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浙教版数学八年级上2.7探索勾股定理(2)教学设计
课题 探索勾股定理（2） 单元 第二章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 通过阅读课本，了解我国古代数学家的伟大成就，激发学生热爱祖国的思想和求知欲．
能力目标 通过研究讨论培养逻辑思维能力和探究合作能力
知识目标 1、掌握勾股定理的逆定理的内容及应用. 2、会应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形
重点 勾股定理的逆定理
难点 根据勾股定理的逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方1、若c为直角△ABC的斜边，b、a为直角边，则a、b、c的关系为_a2＋b2＝c22、在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD、CE分别是AB边上的高和中线，若AC＝6，BC＝8，则DE＝_1.4_。 回忆思考 用已有知识做基础来展开本节课内容的学习
合作学习 你能说出勾股定理的逆命题吗？下面我们一起来探索这个逆命题（1）作一个三角形,使其三边长分别为:3cm，4cm,5cm；1.5cm，2cm,2.5cm;5cm,12cm,13cm（2）算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等（3）量一量所作每一个三角形最大边所对角的度数。由此你得到怎样的结论 用命题的形式表述你的猜想。如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 动手操作 学生自己动手得出结论
讲授新课 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.符号语言：在△ABC中，∵a2+b2=c2（已知） ∴△ABC是Rt△,且∠C=Rt∠ 听课 讲授勾股定理的逆定理
例题讲解 例3 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形（1）a＝7，b＝24，c＝25（2）a＝ ，b＝1，c＝解：（1）∵7 +24 =25 ，∴以7,24,25为边的三角形是直角三角形。（2）∵（） + （） = ≠1 也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，∴a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，∴以，1，为边的三角形不是直角三角形 听课思考 讲解例题，明白题型
总结归纳 利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形的方法一找二算三判断1.区分最长边与较短两边，2.比较较短两边的平方和与最长边的平方，3.若相等，则三角形是直角三角形，并且最长边所对的角是直角， 否则该三角形不是直角三角形
即时演练 已知三角形两边的长分别为3cm和4cm，第三边的长是方程x2-6x+5=0的根．判断这个三角形的形状。解：方程x2-6x+5=0的根是1或5，由于1+3=4，不能构成三角形，故第三边的长是5cm，且32+42=52，根据勾股定理的逆定理，故此三角形为直角三角形。 做练习 及时做题，巩固所学
例题讲解 例4.已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断。解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。 听课 讲解课本例题
即时演练 若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0．解：（1）∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，
∴（a2-12a+36）+（b2-16b+64）+（c2-20c+100）=0，
即（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，即a=6，b=8，c=10，而62+82=100=102，
∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．（2）（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
∴（a-b）（a2+b2-c2）=0
∴a-b=0或a2+b2-c2=0或（a-b）（a2+b2-c2）=0，
∴此三角形ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 做练习 及时做题，巩固所学
达标测评 1.如图，明明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，则∠A+∠B的度数是______度．解：∵从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，
∴AB=41，BC=40，AC=9，
由勾股定理的逆定理得：412=402+92，
∴△ACB是直角三角形，AB是斜边，
∴∠A+∠B=90°．2.如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=2，PC=4，则∠APC的大小是______度． 解：∵△ABC为等边三角形，
则将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，如图，连PP′
∴AB与AC重合，∠PAP′=60°，
∴AP′=AP=2，P′C=PB=2，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=2，
在△PPC中，PP′=2，P′C=2 ，PC=4，
∴PP'2+P′C2=16=PC2
∴∠PP′C=90°，∠P′CP=30°，
∴∠P′PC=60°
所以∠APC=∠APP′+∠P′PC=120°．3.已知a、b、c是△ABC的三边，且a4-b4=a2c2-b2c2，请判断△ABC的形状．解：∵a4-b4=a2c2-b2c2
∴a4-b4-a2c2+b2c2=0
即：（a2+b2-c2）（a2-b2）=0
则a2+b2-c2=0或a2-b2=0
可得a2+b2=c2或a=b．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．4.如图所示，BD=4，AD=3，∠ADB=90°，BC=13，AC=12，求阴影部分的面积．解：连接AB，在RT△ABD中，AB==5，
