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浙教版数学八年级上3.1认识不等式教学设计
课题 认识不等式 单元 第三章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 感受不等式在生活中的应用，感受数学的乐趣。
能力目标 在学习过程中培养学生自主思考，勇于探究和合作学习的能力
知识目标 1.掌握不等式的定义2.掌握用数轴表示不等式3.能利用不等式解决实际问题
重点 用数轴表示不等式
难点 利用数轴表达不等式
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 双润溪水库的水位在15-25m（包括15m，25m）时，发电机能正常工作，设水库水位为x（m）。你能用关于x的式子表示水位的高度吗？15≤x≤25 听课 用生活实例引入本课内容，吸引学生注意力
合作学习 下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？（1）下图为公路上对汽车的限速标志,表示汽车在该路段行使的速度不得超过40Km/h，用v(km/h)表示汽车的速度,怎样表示v和40之间的关系 V ≤ 40 （2）根据科学家测定,太阳表面的温度不低于6000℃。设太阳表面的温度为t(℃)，怎样表示t和6000之间的关系 t ≥ 6000（3）天平左盘放3个乒乓球,右盘放5克砝码,天平倾斜,设每个乒乓球的质量为x(g),怎样表示x与5之间的关系 3x ＞5 （4）小明与小聪玩跷跷板,大家都不用力时,跷跷板左低右高.小明的身体质量为p(kg),小聪的身体质量为q(kg),书包的质量为2kg, 怎样表示p 、q之间的关系 p ＜q +2 （5）要使代数式有意义, x的值与3之间有什么关系 x≠ 3 观察 回答问题 从学生熟悉的事物引入本课知识
讲授新课 像V≤40，t≥6000，3x＞5，q＜p+2 ，x≠3这样，用“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。这些用来连接的符号统称不等号 听课 讲授不等式的定义
即时演练 选用适当的不等号填空：-______-π，-x2______0，-9______|a+8|,
（a-1）2______-2（a-1）2∵ ＞π，
∴- ＜-π，
∵x2≥0，
∴-x2≤0，
∵任何数的绝对值都大于等于0，
∴-9＜|a+8|，
∴（a-1）2≥-2（a-1）2．
故答案为：＞，≤，＜，≥． 做练习 及时做题，巩固所学
例题讲解 例1.根据下列数量关系列不等式：（1）a是正数（2）y的2倍与6的和比1小（3）x 减去10不大于10（4）设a，b, c为一个三角形的三条边，两边之和大于第三边。解：（1）a是正数,a＞0（2） y的2倍与6的和比1小,2y+6<1（3）x 减去10不大于10,x -10≤10（4）三角形两边之和大于第三边,a+b>c，a+c＞b，b+c＞a 听课 讲解例题，熟悉题型
小结归纳 列不等式的步骤：(1)根据条件中的关系语确定不等式两边的代数式(2)根据条件中的关系选择合适的不等号 听课思考 总结方法
即时演练 用适当的符号表示下列关系：
（1）a的3倍与b的和不大于3；
（2）x2是非负数；
（3）x的相反数与1的差不小于2；
（4）x与17的和比它的5倍小。 解：（1）中不大于就是小于或等于，即“≤”；3a+b≤3
（2）中的非负数就是大于等于零，即“≥”；x ≥0
（3）不小于就是大于等于； -x-1≥2
（4）中关键词是“小”等。 x+17＜5x 做练习 及时练习，巩固所学
做一做 解下列各题：（1）已知x1=1，x2=2.请在数轴上表示出x1，x2的位置（2）x＜1表示怎样的数的全体？x≥2表示怎样的数的全体（1）（2）x＜1表示小于1的全体实数；x≥2表示大于等于2的全体实数 做练习 深化理解
