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浙教版数学八年级上2.8直角三角形全等的判定教学设计
课题 直角三角形全等的判定 单元 第二章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 感受数学推理证明的严谨思维，感受数学的乐趣。
能力目标 在探究两个直角三角形全等的过程中，培养学生自主探究和合作学习的能力
知识目标 1、掌握两个直角三角形全等的条件（HL）． 2、了解角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上，及其简单应用．
重点 直角三角形全等的判定的方法“HL”
难点 直角三角形判定方法的说理过程.
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 三角形全等的判定定理有哪些 SSS:三组对应边分别相等的两个三角形全等SAS:有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等ASA:有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等AAS:”有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 回忆思考 回忆过去已经掌握的知识，为本课学习奠定基础
思考探索 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？不全等。理由如下：如图△ABC与△ABD中，AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，
但△ABC与△ABD不全等；如果这个角是直角呢 全等证明你的结论 思考回答问题 引导学生思考
讲授新课 已知Rt△ABC和Rt△A B C 中，AC’=AC’,AB=A’B’.证明Rt△ABC≌ Rt△A B C 证明一∵ Rt△ABC和Rt△A B C ∴ BC2=AB2 - AC2 B C 2=A B 2 - A C 2又∵ AC=AC,AB=AB.∴BC=B C 在△ABC和△A B C 中A B=A B A C=A C BC= B C ∴△ABC≌△A B C ( SSS )证明二∵ ∠ACB=∠A’B’C’=90 °∴ B，C，B’在同一直线上， AC ⊥BB’∵ AB=A'B'∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一）∵ AC=A'C'（公共边）∴ RtΔABC ≌ RtΔA'B'C'（SSS）直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写：“斜边、直角边”或“HL”几何语言：在Rt△ABC与Rt△ A B C 中 A B=A B A C=A C （ 或BC= B C ） 观察发现 通过学生观察发现得出
即时演练 如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上， DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF。
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE=OF证明：（1）∵BE=CF，∴ BE+EF=CF+EF； 即BF=CE。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形
在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CEAB=CD∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
（2）∵ Rt△ABF≌Rt△DCE(已证)。
∴ ∠AFB=∠DEC
∴ OE=OF 做练习 及时练习，巩固所学
做一做 已知线段a、c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90° ，一直角边CB=a，斜边AB=c.画法：1.画∠MCN=90 °.2.在射线CM上取CB=a.3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.4.连结AB .△ABC就是所要画的直角三角形. 动手实践 培养作图能力
例题讲解 例 如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明：作射线OP∵ PD⊥OA， PE⊥OB（已知） ∴ ∠PDO=∠PEO=Rt∠又∵ OP=OP（公共边），PD=PE（已知）∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL )∴ ∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上 听课思考 讲解例题，明白题型
讲授新知 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。∵ PD⊥OA， PE⊥OB ，PD=PE∴OP平分∠AOB （或∠1= ∠2）（角平分线的性质） 听课 讲授角平分线的性质
即时演练 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，且BE=CF。求证：AD平分∠BAC。证明：在Rt△DEB和Rt△DFC中， BE=CF， DB=DC，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 练习 及时练习，巩固所学
达标测评 1.如图，△ABC与△ADC中，∠B=∠D=90°，要使△ABC≌△ADC，还需添加的一个条件是______________（写一个即可）．解：已知∠B=∠D，AC是公共边，故添加CB=CD、AB=AD、∠1=∠2、∠3=∠4后可分别根据HL，AAS，AAS能判定△ABC≌△ADC．2.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 （ C ） A．三角形三条中线的交点B．三角形三边的垂直平分线的交点C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三条高所在直线的交点∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选C．3.三条公路两两相交，现在决定在三角形区内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处？请画出图形如图所示：
（1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；
（2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，
故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．4.如图：在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F
求证：AF平分∠BAC证明：
∵BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠ADB＝∠AEC＝90
∵∠BAD＝∠CAE,AB＝AC
∴△ABD≌△ACE （AAS）
∴AE＝AD
∵AF＝AF
∴△ADF≌△AEF （HL）
∴∠BAF＝∠CAF
∴AF平分∠BAC5.已知：如图，E，B，F，C四点在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：∠E=∠C．证明：∵BE=FC，
∴BE+BF=FC+BF，即EF=BC，
∵∠A=∠D=90°，
在RT△ABC和RT△DFE中，EF＝CBAB＝DF
∴△ABC≌△DFE（HL），
∴∠E=∠C． 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图①所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图②所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，AB=ACAD=CE∴Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠EAC，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC． 思考练习 拓展思维
课堂小结 这节课我们学习了：直角三角形全等的判定定理（HL）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2.角平分线的性质角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P82页第 1、 3、 4、 5 题 做练习 课下练习提升
板书 2.8 直角三角形全等的判定1.直角三角形全等判断定理：HL2.角平分线性质的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 看黑板 帮助学生梳理本课知识点
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直角三角形全等的判定
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、下面说法不正确的是（ ）
A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