∵BC=13，AC=12，
∴AB +AC2=BC2，即可判断△ABC为直角三角形，
阴影部分的面积=AC×BC-BD×AD=30-6=24．
答：阴影部分的面积是24． 5.如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积．
求证：这个三角形是直角三角形．证明：设△ABC的三边长分别为a、b、c，则以AC为直径的半圆面积=以BC为直径的半圆面积=以AB为直径的半圆面积=∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，∴+=即a +b =c ，∴此三角形是直角三角形． 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：
（1）当a=19时，则b、c的值是多少（2）当a=2n+1时，求b、c的值．你能证明所发现的规律吗．解：（1）当a=19时，设b=k，则c=k+1，观察有如下规律：192+k2=（k+1）2，k=180，故b=180，c=181．（2）当a=2n+1时，设b=k，则c=k+1，根据勾股定理：a2+b2=c2，即（2n+1）2+k2=（k+1）2解得k=2n（n+1），即b=2n（n+1），
c=2n（n+1）+1．
证明：a2+b2=（2n+1）2+[2n（n+1）]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，[2n（n+1）+1]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，所以a2+b2=c2，
所以a、b、c组成的三角形是直角三角形． 思考练习 做新的找规律题型，拓展学习思维
课堂小结 这节课我们学习了：1.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.2.用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形3.勾股定理逆定理的应用 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P78页第1、 2、 4 题 做练习 课下练习提升
板书 2.7 探索勾股定理（2）1.勾股定理的逆定理2.应用 看黑板 帮助学生梳理本课知识点
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探索勾股定理（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、下面各组数据能判断是直角三角形的是（ ）
A．三边长都为2 B．三边长分别为2，3，2
C．三边长分别为13，12，5 D．三边长分别为4，5，6
2. A、B、C分别表示三个村庄，AB=1300米，BC=500米，AC=1200米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）21·cn·jy·com
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
3. 三角形三条边的长有下面四组：①0.3、0.4、0.5；②2、5、6；③1、、1；④1、4、4．可构成直角三角形的有（ ）2-1-c-n-j-y
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4. 如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（ ）21*cnjy*com
A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米
5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现想把它们摆成两个直角三角形，图中正确的是（ ）【版权所有：21教育】
二、填空题
1、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为______cm2．
2. 一个三角形的三边BC，AC，AB有如下关系：BC2=AC2+AB2，则Rt△ABC中的直角是______．21教育名师原创作品
3. 已知|x-3|+|y-4|+（z-5）2=0，则由x，y，z为边的三角形的形状是______．
4. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，则甲巡逻艇的航向为北偏东( )度．2·1·c·n·j·y
5. 阅读以下解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
错∵a2c2-b2c2=a4-b4…（1），
∴c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2）…（2），
∴c2=a2+b2…（3）
问：
（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号______．
（2）错误的原因是______．
（3）本题正确的结论是______．
三、解答题
1. 在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且FC= DC．
试说明：AE⊥EF．
2. 一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？
四、综合题
如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检查如图所示的∠MPN是不是直角？如果能，请简述你的方法；如果不能，请说明理由．www.21-cn-jy.com
参考答案
一、选择题
2、A
【解析】
∵AB2=1690000，BC2=250000，AC2=1440000，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴活动中心P应在斜边AB的中点．
故选A．【来源：21·世纪·教育·网】
3、B
【解析】①∵0.32+0.42=0.52，∴0.3、0.4、0.5可以构成直角三角形；
②22+52≠62，故2、5、6不能构成直角三角形；
③12+12=（）2，故1、、1可以构成直角三角形；
④12+42≠42，故1，4，4不能构成直角三角形．
故能构成直角三角形的有①③两个．
故选B．21cnjy.com
4.A
【解析】如图，连接AC．
由勾股定理可知
AC===5，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2
