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浙教版数学九年级上册3.4.2课时教学设计
课题 3.4.2圆心角 单元 3 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
能力目标 经历探索圆心角定理的逆定理的过程，会运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题。
知识目标 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质;
重点 关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的性质
难点 圆心角定理的应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾： ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 提出并找出条件与结论圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.提出问题：圆心角定理的逆定理能成立吗？探究在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. ( http: / / www.21cnjy.com / )探究1 相等的弦所对应的圆心角，弦心距，弧相等吗？已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD求证： ∠AOB= ∠COD 弧AB=弧CD OE=OF ( http: / / www.21cnjy.com / )证明：证明：∵AB=CD OA=OB=OC=OD在 △AOB和 △COD中∴ △AOB ≌ △COD ∴∠AOB= ∠COD∴弧AB=弧CD OE=OF探究2 相等的弧所对的圆心角,弦心距，弦相等吗？已知：弧AB=弧CD 求证： ∠AOB= ∠COD AB=CD OE=OF ( http: / / www.21cnjy.com / )证明：∵弧AB=弧CD∴∠AOB= ∠COD∴AB=CD OE=OF探究3 相等的弦心距所对的圆心角,弦,弧相等吗？ 已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD垂足为E、F，OE=OF求证： ∠AOB= ∠COD弧AB=弧CD AB=CD ( http: / / www.21cnjy.com / )证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD在Rt △AOE和Rt △COF中∴ Rt △AOE ≌ Rt △COF ∴ ∠AOE= ∠COF∵OA=OB OC=OD OE⊥AB，OF⊥CD∴ ∠ AOB=2∠AOE ∠COD=2∠COF∴∠AOB= ∠COD∴弧AB=弧CD AB=CD 结论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC，判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由. ( http: / / www.21cnjy.com / )解：四边形BDCO是菱形，理由如下：∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°∴∠BOD=180°-∠AOB=60°同理：∠COD=60°又∵OB=OD∴OB=OD=BD同理：OC=CD∴OB=OC=BD=CD∴四边形BDCO是菱形练一练：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.(1)求证：弧AC=弧BD；(2)能否求出BD的长？若能，求出BD的长；若不能，请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com / )例4、已知：如图, △ABC为等边三角形，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E. 求证： ( http: / / www.21cnjy.com / )练一练如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA，OB，OC.(1)∠AOB，∠COB，∠AOC分别为多少度？(2)若等边三角形ABC的边长为r，求⊙O的半径． ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生根据圆心角定理写出条件和结论，然后写出逆命题，判断其是否成立。学生思考，进行探索，并试着归纳学生归纳圆心角定理的推论根据问题，学生交流，思考，进行探索学生自主解答，老师巡视指导学生自主解答，教师适时的进行提示，并总结方法学生自主解答，老师巡视指导，并指导归纳 在教法设计上引导学生自主、合作的学习能力增强学生观察和归纳总结的能力。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引 ( http: / / www.21cnjy.com )导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生解决问题的能力通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高
巩固提升 1．下列说法中正确的是( )A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等答案：B2. 如图， C，D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有( )①AD＝CD＝BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③弧AD＝弧CD＝弧OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：A3.如图所示，AB为⊙O的一固定直径，它把 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，则点P( )A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分弧DB D．随C点的移动而移动答案：B ( http: / / www.21cnjy.com / )4、如图所示，AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥AB于点E，且OE＝2 cm，那么点O到CD的距离为__ cm. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案： 25.（1）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？（2）如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？答案：解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下： ( http: / / www.21cnjy.com / )∵AC，BD是⊙O的直径∴AO=OC=OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC=BD∴四边形ABCD是矩形当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形∵AC=BD=30cm∴AO=BO=15cm∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）6.如图所示，⊙O的两条弦AB，CD互相垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直且相交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，弧AC＝弧BD.求证：四边形OEPF是正方形． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：证明：∵弧AC＝弧BD，∴弧AC＋弧BC＝弧BD＋弧CB，即弧ACB＝弧CBD，∴弧AB＝弧CD.又∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，∴OE＝OF.∵AB⊥CD，∴∠EPF＝∠PFO＝∠PEO＝90°，∴四边形OEPF是正方形． 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生 ( http: / / www.21cnjy.com )认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 在同圆或等圆中,如果 ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
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3.4.2圆心角
