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6.8 余角和补角一课一练
姓名:__________班级:__________学号:__________
一.选择题
1.如果∠a=36°,那么∠a的余角等于( )
A.54° B.64° C.144° D.134°
2.如图,将一副三角尺按不同位置摆放,摆放方式中∠α与∠β互余的是( )
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3.如图,AB、CD相交于点O,EO⊥AB,则∠1与∠2的关系是( )
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A.相等 B.互余 C.互补 D.对顶角
4.若∠A与∠B互为余角,则∠A+∠B=( )
A.180° B.120° C.90° D.60°
5.如果∠α和∠β互补,且∠α>∠β,则下列表示∠β的余角的式子中:①90°﹣∠β;②∠α﹣90°;③ ( http: / / www.21cnjy.com )(∠α+∠β);④ ( http: / / www.21cnjy.com )(∠α﹣∠β).正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二.填空题
6.若∠α补角是∠α余角的3倍,则∠α= .
7.一个角的余角比它的补角的 ( http: / / www.21cnjy.com )还少20°,则这个角的大小是 .
8.如图,将一副三角尺的直角顶点重合,摆放在桌面上,若∠BOC=35°,则∠AOD= °.
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9.48°15′36〞的余角是 ,补角是 .
10.如图,O是直线AB上的一点,∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )D=120°,∠AOC=90°,OE平分∠BOD,则图中小于平角的角共有 个,其中互余的角共有 对.21世纪教育网版权所有
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三.解答题
11.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角.
12.如图,O是直线AB上一点,OC为任一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)指出图中∠AOD与∠BOE的补角;
(2)试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系.
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13.如图,点O为直线AB上一点,过点O作 ( http: / / www.21cnjy.com )射线OC,使∠BOC=110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN=30°),一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
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(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数.21教育网
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速 ( http: / / www.21cnjy.com )度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为 (直接写出结果).
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC的数量关系,并说明理由.21·cn·jy·com
参考答案与试题解析
一.选择题
1.【分析】根据余角的和等于90°列式计算即可求解.
解:∠a的余角=90°﹣∠α=90°﹣36°=54°.
故选A.
2.【分析】根据图形,结合互余的定义判断即可.
解:A、∠α与∠β不互余,故本选项错误;
B、∠α与∠β不互余,故本选项错误;
C、∠α与∠β互余,故本选项正确;
D、∠α与∠β不互余,∠α和∠β互补,故本选项错误;
故选C.
3. 【分析】根据EO⊥AB,可知∠EOB=90°,然后根据平角为180°,可求得∠1+∠2=90°,即可得出∠1和∠2的关系.www.21-cn-jy.com
解:∵EO⊥AB,
∴∠EOB=90°,
∵∠1+∠BOE+∠2=180°,
∴∠1+∠2=90°,
即∠1和∠2互余.
故选B.
4.【分析】根据余角的定义,可得答案.
解:∵∠A与∠B互为余角,
∴∠A+∠B=90°,
故选:C.
5. 【分析】根据角的性质 ( http: / / www.21cnjy.com ),互补两角之和为180°,互余两角之和为90°,可将,①②③④中的式子化为含有∠α+∠β的式子,再将∠α+∠β=180°代入即可解出此题.
解:∵∠α和∠β互补,
∴∠α+∠β=180°.因为90°﹣∠β+∠β=90°,所以①正确;
又∠α﹣90°+∠β=∠α+∠β﹣90°=180°﹣90°=90°,②也正确;
( http: / / www.21cnjy.com )(∠α+∠β)+∠β= ( http: / / www.21cnjy.com )×180°+∠β=90°+∠β≠90°,所以③错误;
( http: / / www.21cnjy.com )(∠α﹣∠β)+∠β= ( http: / / www.21cnjy.com )(∠α+∠β)= ( http: / / www.21cnjy.com )×180°=90°,所以④正确.
综上可知,①②④均正确.
故选B.
二.填空题
6.【分析】分别表示出∠α补角和∠α余角,然后根据题目所给的等量关系,列方程求出∠α的度数.
解:∠α的补角=180°﹣α,
∠α的余角=90°﹣α,
则有:180°﹣α=3(90°﹣α),
解得:α=45°.
故答案为:45°.