∴△ABC是直角三角形
故所求面积=△ABC的面积-△ACD的面积=×5×12-×3×4=24（m2）．
故选A．21世纪教育网版权所有
5.C
【解析】7 +24 =25
15 +20 =25 ,由勾股定理逆定理得答案C
二、填空题
1、120
【解析】设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x=60，
∴x=2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242=262，∴三角形为直角三角形，
∴S=10×24÷2=120cm221·世纪*教育网
2、∠A
【解析】∵BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
故答案为：∠A．www-2-1-cnjy-com
3、直角三角形
【解析】根据题意得，x-3=0，y-4=0，z-5=0，
解得x=3，y=4，z=5，
∵x2+y2=42+32=25=z2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．【来源：21cnj*y.co*m】
4.50
【解析】解：∵AC=120×=12海里，BC=50×=5海里
∵AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形
∵∠CBA=50°
∴∠CAB=40°
∴甲的航向为北偏东50°．21*cnjy*com
5. ③，不能确定a2-b2是否为0，等腰三角形或直角三角形．
【解析】∵c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2）∴应有c2（a2-b2）-（a2-b2）（a2+b2）=0得到（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0，∴（a2-b2）=0或[c2-（a2+b2）]=0，即a=b或a2+b2=c2，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定a2-b2是否为0，等腰三角形或直角三角形．
【】
三、解答题
1.【解析】证明：连接AF，
设FC=a，则DC=DA=AB=BC=4a
所以DF=3a，CE=EB=2a．
由勾股定理得AF=5a，
EF=a，AE=2a从而由（a）2+（2a）2=（5a）2
即EF2+AE2=AF2
∴△AEF为直角三角形，斜边为AF，
故∠AEF=90°，
即AE⊥EF．【出处：21教育名师】
2. 【解析】
连结BD．
∵AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+DC2=BC2．
∴△ABD、△BDC是直角三角形．
∴∠A=90°，∠BDC=90°．
故这个零件符合要求．
四、综合题
【解析】能检查．
作法：如图所示，
（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B．
（2）连接AB得△PAB．
（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角．
理由：∵PA=3cm，PB=4cm，PA2+PB2=32+42=52．
若AB=5cm，则PA2+PB2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角．21教育网
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探究勾股定理
浙教版 八年级上
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——第二课时
教学目标
回顾旧知
1、若c为直角△ABC的斜边，b、a为直角边，则a、b、c的关系为_____________
2、在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD、CE分别是AB边上的高和中线，若AC＝6，BC＝8，则DE＝______________。
a2＋b2＝c2
1.4
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
教学目标
合作学习
你能说出勾股定理的逆命题吗？下面我们一起来探索这个逆命题
（1）作一个三角形,使其三边长分别为:3cm，4cm,5cm；1.5cm，2cm,2.5cm;5cm,12cm,13cm
（3）量一量所作每一个三角形最大边所对角的度数。
由此你得到怎样的结论 用命题的形式表述你的猜想。
（2）算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
教学目标
讲解新知
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理：
符号语言：
在△ABC中，
∵a2+b2=c2（已知）
∴△ABC是Rt△,且∠C=Rt∠
教学目标
例题讲解
例3 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
（1）a＝7，b＝24，c＝25
（2）a＝ ，b＝1，c＝
解：（1）∵7 +24 =25 ，
∴以7,24,25为边的三角形是直角三角形。
（2）∵（） + （） = ≠1
也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，
∴a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，
∴以，1，为边的三角形不是直角三角形
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教学目标
总结归纳
利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形的方法
一找二算三判断
1.区分最长边与较短两边，
2.比较较短两边的平方和与最长边的平方，
3.若相等，则三角形是直角三角形，并且最长边所对的角是直角，
否则该三角形不是直角三角形
教学目标
即时演练
已知三角形两边的长分别为3cm和4cm，第三边的长是方程x2-6x+5=0的根．判断这个三角形的形状。
解：方程x2-6x+5=0的根是1或5，由于1+3=4，不能构成三角形，故第三边的长是5cm，且32+42=52，根据勾股定理的逆定理，故此三角形为直角三角形。
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教学目标
例题讲解