讲授新知 x＜a表示小于a的全体实数在数轴上怎么表示？a左边的所有点，不包括a在内x≥a表示__大于或等于a的全体实数在数轴上怎么表示？a右边的所有点，包括a在内b＜x＜a表示_大于b而小于a的全体实数在数轴上怎么表示？b右边,a左边的所有点，不包括a，b在内类似地，你能在数轴上分别标出x＞a， x≤a和b≤x＜a（b＜a）对应的点吗？x＞a x≤a b≤x＜a 在数轴上表示不等式的步骤：备好数轴找准点分清空实定方向无等号 ---空心有等号---实心 大于--向右 小于--向左 听课 讲授不等式在数轴上的表示方法
例题讲解 例2：一座小水电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电机能正常工作。设水库水位为x（m）.（1）用不等式表示发电机正常工作水位范围，并表示在数轴上；（2）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？ ①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19. 用不等式和数轴给出解释。解：（1）正常工作范围 12≤x≤20，在数轴上表示为：（2）把x1=8，x2=10,x3=15,x4=19表示在数轴上，如图：显然， x3，x4满足不等式12≤x≤20 ，而x1,x2不满足， 也就是说, 当水位在15m,19m时，发电机能正常工作;当水位在8m,10m时，发电机不能正常工作。 听课思考 讲解例题，明白题型
即时演练 小李与小王决定把每月省下的零用钱存起来．小李原来存了80元，小王原来存了54元．从这个月开始，小李计划每月存16元，小王计划每月存20元．
（1）设x个月后小王的存款数超过小李，试根据题意列出不等式；
（2）6个月后，小王的存款数是否已超过小李？7个月后呢？解：（1）54+20x＞80+16x；
（2）6个月后，小王的存款数是54+20×6=174，小李的存款数是80+16×6=176，所以小王的存款数没有超过小李；
7个月后，小王的存款数是54+20×7=194，小李的存款数是80+16×7=192，所以小王的存款数超过了小李． 练习 及时练习，巩固所学
达标测评 1.下面列出的不等式中，正确的是（ ）A．a不是负数，可表示成a＞0B．x不大于3，可表示成x＜3C．m与4的差是负数，可表示成m-4＜0D．x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0A、a不是负数，可表示成a≥0，故本选项错误；
B、x不大于3，可表示成x≤3，故本选项错误；
C、m与4的差是负数，可表示成m-4＜0，故本选项正确；
D、x与2的和是非负数，可表示成x+2≥0，故本选项错误．
故选C．2.已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．（1）n-m______0；（2）m+n______0；（3）m-n______0；（4）n+1______0；（5）m n______0；
（6）m+1______0．解：（1）因为n＜0，m＞0，所以n-m＜0；
（2）因为n＜0、m＞0，且|n|＞1、|m|＜1，所以m+n＜0；
（3）因为n＜0，m＞0，所以n-m＞0；
（4）因为n＜0，|n|＞1，所以n+1＜0；
（5）因为n＜0，m＞0，所以m n＜0；
（6）因为0＜m＜1，所以m+1＞0．3.某种品牌奶粉合上标明“蛋白质≥20%”，它所表达的意思是（ ）A．蛋白质的含量是20%B．蛋白质的含量不能是20%C．蛋白质大含量高于20%D．蛋白质的含量不低于20%解：蛋白质≥20%，所表达的意思是：蛋白质的含量不低于20%．
故选D．4.面积为1的三角形中，三边长分别为a、b、c，且满足a≤b≤c，则a+b的最小值是______．解：过点A作BC边上的高AD，设其长为h，如下图所示：
则b≥h，
又∵ah=1，
∴ab≥1
∴a+b≥2≥2，
∴在三角形为等腰直角三角形时a+b取得最小值．
此时a+b=2．
故答案为：2． 5.已知abc是三角形的三边长,且a>b,那么这个三角形的周长p应满足的不等关系是____________________解：不妨设三角形ABC的第三边为c,
那么c=p-a-b.