7.【分析】首先根据余角与补角的定义, ( http: / / www.21cnjy.com )设这个角为x,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.2·1·c·n·j·y
解:设这个角为x,则它的余角为(90°﹣x),补角为(180°﹣x),
根据题意可,得90°﹣x= ( http: / / www.21cnjy.com )(180°﹣x)﹣20°,
解得x=75°,
故答案为75°.
8. 【分析】由△AOB与△COD ( http: / / www.21cnjy.com )为直角三角形得到∠AOB=∠COD=90°,则∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣35°=55°,然后利用角与角之间的和差关系即可得到∠AOD的度数.
解:∵∠AOB=∠COD=90°,∠BOC=35°,
∴∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣35°=55°,
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+55°=145°.
故答案为:145.
9.【分析】本题考查互余的概念,和为90度的两个角互为余角.
解:根据定义,48°15′36〞的余角90°﹣48°15′36〞=41°44′24〞,
补角的度数是180°﹣48°15′36°=131°44′24.
故填41°44′24〞,131°44′24.
10.【分析】利用 ( http: / / www.21cnjy.com )可求总共的角的个数,减去一个平角,就是所求;根据余角的概念可找出所有的数目.
解:图形中共有5条射线,所以共有 ( http: / / www.21cnjy.com )=10个角,除去一个180°的平角,
所以图中小于平角的角共有9个.
其中互余的角有:∠COD与∠DOB ( http: / / www.21cnjy.com ),∠COE与∠BOE,∠COE与∠DOE,∠COD与∠COE,∠DOE与∠BOD,∠BOE与∠BOD共6对.【来源:21·世纪·教育·网】
故答案为9、6.
三.解答题
11.【分析】先设出这个角,可表示出其补角和余角,根据题意我们可列出等式,解这个等式即可得出这个角的度数.21·世纪*教育网
解:设这个角为x°,则它的余角为90°﹣x°,补角为180°﹣x°,
根据题意,得180°﹣x°+10°=3×(90°﹣x°),
解得x=40,
答:这个角为40度.
12.【分析】解此类题目关键在于:结合图形, ( http: / / www.21cnjy.com )根据余角、补角的定义,有时还需考虑角平分线的性质,分析并找到角与角之间的关系,再进行计算得出答案.21cnjy.com
解:(1)与∠AOD互补的角∠BOD、∠COD;
与∠BOE互补的角∠AOE、∠COE.
(2)∠COD+∠COE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=90度.(提示:因为OD平分∠BOC,所以∠COD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC).
又OE平分∠AOC,所以∠COE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOC,
所以∠COD+∠COE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOC= ( http: / / www.21cnjy.com )(∠BOC+∠AOC),
所以∠COD+∠COE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=90°.
13. 【分析】(1)根据角平分线的定义以及直角的定义,即可求得∠BON的度数;
(2)分两种情况:ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC,分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可;www-2-1-cnjy-com
(3)根据∠MON=90° ( http: / / www.21cnjy.com ),∠AOC=70°,分别求得∠AOM=90°﹣∠AON,∠NOC=70°﹣∠AON,再根据∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(70°﹣∠AON)进行计算,即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系.2-1-c-n-j-y
解:(1)如图2,∵OM平分∠BOC,
∴∠MOC=∠MOB,
又∵∠BOC=110°,
∴∠MOB=55°,
∵∠MON=90°,
∴∠BON=∠MON﹣∠MOB=35°;
(2)分两种情况:
①如图2,∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°,
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时,∠AOD=∠COD=35°,
∴∠BON=35°,∠BOM=55°,
即逆时针旋转的角度为55°,
由题意得,5t=55°
解得t=11(s);
②如图3,当NO平分∠AOC时,∠NOA=35°,
∴∠AOM=55°,
即逆时针旋转的角度为:180°+55°=235°,
由题意得,5t=235°,
解得t=47(s),
综上所述,t=11s或47s时,直线ON恰好平分锐角∠AOC;
故答案为:11或47;
(3)∠AOM﹣∠NOC=20°.
理由:∵∠MON=90°,∠AOC=70°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON,∠NOC=70°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(70°﹣∠AON)=20°,
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为:∠AOM﹣∠NOC=20°.
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