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浙教版数学九年级上册3.3.2课时教学设计
课题 垂径定理 单元 3 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
能力目标 1.经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论。2.在利用垂径定理解决数学问题的过程中，注意运用迁移和数形结合等数学思想与方法。
知识目标 1. 进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.2. 利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题
重点 垂径定理的推论
难点 垂径定理及推论的应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题：谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论 学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. ( http: / / www.21cnjy.com / )求证：CD⊥AB，= 师生共同归纳定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，= ( http: / / www.21cnjy.com / )求证：CD⊥AB归纳出：定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说. 如果在下列五个条件中: CD是直径, CD⊥AB, AM=BM,== ( http: / / www.21cnjy.com / )只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.你可以写出相应的命题吗 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )辨一辨（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 ( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心 ( )（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵 ( http: / / www.21cnjy.com )州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求桥拱的半径(精确到0.1m). ( http: / / www.21cnjy.com / )解：弧AB表示桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交弧AB于点D. ( http: / / www.21cnjy.com / )∵C是弧AB的中点,∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.探究活动某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？ ( http: / / www.21cnjy.com / )总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 ( http: / / www.21cnjy.com / )拓展提升如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7. ( http: / / www.21cnjy.com )2米, 拱顶高出水面2.4米. 现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过这座拱桥吗？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生说出垂径定理的逆命题根据所学知识进行逆命题的证明共同归纳学生思考，进行探索，并试着证明归纳学生根据五个条件写出相应的命题，填表学生通过填表，可以对知识进行巩固。根据问题，学生交流，思考，进行知识的检测学生自主解答，老师巡视指导学生分组解答，老师提问 学生自主解答，教师适时的进行提示，并总结方法学生自主解答，老师巡视指导 在教法设计上引导学生自主、合作的学习能力增强学生观察和归纳总结的能力。课堂教学必须在师生、生生的 ( http: / / www.21cnjy.com )互动氛围中，引导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生解决问题的能力和归纳的能力通过例题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高。培养学生自主解决问题以及总结方法的能力。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高。
巩固提升 1．下列命题中，正确的是( )A． 过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧答案：C2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( ) ( http: / / www.21cnjy.com / )A．8 B．2 C．10 D．5答案：D3．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.cm D. cm答案：A4．如图所示，AB，AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是( ) ( http: / / www.21cnjy.com / )A. =B. =C．BC⊥AD D．∠B＝∠C答案：A4、如图所示，某窗户由矩形和弓形组成， ( http: / / www.21cnjy.com )已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：1.625m5、如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为 。答案： ( http: / / www.21cnjy.com / )6、已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB，CD之间的距离答案：解：当AB，CD如图(1)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC.因为AB∥CD，OE⊥CD，所以OF⊥AB.由垂径定理可知AF＝ AB＝×24＝12，CE＝ C D＝ ×10＝5.在Rt△CEO中，OE＝＝＝12，同理，OF＝＝＝5，故EF＝OE－ OF＝12－5＝7； ( http: / / www.21cnjy.com / )当AB，CD如图(2)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC，可得OE＝12，OF＝5，故EF＝OE＋OF＝12＋5＝17，所以AB，CD之间的距离为17 cm或7 cm. ( http: / / www.21cnjy.com / )7.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图 ( http: / / www.21cnjy.com )14所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：不需要采取紧急措施．理由如下∶设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，由勾股定理得OA2＝AC2＋OC2，即R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324，解得R＝34.如图，连结OM，设DE＝x.在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2＝ME2＋OE2，即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2，即x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施． ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考 ( http: / / www.21cnjy.com )；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
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3.3.2 垂径定理
数学浙教版 九年级上
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教学目标
导入新课
问题：
谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
①CD为直径
②CD⊥AB
⑤CD平分弧ADB
③CD平分弦AB
④CD平分弧AB
教学目标
新课讲解
想一想
垂径定理的逆命题是什么？
逆命题1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
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教学目标
新课讲解
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.
求证：CD⊥AB，AC=BC
⌒
⌒
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AP=BP
∴CD⊥AB
∴AC=BC (垂直于弦的直径平分弦所对的弧)
⌒
⌒
教学目标
新课讲解
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.
归 纳：
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教学目标
新课讲解
探索
平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC
求证：CD⊥AB
⌒
⌒
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AC=BC
⌒
⌒
∴∠AOC=∠BOC
∴CD⊥AB
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教学目标
新课讲解
平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
归 纳：
定理2
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你可以写出相应的命题吗
如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说. 如果在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
教学目标
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教学目标
新课讲解
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
教学目标
新课讲解
条件 结论 命题
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
教学目标
新课讲解
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 ( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心 ( )
（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
辨一辨
教学目标
新课讲解
例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求桥拱的半径(精确到0.1m).
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A
B
D
解：AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D.
∴OC就是拱高.
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,
OD=OC-DC=（R-7.23）.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,
解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
∵C是AB的中点,
⌒
C
教学目标
新课讲解
某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？
探究活动
教学目标
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解：如图，连结OC，过A点作AB⊥OC
，OB=1.15
圆心距离地面2m
不能通过
教学目标
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解：如图，连结OC，过A点作AB⊥OC
AB=2m，OB=1.15m
高度不超过4m，宽为2.3m
教学目标
新课讲解
半圆拱的半径至少为2米
总结：
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
教学目标
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教学目标
新课讲解
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱顶高出水面2.4米. 现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过这座拱桥吗？
拓展提升
教学目标
新课讲解
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
AD=，
OD=OC-DC=R-2.4
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得，
即
由题设得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
即：OH=
∴DH=3.6-1.5=2.1>2
教学目标
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1．下列命题中，正确的是( )
A． 过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )
A．8 B．2 C．10 D．5
教学目标
巩固提升
C
D
3．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )
A． 1 cm B．2 cm C.cm D. cm
4．如图所示，AB，AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是( )
A.AB＝DB B.BD＝CD
C．BC⊥AD D．∠B＝∠C
︵
︵
︵
︵
教学目标
巩固提升
A
A
教学目标
巩固提升
4、如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径 ．
1.625 m
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教学目标
巩固提升
5、如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为 。
教学目标
巩固提升
6、已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB，CD之间的距离
解：当AB，CD如图(1)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC.
因为AB∥CD，OE⊥CD，所以OF⊥AB.
由垂径定理可知AF＝ AB＝×24＝12，
CE＝ C D＝ ×10＝5.
在Rt△CEO中，OE＝＝＝12，
同理，OF＝＝＝5，
故EF＝OE－ OF＝12－5＝7；
当AB，CD如图(2)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC，
可得OE＝12，OF＝5，
故EF＝OE＋OF＝12＋5＝17，
所以AB，CD之间的距离为17 cm或7 cm.
教学目标
巩固提升
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7、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图14所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
教学目标
巩固提升
解：不需要采取紧急措施．
理由如下∶
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，由勾股定理得OA2＝AC2＋OC2，
即R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34.
如图，连结OM，设DE＝x.
在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2＝ME2＋OE2，
即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2，
即x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
教学目标
巩固提升
教学目标
课堂小结
垂径定理推论
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
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