6.7 角的和差一课一练

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6.7角的和差一课一练
姓名：__________班级：__________学号：__________
一．选择题
1．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（　　）
A．90° B．120° C．160° D．180°
2．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的大小为（　　）
A．22° B．34° C．56° D．90°
3．α，β都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，（α+β）的结果依次为50°，26°，72°，90°，其中有正确的结果，则计算正确的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．已知∠AOB=3∠BOC，若∠BOC=30°，则∠AOC等于（　　）
A．120° B．120°或60° C．30° D．30°或90°
5．用一副三角板的内角（一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°），可以画出大于0°且小于160°的不同角度的角共有（　　）
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
二．填空题
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°，则∠EOF的度数为　 　．
7．∠α+∠β=90°，且∠α=2∠β，则∠α=　 　，∠β=　 　．
8．已知∠AOB=80°，以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°，则∠AOC的度数为　 　．
9．如图，已知∠AOC=∠BOD=90°且∠BOC=50°，则∠AOD=　 　．
10．已知射线OA，由O点再引射线OB，OC，使∠AOB=60°，∠BOC=30°，则∠AOC的度数是　 　．
三．解答题
11．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数．
12．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？
13．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当t为何值时，EF平分∠AOB？
②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题
1．【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．
故选D．
　
2．【分析】先根据∠COE是直角，∠COF=34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
解：∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°﹣34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°﹣34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选A．
　
3． 【分析】本题是对钝角定义的考查，求解时可根据定义求得结果．
解：∵α，β都是钝角，所以大于90°，小于180°，
∴180°＜（α+β）＜360°，
∴30°＜（α+β）＜60°，则只有50°符合要求．
故选A．
　
4．【分析】此题需要分类讨论，共两种情况．先作图后计算．
解：∵∠BOC=30°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠AOB=3×30°=90°
（1）当OC在∠AOB的外侧时，
∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120度；
（2）当OC在∠AOB的内侧时，
∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=90°﹣30°=60度．
故选：B．
　
5． 【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法．
解：比如：画个75°的角，先用30°在纸上画出来，再45°角叠加就画出了75°角了；
同理可画出30°、45°、60°、90°、15°、105°、120°、135°、150°的角．
（因为45°﹣30°=15°、45°+30°=75°、90°+45°=135°、90°+60°=150°、45°+30°=75°、60°+45°=105°）
故选C．
　
二．填空题
6．【分析】根据已知条件“∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°”和平角的定义可以求得∠AOF=∠DOF=∠AOD=62°，∠DOE=∠BOE=28°；然后根据图形求得∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
解：∵∠DOE=∠BOE，∠BOE=28°，
∴∠DOB=2∠BOE=56°；
又∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=124°；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠DOF=∠AOD=62°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
故答案是：90°．
　
7．【分析】根据题意∠α+∠β=90°，且∠α=2∠β，列出二元一次方程组，解得∠α、∠β的值．
解：∵∠α+∠β=90°，且∠α=2∠β，
∴，
解得∠α=60°，∠β=30°，
故答案为60°、30°．
　
8．【分析】根据∠BOC的位置，当∠BOC的一边OC在∠AOB外部时，两角相加，当∠BOC的一边OC在∠AOB内部时，两角相减即可．
解：以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°有两种情况：
当∠BOC的一边OC在∠AOB外部时，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+20°=100°；
当∠BOC的一边OC在∠AOB内部时，则∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=80°﹣20°=60°．
故答案是：60°或100°．
　
9．【分析】利用角的和差关系计算，关键看到∠AOC+∠BOD=∠AOD+∠BOC，从而代数可求解．
解：∠AOD=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=90°+90°﹣50°=130°．
故答案为：130°．
　
10．【分析】本题是角的计算中的多解题，出现多解得原因在于三条射线OA，OB，OC的位置不能确定，求解时应分情况讨论．
解：当射线OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=60°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣30°=30°
当射线OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=60°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+30°=90°．
∴∠AOC=30°或90°．
故填30°或90°．
　
三．解答题
11．【分析】求出∠BOC，求出∠AOB，根据角平分线求出∠AOD，代入∠COD=∠AOD﹣∠AOC求出即可．
解：∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=40°，
∴∠BOC=2×40°=80°，
∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=80°+40°=120°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=×120°=60°，
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=60°﹣40°=20°．
　
12．【分析】（1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；
（2）先求得∠AOC=α+30°，由角平分线的定义可知∠MOC=α+15°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；
（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分线的定义可知∠MOC=β+15°，∠CON=β，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；
（4）根据计算结果找出其中的规律即可．
解：（1）∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=90°+30=120°．
由角平分线的性质可知：∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=∠BOC=15°．
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，
∴∠MON=60°﹣15°=45°；
（2）∠AOB=α，∠BOC=30°，
∴∠AOC=α+30°．
由角平分线的性质可知：∠MOC=∠AOC=α+15°，∠CON=∠BOC=15°．
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，
∴∠MON=α+15°﹣15°=α．
（3）∠AOB=90°，∠BOC=β，
∴∠AOC=β+90°．
由角平分线的性质可知：∠MOC=∠AOC=β+45°，∠CON=∠BOC=β．
∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，
∴∠MON=β+45°﹣β=45°．
（4）根据（1）、（2）、（3）可知∠MON=∠BOA，与∠BOC的大小无关．
　
13．【分析】（1）根据：角度=速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．
（2）①由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．
②通过计算分析，OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．
解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，
∴90°﹣3t°=75°，
解得：t=5．
此时∠MOA=3°×5=15°=∠MOE，
∴此时OA平分∠MOE．
（2）①OE平分∠AOB，
依题意有30°+9t﹣3t=90°÷2，
解得t=2.5；
OF平分∠AOB，
依题意有30°+9t﹣3t=180°+90°÷2，
解得t=32.5．
故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB
②OB在MN上面，
依题意有180°﹣30°﹣9t=（90°﹣3t）÷2，
解得t=14；
OB在MN下面，
依题意有9t﹣（360°﹣30°）=（3t﹣90°）÷2，
解得t=38．
故EF能平分∠NOB，t的值为14s或38s．
　
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