由三角形三边之间的关系可知：
a-b小于c小于a+b
就是a-b小于p-a-b小于a+b
由此可得
p应满足的不等关系是：2a＜p＜2(a+b). 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 平面上有n个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n的最大值证明：如下图所示：三个点ABC构成直角三角形，现在加一点D并使其满足题意，①若ABD中斜边不是AB（如图一）则∠CBD为钝角，三角形CBD不为直角三角形，矛盾；②故AB为三角形ABD斜边，即D在AB为直径的圆上，又ACD，BCD是直角三角形，所以只能CD是直径，即n=4时满足．③若存在异于D的第5点E满足题意，由①知E比在ABC确定的圆上，则CE不为直径，∠CAE与∠CBE中必有一个角为钝角，矛盾．综上n最大为4． 思考练习 拓展学生思维
课堂小结 这节课我们学习了：1.不等式主要用来刻画现实生活中的不等关系2.在列不等式时，关键要确定不等号的方向，其次要确定等号能否取到3.在数轴上表示不等式时，一要选取合适的单位长度，二要确定不等式的方向，三要注意空心点与实心点之间的区别。 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P93页第1、 5、 6 题 做练习 课下练习提升
板书 3.1 认识不等式1.不等式的定义：用不等号连接的数学式子2.不等式在数轴上的表示3.应用 看黑板 帮助学生梳理本课知识点
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认识不等式
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
①-3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3．2-1-c-n-j-y
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
2. 小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是20℃，最低气温是12℃，则当天重庆市气温t（℃）的变化范围是（ ）21*cnjy*com
A．t＞12 B．t≤20 C．12＜t＜20 D．12≤t≤20
3. 海尔冰箱背面铭牌上有“≤250V”标项，它表示（ ）
A．冰箱的额定电压是250V
B．冰箱的额定电压小于250V
C．冰箱的额定电压不能超过250V
D．非上述说法
4. 数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．a＞b B．ab＞0 C．a+b＞0 D．a+b＜0
5. 下列不等关系中，正确的是（ ）
A．a不是负数表示为a＞0
B．x不大于5可表示为x＞5
C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0
D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0
二、填空题
1、一种药品的说明书上写着：“每日用量120～180mg，分3～4次服完．”一次服用这种药的剂量在___________说明范围.21教育网
2. k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示 k的取值范围是______．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）21cnjy.com
3. 在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为xm，则用不等式表示图中标志的意义为_______。
4. 数学表达式中：①a2≧0 ②5p﹣6q＜0 ③x﹣6=1 ④7x+8y ⑤﹣1＜0 ⑥x≠3不等式是__________（填序号）。【来源：21·世纪·教育·网】
5. 选择适当的不等号填空：（1）x2______0； （2）若x≠y，则3x______3y．
三、解答题
1. 写出下列不等式。
（1）x的与5的差小于1；
（2）y的9倍与b的的和是负数；
（3）a的相反数的绝对值与3的和是正数；
（4）x的与9的倒数的和大于y的15%。【来源：21cnj*y.co*m】
2. 在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．www-2-1-cnjy-com
（1）写出a所满足的不等式；
（2）数-3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
四、证明题
如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°．证明：PA+PD+PC≥BD．21世纪教育网版权所有
参考答案
一、选择题
2、D
【解析】某天最高气温是20℃，最低气温12℃，则当天成都市的气温t℃的变化范围是12≤t≤20．
故选D．
3、C
【解析】∵海尔冰箱背面铭牌上有“≤250V”标项，
∴冰箱的额定电压为小于等于250V，即不能超过250V．
故选C．
4.D
【解析】由数轴可知，a＜b，A错误；a＜0，b大于0，所以ab＜0,B错误；|a|＞0，0＜|b|＜1，所以a+b＜0,D正确。www.21-cn-jy.com
5.D
【解析】A、a不是负数表示为a≥0；
B、x不大于5可表示为x≤5；
C、x与1的和是非负数可表示为x+1≥0；
D、正确．
故选D．
二、填空题
1、30≤x≤60
【解析】∵120÷3=40，120÷4=30，180÷3=60，180÷4=45，
∴一次服用这种药的剂量在30mg～60mg之间，即30≤x≤60．
2、-1＜k≤3
【解析】根据题意，得-1＜k≤3．
故填-1＜k≤3．
3、x≤4
【解析】由题意可知，表示的含义为x≤4
4. ①②⑤⑥
