(共24张PPT)
3.4.1圆心角
数学浙教版 九年级上
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导入新课
墙上的图案用圆弧设计而成.
你能画出这个图案吗？怎么画？
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教学目标
新课讲解
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
教学目标
新课讲解
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合.
所以圆是中心对称图形.
圆心就是它的对称中心.
教学目标
新课讲解
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 ，
由此可以看出，点N'仍落在圆上.
把圆绕圆心旋转任意一个角度后，
仍与原来的圆重合.
这是圆的旋转不变性
·
O
N
N'
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．
如图中所示，∠NON '就是一个圆心角.
教学目标
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教学目标
新课讲解
判别下列各图中的角是不是圆心角。
练习
①②③不是
④是
教学目标
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练习
请你找出图中的圆心角：
∠AOB
教学目标
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如图 ， 在⊙O中，已知圆心角∠AOB 和圆心角 ∠COD相等.
探索两个相等的圆心角所对的两 段弧、两条弦之间有什么关系
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教学目标
新课讲解
已知：如图，在⊙O中， ∠AOB =∠COD.求证：AB=CD,AB=CD
证明：设∠AOC= α
∵ ∠AOB= ∠COD
∴ ∠BOD= ∠BOC+ ∠COD
= ∠BOC+ ∠AOB= α
将扇形AOB按顺时针方向旋转α角后，点A与点C重合，点B也与点D重合。
根据圆的旋转的性质，AB与CD重合，弦AB也与弦CD重合。所以AB=CD，AB=CD
A
B
C
D
o
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
教学目标
新课讲解
∵∠AOB=∠COD
∴ AB=CD AB=CD
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例1、用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
作法：１、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。
２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于
点Ｃ和点Ｄ。
点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分
A
B
C
D
分析：因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以要把圆四等分，只要把以圆心O为顶点的圆周角四等分，这只要作两条互相垂直的直径即可。
教学目标
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例2、求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
证明：∵ OE⊥AB， OF⊥CD
∵ AB=CD， ∴AE=CF
又∵ OA=OC
∴ Rt △AOE ≌Rt △COF
∴OE=OF
∴ AE=AB， ∴ CF=CD
已知：在 ⊙ O 中 ，∠ AOB＝∠COD，OE 是弦AB 的弦心距， OF是弦CD的弦心距，求证：OE=OF
教学目标
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归纳：
圆心角相等
所对弧相等
所对弦相等
所对的弦心距相等
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练习
已知：在 ⊙ O 中 ，∠ AOB＝∠COD，OE 是弦AB 的弦心距， OF是弦CD的弦心距，OE=2，求OF
解： ∵ ∠ AOB＝∠COD
∴OE=OF
∵OE=2
∴OF=2
教学目标
新课讲解
如果以⊙O的圆心O为端点作 360 条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把 1°圆心角所对的弧叫做1°的弧. 这样， n°的圆心角所对的弧就是n°的弧
弧的定义
性质: 弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
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教学目标
新课讲解
注意：弧既有度数又有长度!
问题：度数相等的弧相等吗 长度相等的弧相等吗
2、同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )
A. 3:2 B. 2 C. D. 5：4
1.下列说法中，正确的是( )
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等
教学目标
巩固提升
B
C
3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )
A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0
4.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_________.
教学目标
巩固提升
D
90°
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教学目标
巩固提升
5.如图所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.
证明：如图，分别连结OA、OB.
∵OA=OB，
∴∠A=∠B.
又∵AC=BD，
∴△AOC≌△B OD.
∴OC=OD.
教学目标
巩固提升
6、如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.
试证:弧AE=弧BF.
证明：
∵ OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC.
∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.
∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，
即∠AOC＝∠BOD，
即∠AOE＝∠BOF.
∴弧AE=弧BF.
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课堂小结
圆心角
1. 圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
2. 圆的旋转不变性
3. 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等.
