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3.5.2圆周角
数学浙教版 九年级上
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导入新课
复习回顾
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = ∠AOC.
教学目标
新课讲解
如图, 在⊙O中, 问：∠B、∠D、∠E的大小有什么关系 为什么
∠B = ∠D= ∠E
●O
B
A
C
D
E
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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教学目标
新课讲解
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相等的角
用于找相等的弧
教学目标
新课讲解
练习
如图，四边形ABCD内接于⊙O．找出图中分别与∠1、 ∠2、∠3相等的角．
解：∠1=∠DBA
∠2=∠CAB
∠3=∠CBD
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教学目标
新课讲解
例2 已知: 如图，三角形ABC内接于圆, ∠ACB=2∠ABC,点D平分弧AB. 求证: AC=BD
A
B
C
D
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教学目标
新课讲解
证明: 连接CD
（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）
∴ ∠ABC=∠BCD
（同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等）
∵ AD=BD
(
(
∴ AC=BD
(
(
∴ AC=BD
A
B
C
D
教学目标
新课讲解
如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.
(1)求∠B的大小；
(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．
练习
教学目标
新课讲解
解：(1)∵∠CAB与∠CDB是弧BC所对的圆周角，∠CAB＝40°
∴∠CAB＝∠CDB＝40°
又∵∠APD＝65°
∴∠APD－∠CDB＝∠B
即∠B＝65°－40°＝25°
(2)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
过O作OE⊥BD于点E，
∵ O是AB的中点，AD=6
∴OE＝AD＝3
E
教学目标
新课讲解
例3、如图 ，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝ 50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
分析 由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎 样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角 （∠ASB）去考虑.船与暗礁区的相对位置可以通过 ∠ASB与∠ACB的大小关系来确定,请你自己写出求解过程.
教学目标
新课讲解
解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．
练一练：
教学目标
新课讲解
如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．
F
O
D
A
B
C
E
解：连接CF．
∵ ∠BFC是△DFC的一个外角，
∴ ∠BFC >∠BDC ．
∵ ∠BAC＝∠BFC （同弧
所对的圆周角相等）．
∴ ∠BAC >∠BDC．
如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P，Q，M在直线AB同一侧。
求证：(1) ∠APB>∠AMB (2) ∠AQB<∠AMB
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
总结：某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角
证明：(1)∵∠AP’B=∠AMB
∠AP’B<∠APB
∴ ∠APB> ∠AMB
(2)∵∠AQ’B=∠AMB
∠AP’B>∠AQB
∴ ∠AQB<∠AMB
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判断点与圆的位置关系的另一种方法
在弦所在直线同侧的前提下，
当点到弦的两端的张角大于弦所对的圆周角时，点在圆内；
当张角等于弦所对的圆周角时，点在圆上；
当张角小于弦所对的圆周角时，点在圆外。
拓展延伸
1．下列命题是假命题的是( )
A．同弧或等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．两条平行线间的距离处处相等
D．正方形的两条对角线互相垂直平分
2.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝20°，那么∠BAD＝( )
A．45° B．60° C．3 0° D．20°
教学目标
巩固提升
B
D
3.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于( )
A．116° B．32° C．5 8° D．64°
教学目标
巩固提升
B
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教学目标
巩固提升
4、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝ ．
26°
教学目标
巩固提升
5.如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD＝CD.
解：(1)∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠C.
又∵∠BAC＝45°，
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠BAC)＝67.5°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠A＝45°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.
教学目标
巩固提升
(2)证明：连结AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
6.如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
教学目标
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教学目标
巩固提升
(1)证明：∵∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形．
(2)如图，连结OB，OC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.
∵OB⊥OC，OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝90°－∠BOD＝30°，
∴OD＝OB＝×8＝4.
教学目标
课堂小结
圆周角：
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
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浙教版数学九年级上册3.5.2课时教学设计
课题 圆周角 单元 3 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
能力目标 进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力
知识目标 掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明
重点 圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征
难点 发现并证明圆周角定理
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即 ∠ABC = ∠AOC. ( http: / / www.21cnjy.com / )在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，那么等弧所对的圆周角相等吗？相等的圆周角所对的弧相等吗？ 学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 如图, 在⊙O中, 问：∠B、∠D、∠E的大小有什么关系 为什么 ( http: / / www.21cnjy.com / )圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.练习如图，四边形ABCD内接于⊙O．找出图中分别与∠1、 ∠2、∠3相等的角． ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 已知: 如图，三角形ABC内接于圆, ∠ACB=2∠ABC,点D平分弧AB. 求证: AC=BD ( http: / / www.21cnjy.com / )练习如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.(1)求∠B的大小；(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离． ( http: / / www.21cnjy.com / )例3、如图 ，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝ 50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？ ( http: / / www.21cnjy.com / )练一练：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com / )如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P，Q，M在直线AB同一侧。求证：(1) ∠APB>∠AMB (2) ∠AQB<∠AMB ( http: / / www.21cnjy.com / )总结：某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角判断点与圆的位置关系的另一种方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )在弦所在直线同侧的前提下，当点到弦的两端的张角大于弦所对的圆周角时，点在圆内；当张角等于弦所对的圆周角时，点在圆上；当张角小于弦所对的圆周角时，点在圆外。 学生探索，得出三个角之间的关系。然后得出圆周角定理的推论学生自主解答，老师巡视指导学生自主解答，教师适时的进行提示，并总结方法学生思考，进行探索，并试着解答学生交流，思考，进行解答根据问题，学生交流，思考，进行探索学生归纳 在教法设计上引导学生自主、合作的学习能力增强学生观察和解决问题的能力。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引 ( http: / / www.21cnjy.com )导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己解决问题，检验知识的掌握情况。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高培养学生培养学生独立学习和解决问题的能力
巩固提升 1．下列命题是假命题的是( )A．同弧或等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．两条平行线间的距离处处相等D．正方形的两条对角线互相垂直平分答案：B2.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝20°，那么∠BAD＝( )A．45° B．60° C．3 0° D．20° ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：D3.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于( ) ( http: / / www.21cnjy.com / )A．116° B．32° C．5 8° D．64°答案：B4、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案： 26°5.如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD＝CD. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：(1)∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠C.又∵∠BAC＝45°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠BAC)＝67.5°.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠A＝45°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.(2)证明：连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.6.如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：(1)证明：∵∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形．(2)如图，连结OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB⊥OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠BOC＝60°，∴∠OBD＝90°－∠BOD＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解 ( http: / / www.21cnjy.com )决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
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