数学浙教版 九年级上
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导入新课
圆
的
对
称
性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
（旋转不变性）
圆心角定理
复习回顾
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教学目标
新课讲解
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
那么逆命题能成立吗？
教学目标
新课讲解
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等吗？
探究
教学目标
新课讲解
探究1 相等的弦所对应的圆心角，弦心距，弧相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD
求证： ∠AOB= ∠COD
AB=CD OE=OF
⌒ ⌒
∴AB=CD OE=OF
⌒ ⌒
在 △AOB和 △COD中
证明：∵AB=CD OA=OB=OC=OD
∴ △AOB ≌ △COD
∴∠AOB= ∠COD
探究2 相等的弧所对的圆心角,弦心距，弦相等吗？
已知：AB=CD
求证： ∠AOB= ∠COD
AB=CD OE=OF
⌒ ⌒
教学目标
新课讲解
证明：∵AB=CD
∴∠AOB= ∠COD
∴AB=CD OE=OF
⌒ ⌒
(弧的度数和它所对圆心角的度数相等)
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教学目标
新课讲解
探究3 相等的弦心距所对的圆心角,弦,弧相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD
垂足为E、F，OE=OF
求证： ∠AOB= ∠COD AB=CD AB=CD
⌒ ⌒
证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD
在Rt △AOE和Rt △COF中
∴ Rt △AOE ≌ Rt △COF
∴ ∠AOE= ∠COF
∵OA=OB OC=OD OE⊥AB，OF⊥CD
∴ ∠ AOB=2∠AOE ∠COD=2∠COF
∴∠AOB= ∠COD
∴AB=CD AB=CD
⌒ ⌒
教学目标
新课讲解
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等.
教学目标
新课讲解
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
结论
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教学目标
新课讲解
例3、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC，判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由.
解：四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°
同理：∠COD=60°
又∵OB=OD
∴OB=OD=BD
同理：OC=CD
∴OB=OC=BD=CD
∴四边形BDCO是菱形
练一练：
教学目标
新课讲解
如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.
(1)求证：AC=BD；
(2)能否求出BD的长？若能，求出BD的长；若不能，请说明理由．
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教学目标
新课讲解
解：(1)证明：
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠COB＝∠2＋∠COB，
即∠DOB＝∠COA，
∴AC＝BD.
(2)∵AC＝BD，
∴BD＝AC.
∵AC＝3 cm，
∴BD＝3 cm.
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教学目标
新课讲解
例4、已知：如图, △ABC为等边三角形，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E. 求证：
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教学目标
新课讲解
解: 连结OD,OE
在等边三角形ABC中，∠A=60°
∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°
同理∠BOE=60°
∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60°
∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE
∴AD= DE=EB
教学目标
新课讲解
如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA，OB，OC.
(1)∠AOB，∠COB，∠AOC分别为多少度？
(2)若等边三角形ABC的边长为r，求⊙O的半径．
练一练
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解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝×360 °＝120°.
(2)过点O作OH⊥BC，
则∠HOC＝∠BOC＝60°，∠OCH＝30°.
又∵HC＝BC＝r，OH＝OC，
根据勾股定理得OH2＋HC2＝OC2，
∴OC＝r.
教学目标
新课讲解
2. 如图， C，D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有( )
①AD＝CD＝BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1．下列说法中正确的是( )
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
教学目标
巩固提升
B
A
3.如图所示，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，则点P( )
A．到CD的距离保持不变
B．位置不变
C．等分DB
D．随C点的移动而移动
⌒
教学目标
巩固提升
B
教学目标
巩固提升
4、如图所示，AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥AB于点E，且OE＝2 cm，那么点O到CD的距离为__ cm.
2
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教学目标
巩固提升
5.（1）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
（2）如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
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解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：
∵AC，BD是⊙O的直径
∴AO=OC=OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
∵AC=BD=30cm
∴AO=BO=15cm
∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）
∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
教学目标
巩固提升
6.如图所示，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直且相交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，AC＝BD.求证：四边形OEPF是正方形．
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
证明：∵AC＝BD，∴AC＋BC＝BD＋CB，
即ACB＝CBD，∴AB＝CD.
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
∴OE＝OF.∵AB⊥CD，
∴∠EPF＝∠PFO＝∠PEO＝90°，
∴四边形OEPF是正方形．
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教学目标
课堂小结
圆心角：
在同圆或等圆中,如果 ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
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