4. 弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
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谢 谢！
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浙教版数学九年级上册3.4.1课时教学设计
课题 3.4.1圆心角 单元 3 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
能力目标 经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程。
知识目标 理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）
重点 圆心角定理
难点 圆心角定理的应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题：墙上的图案用圆弧设计而成.你能画出这个图案吗？怎么画？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 圆绕圆心旋转 ( http: / / www.21cnjy.com / )圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合.所以圆是中心对称图形.圆心就是它的对称中心.把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，由此可以看出，点N'仍落在圆上. ( http: / / www.21cnjy.com / )把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合.这是圆的旋转不变性定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图中所示，∠NON '就是一个圆心角. ( http: / / www.21cnjy.com / )练习判别下列各图中的角是不是圆心角。 ( http: / / www.21cnjy.com / )请你找出图中的圆心角： ( http: / / www.21cnjy.com / )如图 ， 在⊙O中，已知圆心角∠AOB 和圆心角 ∠COD相等. 探索两个相等的圆心角所对的两 段弧、两条弦之间有什么关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )已知：如图，在⊙O中， ∠AOB =∠COD.求证：弧AB=弧CD,AB=CD ( http: / / www.21cnjy.com / )证明：设∠AOC= α∵ ∠AOB= ∠COD∴ ∠BOD= ∠BOC+ ∠COD = ∠BOC+ ∠AOB= α将扇形AOB按顺时针方向旋转α角后，点A与点C重合，点B也与点D重合。根据圆的旋转的性质，弧AB与弧CD重合，弦AB也与弦CD重合。所以弧AB=弧CD，AB=CD在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．∵∠AOB=∠COD ∴ 弧AB=弧CD AB=CD ( http: / / www.21cnjy.com / )例1、用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分． ( http: / / www.21cnjy.com / )分析：因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以要把圆四等分，只要把以圆心O为顶点的圆周角四等分，这只要作两条互相垂直的直径即可。作法：１、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。 ２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于 点Ｃ和点Ｄ。 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分 例2、求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.已知：在 ⊙ O 中 ，∠ AOB＝∠COD，OE 是弦AB 的弦心距， OF是弦CD的弦心距，求证：OE=OF ( http: / / www.21cnjy.com / )归纳： ( http: / / www.21cnjy.com / )练习已知：在 ⊙ O 中 ，∠ AOB＝∠COD，OE 是弦AB 的弦心距， OF是弦CD的弦心距，OE=2，求OF ( http: / / www.21cnjy.com / )弧的定义如果以⊙O的圆心O为端点作 360 条射 ( http: / / www.21cnjy.com )线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把 1°圆心角所对的弧叫做1°的弧. 这样， n°的圆心角所对的弧就是n°的弧 ( http: / / www.21cnjy.com / )性质: 弧的度数和它所对圆心角的度数相等.问题：度数相等的弧相等吗 长度相等的弧相等吗 ( http: / / www.21cnjy.com / )注意：弧既有度数又有长度! 看演示，圆绕圆心旋转，并总结学生思考，进行探索，并试着归纳出示圆心角的定义，并练习根据问题，学生交流，思考，进行探索学生自主解答，老师巡视指导归纳圆心角定理 学生自主解答，教师适时的进行提示，并总结方法学生自主解答，老师巡视指导，并指导归纳看课本，阅读弧的定义归纳弧的性质并提出问题 在教法设计上引导学生自主、合作的学习能力增强学生观察和归纳总结的能力。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生解决问题的能力和归纳的能力通过例题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高。培养学生自主解决问题以及总结方法的能力。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高。培养学生自主解决问题的能力。
巩固提升 1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等答案：B2．同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )A. 3:2 B. 2 C. D. 5：4 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：C3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0答案：D4．一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_________.答案： 90°5.如图所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：证明：如图，分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.又∵AC=BD，∴△AOC≌△B OD.∴OC=OD. ( http: / / www.21cnjy.com / )6、如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的 ( http: / / www.21cnjy.com )弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：证明：∵ OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF. 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生 ( http: / / www.21cnjy.com )认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.圆的旋转不变性圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等.弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
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