【解析】用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式,③没有不等号，所以答案为①②⑤⑥
5. ≥，≠
【解析】（1）根据不等式的基本性质，
可得：x2≥0；
（2）根据不等式的基本性质，
∵x≠y，
∴3x≠3y，
故答案为：≥，≠．21·cn·jy·com
三、解答题
1.【解析】解：（1）x-5<1；
（2）9y+b<0；
（3）| -a|+3>0；
（4）x+>y×15%。2·1·c·n·j·y
2. 【解析】（1）根据题意得：|a-1|＜3，
得出-2＜a＜4，
（2）由（1）得：到点B的距离小于3的数在-2和4之间，
∴在-3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3．
四、证明题
【解析】证明：在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D，
延长AP到点E，使PE=PD，连接DE，
∵PE=PD，∠DPE=60°，
∴△PDE为等边三角形，
∵DB′=AD，DP=ED，∠B′DP=∠ADE，
∴△ADE≌△B′PD（SAS），
∴B'P=AP+PD，
易知B'C≤PB'+PC，得B'C≤PA+PD+PC．
∵△AB'D是等边三角形，
∴AB'=AD，∠B'AD=60°，
又易知△ABC是等边三角形，
故AC=AB，∠BAC=60°，
∴△AB'C≌△ADB，∴B'C=DB，
∴PA+PD+PC≥BD，得证．21·世纪*教育网
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认识不等式
浙教版 八年级上
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
教学目标
新课导入
双润溪水库的水位在15-25m（包括15m，25m）时，发电机能正常工作，设水库水位为x（m）。你能用关于x的式子表示水位的高度吗？
15≤x≤25
教学目标
合作学习
下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？
（1）下图为公路上对汽车的限速标志,表示汽车在该路段行使的速度不得超过40Km/h，用v(km/h)表示汽车的速度,怎样表示v和40之间的关系
V 40
≤
t 6000
≥
（2）根据科学家测定,太阳表面的温度不低于6000℃。设太阳表面的温度为t(℃)，怎样表示t和6000之间的关系
3x 5
＞
（3）天平左盘放3个乒乓球,右盘放5克砝码,天平倾斜,设每个乒乓球的质量为x(g),怎样表示x与5之间的关系
教学目标
合作学习
（4）小明与小聪玩跷跷板,大家都不用力时,跷跷板左低右高.小明的身体质量为p(kg),小聪的身体质量为q(kg),书包的质量为2kg, 怎样表示p 、q之间的关系
p q +2
＜
（5）要使代数式有意义, x的值与3之间有什么关系
x 3
≠
教学目标
合作学习
教学目标
讲解新知
像V≤40，t≥6000，3x＞5，q＜p+2 ，x≠3这样，用“＜
”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。
这些用来连接的符号统称不等号
＞
—— 大于
＜
——小于
≤
——小于或等于(不大于）
≥
——大于或等于（不小于）
≠
——不等于
教学目标
即时演练
选用适当的不等号填空：
-______-π，
-x2______0，
-9______|a+8|,
（a-1）2______-2（a-1）2
∵ ＞π，
∴- ＜-π，
∵x2≥0，
∴-x2≤0，
∵任何数的绝对值都大于等于0，
∴-9＜|a+8|，
∴（a-1）2≥-2（a-1）2．
故答案为：＞，≤，＜，≥．
≤
＜
≥
＜
教学目标
讲解新知
例1.根据下列数量关系列不等式：
（1）a是正数
（2）y的2倍与6的和比1小
（3）x 减去10不大于10
（4）设a，b,c为一个三角形的三条边，两边之和大于第三边。
解：（1）a是正数,a＞0
（2） y的2倍与6的和比1小,2y+6<1
（3）x 减去10不大于10,x -10≤10
（4）三角形两边之和大于第三边,a+b>c，a+c＞b，b+c＞a
教学目标
小结归纳
列不等式的步骤：
(1)根据条件中的关系语确定不等式两边的代数式
(2)根据条件中的关系选择合适的不等号
教学目标
即时演练
用适当的符号表示下列关系：
（1）a的3倍与b的和不大于3；
（2）x2是非负数；
（3）x的相反数与1的差不小于2；
（4）x与17的和比它的5倍小。
解：（1）中不大于就是小于或等于，即“≤”；3a+b≤3
（2）中的非负数就是大于等于零，即“≥”；x ≥0
（3）不小于就是大于等于； -x-1≥2
（4）中关键词是“小”等。 x+17＜5x
教学目标
做一做
解下列各题：
（1）已知x1=1，x2=2.请在数轴上表示出x1，x2的位置
（2）x＜1表示怎样的数的全体？x≥2表示怎样的数的全体
（2）x＜1表示小于1的全体实数；x≥2表示大于等于2的全体实数
1
2
0
x1
x2
（1）
教学目标
讲授新知
x＜a表示______________________
小于a的全体实数
在数轴上怎么表示？
x≥a表示____________________________
大于或等于a的全体实数
在数轴上怎么表示？
a右边的所有点，包括a在内
a左边的所有点，不包括a在内
b＜x＜a表示____________________________
大于b而小于a的全体实数
在数轴上怎么表示？
b右边,a左边的所有点，不包括a，b在内
类似地，你能在数轴上分别标出x＞a， x≤a和b≤x＜a（b＜a）对应的点吗？
教学目标
讲授新知
x＞a
x≤a
b≤x＜a
在数轴上表示不等式的步骤：
备好数轴找准点
分清空实定方向
无等号 ---空心
有等号---实心
大于--向右
小于--向左
教学目标
例题讲解
例2：一座小水电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电机能正常工作。设水库水位为x（m）.
