侧面B＇C展开如图1所示，连接AC＇.
∵AB=BC=5 cm，CC＇=8 cm,
由勾股定理，得= =
教学目标
达标测评
∴易知沿 DC展开和DD＇展开的情况同上述两种情况一致.
又∵ >=2
∴蚂蚁需要爬行的最短路轻的长为2cm
(2)沿底边A‘B’. 将底面A‘C’和侧面A‘B展开如图2所示，连接 AC’.
∵AB=5cm,BC’=BB’+B’C’=8+5=13cm,
由勾股定理，得= = （cm）
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教学目标
拓展提升
已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，
∴AB=BC．
∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，
∴AB2+BC2=2AB2，
∴BC2=AB2，
教学目标
拓展提升
（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中，
∠AEB=∠BFC
∠BAE=∠CBF
AB=BC
∴△BAE≌△CBF ．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．
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教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
1.勾股定理的证明
2.勾股定理
3.勾股定理的应用
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教学目标
课后作业
课本P75页第1、 4、 5 题
谢 谢！
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