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人教版数学九年级上册3.3.1课时教学设计
课题 垂径定理 单元 3 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 ①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
能力目标 ①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
知识目标 ①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
重点 垂径定理及其应用
难点 垂径定理的证明.
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文 ( http: / / www.21cnjy.com )化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 ( http: / / www.21cnjy.com / )赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（ ( http: / / www.21cnjy.com )弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？ 学生阅读课件上赵州桥的文字 学生在教师的引导下，引发对问题的思考
讲授新课 出示问题在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么 ( http: / / www.21cnjy.com / )总结：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。注意：（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.（2）圆的对称轴有无数条.请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？ ( http: / / www.21cnjy.com / )点C与点D重合，CP与DP重合，＝，＝．你能将你的发现归纳成一般结论吗？垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明已知CD是直径，CD⊥AB，求证：CD平分AB，CD平分和 ( http: / / www.21cnjy.com / )分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.例1、已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. ( http: / / www.21cnjy.com / )练习： 如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2、一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离. ( http: / / www.21cnjy.com / )解: 作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=AB/2=0.5×16=8 由勾股定理得:答: 截面圆心O到水面的距离为6.圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.练一练：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长. ( http: / / www.21cnjy.com / )学以致用赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（ ( http: / / www.21cnjy.com )弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )总结垂径定理的几个基本图形 ( http: / / www.21cnjy.com / )垂径定理的几种应用情况 ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)求弦心距OC(2) 求半径或直径(3)求弦长AB(4)求弓高CD两个作为条件，剩余可以求出，此时需构造Rt ，利用勾股定理求解例3、已知：如图，在⊙O中，弦AB//CD.求证：＝ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生动手操作师生共同归纳学生动手操作师生共同总结结论，并试着证明。学生自主解答，老师巡视指导学生解答 学生根据例题的讲解进行解答此题师生共同总结垂径定理相关教师讲解思路，学生自行解答 引导学生独立思考，培养自主学习以及动手的能力让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生解决问题的能力和归纳的能力通过例题的解答，让学生真正掌握垂径定理的应用，同时培养学生变相思考问题的能力。师生共同归纳，培养学生发现问题，解决问题的能力归纳出此题的结论
巩固提升 1、下列说法正确的是（ ）直径是圆的对称轴 B. 经过圆心的直线是圆的对称轴C. 与圆相交的直线是圆的对称轴 D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴答案：B2、在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ）A. 3cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm答案：C3．如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / ) A. CE＝DE B. ＝ C. ∠BAC＝∠BAD D. AC＞AD答案：D4、已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是 .答案：60°5．如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知 OC=5，OP=3，则弦CD=__________. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：86．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：连结OA. 则由垂径定理，得AM=BM.∵CD=15 cm，∴OC=7.5cm，又OM：OC=3：5，∴OM=4.5cm.在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM= cm，即AB=12cm. 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认 ( http: / / www.21cnjy.com )真思考；发现解决问题的方法，把实际问题转化为数学问题解决；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 本节课有什么收获？谈一谈。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 1.定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.2. 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.3. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
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3.3.1垂径定理
数学浙教版 九年级上
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导入新课
同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
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导入新课
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
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教学目标
新课讲解
合作学习
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
注意：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.
（2）圆的对称轴有无数条.
O
C
D
教学目标
新课讲解
请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？
点C与点D重合，CP与DP重合，
BC＝BD，AC＝AD．
⌒
⌒
⌒
⌒
你能将你的发现归纳成一般结论吗？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
教学目标
新课讲解
垂径定理是圆中一个重要的结论，三种形式要相互转化，形成整体，才能运用自如.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB，
如图∵ CD是直径，
∴AM ＝ BM，
⌒
⌒
AC ＝BC
⌒
⌒
AD＝BD.
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明
已知CD是直径，CD⊥AB，
求证：CD平分AB，CD平分AB和ADB
⌒
⌒
教学目标
新课讲解
例1、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
⌒
E
1. 连结AB;
⌒
2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
作法:
∴点E就是所求AB的中点.
⌒
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.
⌒
练一练：
教学目标
新课讲解
如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点.
P
A
B
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教学目标
新课讲解
例2、一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离.
C
8
8
解: 作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=AB/2=0.5×16=8
由勾股定理得:
答: 截面圆心O到水面的距离为6.
教学目标
新课讲解
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
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教学目标
新课讲解
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA.
∵ CD是直径，OE⊥AB，
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 .
解得：x=13.
∴ OA=13.
∴ CD=2OA=26.
即直径CD的长为26.
∴ AE=AB=5.
练一练
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
教学目标
新课讲解
现在你会解决导入环节的问题了吗？
解：如下图所示：
AB为跨度37.4m，CD为拱高7.2m
设半径OC=OB=x
∴OD=OC-CD=x-7.2，BD=0.5AB=0.5×37.4=18.7
∴在RT△OBD中，OD +BD =OB
∴（x-7.2) +18.7 =x
∴x≈27.9m
教学目标
新课讲解
桥拱所在圆的半径为27.9m
总结
1、垂径定理的几个基本图形
教学目标
新课讲解
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2、垂径定理的几种应用情况
(1)求弦心距
OC
(2)求半径或直径
(3)求弦长
(4)求弓高
AB
CD
两个作为条件，剩余可以求出，此时需构造Rt ，利用勾股定理求解
教学目标
新课讲解
例3、已知：如图，在⊙O中，弦AB//CD.求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作OG⊥AB交AB于E，交CD于F
∵ AB//CD
∴ OG⊥CD
∴ AG=GB
⌒
⌒
∴ CG=GD
⌒
⌒
∵ AC=AG-CG，BD=BG-DG
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ AC=BC
⌒
⌒
在同一个圆中，如果两弦平行，那么它们所夹的弧相等
教学目标
新课讲解
在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？
答：在同一圆中，弦心距越长，所对应的弦就越短；弦心距越短，所对应的弦就越长。
练习
教学目标
新课讲解
2、在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ）
A. 3cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm
1、下列说法正确的是（ ）
直径是圆的对称轴
B. 经过圆心的直线是圆的对称轴
C. 与圆相交的直线是圆的对称轴
D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴
教学目标
巩固提升
B
C
3、如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是（ ）
A. CE＝DE B.BC=BD
C. ∠BAC＝∠BAD D. AC＞AD
⌒
⌒
教学目标
巩固提升
D
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教学目标
巩固提升
4、已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是 .
5、如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知 OC=5，OP=3，则弦CD=__________.
60°
8
教学目标
巩固提升
6、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长.
解：连结OA. 则由垂径定理，得AM=BM.
∵CD=15 cm，
∴OC=7.5cm，
又OM：OC=3：5，
∴OM=4.5cm.
在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM= cm，
即AB=12cm.
教学目标
课堂小结
垂径定理：
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
谢 谢！
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