B、有两边对应相等的两个直角三角形全等
C、有两角对应相等的两个直角三角形全等
D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
2. 下列说法正确的有（ ）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等
②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点（不与O重合），过P分别向角的两边作垂线PD、PE，垂足是D、E，连结DE，那么图中全等的直角三角形共有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．没有
4. 为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
5. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，若OD=OE=OF，连接OA，OB，OC，下列说法不一定正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．△BOD≌△BOF
B．∠OAD=∠OBF
C．∠COE=∠COF
D．AD=AE
二、填空题
1、如图所示，在三角形ABC中，∠C=90゜，两直角边AC=6，BC=8，三角形内有-点P，它到各边的距离相等，则这个距离是________【来源：21·世纪·教育·网】
2. 如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．2-1-c-n-j-y
3. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是______21*cnjy*com
4. 如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是______，∠FBC的度数是______．【来源：21cnj*y.co*m】
5. 如图，Rt△ABC中，AC=BC=6，D为AB的中点，DE⊥DF，DE，DF分别交AC、BC于点E、F．若已知DE=4，则四边形DECF的周长为______．【出处：21教育名师】
三、证明题
1. 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC， 若AB＝CD，试证明BD平分EF．【版权所有：21教育】
2. 在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD为∠BAC的平分线，求证：D在AB的垂直平分线上。21教育名师原创作品
四、操作题
如图，C，D是∠AOB内两点，求作一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且PC=PD。
参考答案
一、选择题
1、C
【解析】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；21cnjy.com
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；21·cn·jy·com
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．
故选C．
2、B
【解析】①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；
②应为，在角的内部到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故本小题错误；
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等，错误；
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，正确；
综上所述，说法正确的是①④共2个．
故选B．
3、A
【解析】图中全等直角三角形有：Rt△ODP≌Rt△OEP、Rt△ODF≌Rt△OEF、Rt△FDP≌Rt△FEP．共3对．21·世纪*教育网
故选A．
5.B
【解析】试题分析：∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF，
∴O在∠ABC的角平分线上（∠DBO=∠FBO），∠ODB=∠OFB=90°，
∵在△BOD和△BOF中
∠BDO=∠BFO ∠DBO=∠FBO BO=BO
∴△BOD≌△BOF，正确，故本选项错误；
B、根据已知不能推出∠OAD=∠OBF，错误，故本选项正确；
C、∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF，
∴O在∠ACB的角平分线上（∠FCO=∠ECO），∠OFC=∠OEC=90°，
∵在△COF和△COE中
∠CFO=∠CEO ∠FCO=∠ECO CO=CO
∴△COF≌△COE，
∴∠COE=∠COF，正确，故本选项错误；
D、∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∵OD=OE，OA=OA，由勾股定理得：AE=AD，正确，故本选项错误；
故选B．
二、填空题
1、2
【解析】由勾股定理得：AB==10，∵在△ABC内有一点P，点P到各边的距离都相等，21世纪教育网版权所有
∴P为△ABC的内切圆的圆心，设切点为D、E、F，连接PD、PE、PF、PA、PC、PB，内切圆的半径为R，www-2-1-cnjy-com
则由三角形面积公式得：×AC×BC=×AC×R+×BC×R+×AB×R，
∴6×8=6R+8R+10R，
R=2，
2、△DFE，HL
【解析】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等；
3、（1）和（2）
【解析】∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（2）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；
（3）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故（1）和（2）．
4. 20°，40°
【解析】
在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，
∴∠ACB=50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．
故答案为：20°，40°．
5.14
【解析】连接CD．
∵Rt△ABC中，AC=BC=6，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，∠ECD=∠DCB=∠B=45°，CD=BD，
∵DE⊥DF，
∠CDE=∠BDF，
在△CDE与△BDF中
∠ECD=∠B CD=BD ∠CDE=∠BDF
∴△CDE≌△BDF，
∴EC=FB，ED=FD，
∴四边形DECF的周长为：ED+DF+CF+CE=2ED+CF+FB=2ED+CB=2×4+6=14．
故答案为：14．
【】
三、解答题
1.【解析】证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．
∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF． 即AF＝CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,AF=CF，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．
在△BFG和△DEG中
∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE，BF=DE
∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF
2. 【解析】证明：∵在△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，
∴∠BAC=60°，∠ABC=30°
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=30°
∴∠BAD=∠ABC
∴BD=AD
∴D在AB的垂直平分线上。21教育网
四、操作题
【解析】解：作法：
（1）作∠AOB的平分线OE；
（2）连CD，作CD的垂直平分线MN，与OE交于点P；
点P 即为所求的点，如图：www.21-cn-jy.com
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直角三角形全等的判定
浙教版 八年级上
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教学目标
回顾旧知
三角形全等的判定定理有哪些
SSS：
三组对应边分别相等的两个三角形全等
SAS：
ASA：
AAS：
有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等
教学目标
思考探究
有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？
不全等。理由如下：
如果这个角是直角呢
如图△ABC与△ABD中，
AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，
但△ABC与△ABD不全等；
全等
证明你的结论
教学目标
讲授新知
已知Rt△ABC和Rt△A B C 中，AC’=AC’,AB=A’B’.