例4.已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断。
∵ a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2 （m>n，m，n是正整数）
∴ a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2
＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2
＝(m2＋n2)2
＝m4＋2m2n2＋n4
＝c2
∴△ABC是直角三角形（__________________________）
解：△ABC是直角三角形，证明如下：
勾股定理的逆定理
教学目标
即时演练
若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0．
解：（1）∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，
∴（a2-12a+36）+（b2-16b+64）+（c2-20c+100）=0，
即（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，即a=6，b=8，c=10，而62+82=100=102，
∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．
教学目标
即时演练
（2）（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
∴（a-b）（a2+b2-c2）=0
∴a-b=0或a2+b2-c2=0或（a-b）（a2+b2-c2）=0，
∴此三角形ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0
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教学目标
达标测评
1.如图，明明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，则∠A+∠B的度数是______度．
解：∵从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，
∴AB=41，BC=40，AC=9，
由勾股定理的逆定理得：412=402+92，
∴△ACB是直角三角形，AB是斜边，
∴∠A+∠B=90°．
90
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教学目标
达标测评
2.如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=2，PC=4，则∠APC的大小是______度．
解：∵△ABC为等边三角形，
则将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，如图，连PP′
∴AB与AC重合，∠PAP′=60°，
∴AP′=AP=2，P′C=PB=2，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=2，
在△PPC中，PP′=2，P′C=2 ，PC=4，
∴PP'2+P′C2=16=PC2
∴∠PP′C=90°，∠P′CP=30°，
∴∠P′PC=60°
所以∠APC=∠APP′+∠P′PC=120°．
120
教学目标
达标测评
3.已知a、b、c是△ABC的三边，且a4-b4=a2c2-b2c2，请判断△ABC的形状．
解：∵a4-b4=a2c2-b2c2
∴a4-b4-a2c2+b2c2=0
即：（a2+b2-c2）（a2-b2）=0
则a2+b2-c2=0或a2-b2=0
可得a2+b2=c2或a=b．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
教学目标
达标测评
4.如图所示，BD=4，AD=3，∠ADB=90°，BC=13，AC=12，求阴影部分的面积．
解：连接AB，在RT△ABD中，AB==5，
∵BC=13，AC=12，
∴AB +AC2=BC2，即可判断△ABC为直角三角形，
阴影部分的面积=AC×BC-BD×AD=30-6=24．
答：阴影部分的面积是24．
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达标测评
5.如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积．
求证：这个三角形是直角三角形．
证明：设△ABC的三边长分别为a、b、c，则以AC为直径的半圆面积=
以BC为直径的半圆面积=
以AB为直径的半圆面积=
∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
∴+=
即a +b =c ，∴此三角形是直角三角形．
教学目标
拓展提升
观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：
（1）当a=19时，则b、c的值是多少（2）当a=2n+1时，求b、c的值．你能证明所发现的规律吗．
解：（1）当a=19时，设b=k，则c=k+1，观察有如下规律：192+k2=（k+1）2，k=180，故b=180，c=181．
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（2）当a=2n+1时，设b=k，则c=k+1，根据勾股定理：a2+b2=c2，即（2n+1）2+k2=（k+1）2
解得k=2n（n+1），即b=2n（n+1），
c=2n（n+1）+1．
证明：a2+b2=（2n+1）2+[2n（n+1）]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，[2n（n+1）+1]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，所以a2+b2=c2，
所以a、b、c组成的三角形是直角三角形．
教学目标
拓展提升
教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
1.勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
2.用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形
3.勾股定理逆定理的应用
教学目标
课后作业
课本P78页第1、 2、 4 题
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