（1）用不等式表示发电机正常工作水位范围，并表示在数轴上；
（2）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？
①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19. 用不等式和数轴给出解释。
解：（1）正常工作范围 12≤x≤20，在数轴上表示为：
0
2
4
6
8
10
14
16
18
20
22
12
(单位：m)
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教学目标
例题讲解
显然， x3，x4满足不等式12≤x≤20 ，而x1,x2不满足， 也就是说, 当水位在15m,19m时，发电机能正常工作;当水位在8m,10m时，发电机不能正常工作。
（2）把x1=8，x2=10,x3=15,x4=19表示在数轴上，如图：
x2
x1
x3
x4
0
2
4
6
8
10
14
16
18
20
22
12
(单位：m)
教学目标
即时演练
小李与小王决定把每月省下的零用钱存起来．小李原来存了80元，小王原来存了54元．从这个月开始，小李计划每月存16元，小王计划每月存20元．
（1）设x个月后小王的存款数超过小李，试根据题意列出不等式；
（2）6个月后，小王的存款数是否已超过小李？7个月后呢？
解：（1）54+20x＞80+16x；
（2）6个月后，小王的存款数是54+20×6=174，小李的存款数是80+16×6=176，所以小王的存款数没有超过小李；
7个月后，小王的存款数是54+20×7=194，小李的存款数是80+16×7=192，所以小王的存款数超过了小李．
教学目标
达标测评
1.下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成a＞0
B．x不大于3，可表示成x＜3
C．m与4的差是负数，可表示成m-4＜0
D．x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0
A、a不是负数，可表示成a≥0，故本选项错误；
B、x不大于3，可表示成x≤3，故本选项错误；
C、m与4的差是负数，可表示成m-4＜0，故本选项正确；
D、x与2的和是非负数，可表示成x+2≥0，故本选项错误．
故选C．
C
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教学目标
达标测评
2.已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．
（1）n-m______0；（2）m+n______0；（3）m-n______0；（4）n+1______0；（5）m n______0；
（6）m+1______0．
解：（1）因为n＜0，m＞0，所以n-m＜0；
（2）因为n＜0、m＞0，且|n|＞1、|m|＜1，所以m+n＜0；
（3）因为n＜0，m＞0，所以n-m＞0；
（4）因为n＜0，|n|＞1，所以n+1＜0；
（5）因为n＜0，m＞0，所以m n＜0；
（6）因为0＜m＜1，所以m+1＞0．
＜
＜
＞
＜
＜
＞
教学目标
达标测评
3.某种品牌奶粉合上标明“蛋白质≥20%”，它所表达的意思是（ ）
A．蛋白质的含量是20%
B．蛋白质的含量不能是20%
C．蛋白质大含量高于20%
D．蛋白质的含量不低于20%
解：蛋白质≥20%，所表达的意思是：蛋白质的含量不低于20%．
故选D．
D
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教学目标
达标测评
4.面积为1的三角形中，三边长分别为a、b、c，且满足a≤b≤c，则a+b的最小值是______．
解：过点A作BC边上的高AD，设其长为h，如下图所示：
则b≥h，
又∵ah=1，
∴ab≥1
∴a+b≥2≥2，
∴在三角形为等腰直角三角形时a+b取得最小值．
此时a+b=2．
故答案为：2．
2
教学目标
达标测评
5.已知abc是三角形的三边长,且a>b,那么这个三角形的周长p应满足的不等关系是____________________
解：不妨设三角形ABC的第三边为c,
那么c=p-a-b.
由三角形三边之间的关系可知：
a-b小于c小于a+b
就是a-b小于p-a-b小于a+b
由此可得
p应满足的不等关系是：2a＜p＜2(a+b).
2a＜p＜2(a+b)
教学目标
拓展提升
平面上有n个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n的最大值
三个点ABC构成直角三角形，现在加一点D并使其满足题意，
①若ABD中斜边不是AB（如图一）则∠CBD为钝角，三角形CBD不为直角三角形，矛盾；
证明：如下图所示：
图1
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教学目标
拓展提升
②故AB为三角形ABD斜边，即D在AB为直径的圆上，又ACD，BCD是直角三角形，所以只能CD是直径，
即n=4时满足．
③若存在异于D的第5点E满足题意，由①知E比在ABC确定的圆上，则CE不为直径，
∠CAE与∠CBE中必有一个角为钝角，矛盾．
综上n最大为4．
图2
教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
1.不等式主要用来刻画现实生活中的不等关系
2.在列不等式时，关键要确定不等号的方向，其次要确定等号能否取到
3.在数轴上表示不等式时，一要选取合适的单位长度，二要确定不等式的方向，三要注意空心点与实心点之间的区别。
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教学目标
课后作业
课本P93页第1、 5、 6 题
谢 谢！
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