证明Rt△ABC≌ Rt△A B C
∵ Rt△ABC和Rt△A B C
∴ BC2=AB2 - AC2
B C 2=A B 2 - A C 2
又∵ AC=AC,AB=AB.
∴BC=B C
在△ABC和△A B C 中
A B=A B
A C=A C BC= B C
证明一
∴△ABC≌△A B C ( SSS )
教学目标
讲授新知
A
B
C
A’
B’
C’
∵ ∠ACB=∠A’B’C’=90 °
∴ B，C，B’在同一直线上，
AC ⊥BB’
∵ AB=A'B'
∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一）
∵ AC=A'C'（公共边）
∴ RtΔABC ≌ RtΔA'B'C'（SSS）
证明二
教学目标
讲授新知
简写：“斜边、直角边”或“HL”
A B=A B
A C=A C
∴Rt△ABC≌Rt△A B C ( HL )
直角三角形全等的判定定理：
几何语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
（ 或BC= B C ）
在Rt△ABC与Rt△ A B C 中
B'
C'
A'
A
C
B
教学目标
即时演练
如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上， DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF。
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE=OF
证明：（1）∵BE=CF，
∴ BE+EF=CF+EF； 即BF=CE。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BF=CE
AB=CD
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
（2）∵ Rt△ABF≌Rt△DCE(已证)。
∴ ∠AFB=∠DEC
∴ OE=OF
教学目标
做一做
已知线段a、c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90° ，一直角边CB=a，斜边AB=c.
a
c
画法：1.画∠MCN=90 °.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB .
△ABC就是所要画的直角三角形.
M
C
N
a
B
c
A
2.在射线CM上取CB=a.
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教学目标
例题讲解
例 如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
1
2
作射线OP
证明：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB（已知）
∴ ∠PDO=∠PEO=Rt∠
又∵ OP=OP（公共边），PD=PE（已知）
∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL )
∴ ∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上
教学目标
讲解新知
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
1
2
∵
PD⊥OA， PE⊥OB ，PD=PE
∴OP平分∠AOB （或∠1= ∠2）
（角平分线的性质）
角平分线的性质定理的逆定理：
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教学目标
即时演练
如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，且BE=CF。求证：AD平分∠BAC。
证明：在Rt△DEB和Rt△DFC中，
BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
教学目标
达标测评
1.如图，△ABC与△ADC中，∠B=∠D=90°，要使△ABC≌△ADC，还需添加的一个条件是______________（写一个即可）．
解：已知∠B=∠D，AC是公共边，故添加CB=CD、AB=AD、∠1=∠2、∠3=∠4后可分别根据HL，AAS，AAS能判定△ABC≌△ADC．
答案不唯一
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教学目标
达标测评
2.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 （ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三边的垂直平分线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条高所在直线的交点
∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选C．
C
教学目标
达标测评
3.三条公路两两相交，现在决定在三角形区内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处？请画出图形
L1
L2
L3
如图所示：
（1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；
（2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，
故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．
教学目标
达标测评
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教学目标
达标测评
4.如图：在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F
求证：AF平分∠BAC
证明：
∵BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠ADB＝∠AEC＝90
∵∠BAD＝∠CAE,AB＝AC
∴△ABD≌△ACE （AAS）
∴AE＝AD
∵AF＝AF
∴△ADF≌△AEF （HL）
∴∠BAF＝∠CAF
∴AF平分∠BAC
教学目标
达标测评
5.已知：如图，E，B，F，C四点在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：∠E=∠C．
证明：∵BE=FC，
∴BE+BF=FC+BF，即EF=BC，
∵∠A=∠D=90°，
在RT△ABC和RT△DFE中，
EF＝CB
AB＝DF
∴△ABC≌△DFE（HL），
∴∠E=∠C．
教学目标
拓展提升
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图①所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图②所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
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教学目标
拓展提升
解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
AB=AC
AD=CE
∴Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠EAC，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
教学目标
拓展提升
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
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教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
1.直角三角形全等的判定定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
2.角平分线的性质定理的逆定理：
教学目标
课后作业
课本P82页第 1、 3、 4、 5 题
谢 谢！
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