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浙教版数学九年级上册3.5.1课时教学设计
课题 圆周角 单元 3 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
能力目标 能灵活运用圆周角的性质解决问题。
知识目标 理解圆周角概念,理解圆周用与圆心角的异同;掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征;
重点 圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征
难点 发现并证明圆周角定理
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 ∠AOB叫做圆心角，那么∠APC应该叫什么角呢？观察∠APC有什么特点 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生解答问题 引发思考为新知讲解做好铺垫
讲授新课 圆周角定义圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 角的顶点在圆上.角的两边都与圆相交.练习探究1.下列各图中，哪一个角是圆周角？( ) ( http: / / www.21cnjy.com / )2.图中有几个圆周角？( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ( http: / / www.21cnjy.com / )探究1：如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？ ( http: / / www.21cnjy.com / )探究2 当点A在弧BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？画一画 ( http: / / www.21cnjy.com / )探究3：量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想 并证明 ( http: / / www.21cnjy.com / )猜想：∠BAC＝1/2∠BOC一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.证明猜想已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角求证：∠BAC=∠BOC.证明：分三种情况进行证明圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。如图,在⊙O中,∠C,∠D,∠E的大小有什么关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )结论：同弧所对的圆周角相等！ 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗 ( http: / / www.21cnjy.com / )因为BC是直径，则半圆弧BAC所对的圆心角是平角∠BOC，根据圆周角定理，半圆弧BAC所对的圆周角∠A等于∠BOC的一半，即∠A＝90°如图，圆周角∠BAC＝90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？ ( http: / / www.21cnjy.com / )因为∠BAC 是直角， 则∠BOC＝180°，所以点B， O， C在一条直线上，BC是⊙O的直径．归纳：圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．例1、如图 ，等腰三 角形ABC 的顶角 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC 为 50°，以 腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求弧BD，弧DE和弧AE的度数. ( http: / / www.21cnjy.com / )练习：如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD. 求∠D的度数． ( http: / / www.21cnjy.com / )例2：如图，在⊙O中，弧DE=2弧BC， ∠EOD=64 °，求∠A的度数。 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生给圆周角下定义并进行练习巩固。学生思考，进行探索，并试着归纳学生思考进行分类证明，最后得出圆周角定理.根据问题，学生交流，思考，进行探索学生归纳圆周角定理的推论学生自主解答，老师巡视指导学生自主解答，教师适时的进行提示，并总结方法学生自主解答，老师巡视指导，并指导归纳 在教法设计上引导学生自主、合作的学习能力增强学生观察和归纳总结的能力。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己探索问题，检验知识的掌握情况。培养学生培养学生独立学习和解决问题的能力通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高
巩固提升 1、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（ ）A．10° B．20° C．40° D．80° ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：C2. 如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）A．156° B．78° C．39° D．12° ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：C3.如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=______度． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：524、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是______． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案： 90°5.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：证明：∵∠A 和∠BCD所对应的弧总长为一个圆周.∴∠A +∠BCD=180°BC=BE ∴ ∠BCE=∠BEC∠BCE+∠BCD=180=∠A +∠BCD∴∠BEC=∠A ∴ △ADE是等腰三角形6、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：(1)证明：∵ AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90 °.∵AC ⊥BC，又∵DC=BC∴AD＝AB.∴∠B＝∠D，(2)解：设BC=x，则AC=x-2在Rt△ABC中，∴.解得：，(舍去)∵∠B=∠E，∠B=∠D∴∠D＝∠E.∴CD＝CE，∵CD=CB∴CE=CB=1+ 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解 ( http: / / www.21cnjy.com )决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 1、圆周角的定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角.2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半3、圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
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3.5.1圆周角
数学浙教版 九年级上
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导入新课
∠AOB叫做圆心角，那么∠APC应该叫什么角呢？
观察∠APC有什么特点
顶点在圆上,并且两边都和圆相交
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教学目标
新课讲解
圆周角定义
.
O
B
C
A
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
教学目标
新课讲解
1.下列各图中，哪一个角是圆周角？( )
B
2.图中有几个圆周角？( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
C
练习
教学目标
新课讲解
探究1：如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？
∠BOC＝2∠BAC
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探究2 当点A在弧BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？画一画
O在∠BAC内
O在∠BAC边上
O在∠BAC外
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
猜想：∠BAC＝∠BOC
即：∠BOC＝2∠BAC
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
探究3：量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想 并证明
发现：∠BAC的度数保持不变，等于其对应圆心角的一半
教学目标
新课讲解
已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是BC所对的圆心角和圆周角
求证：∠BAC= ∠BOC
⌒
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
证明猜想
教学目标
新课讲解
证明：（1）当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时
∵OA=OC
∴∠BAC=∠C
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠C+∠BAC
=2∠BAC
∴∠BAC=∠BOC
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教学目标
新课讲解
(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时,过点A作直径AD
由(1)得∠BAD=∠BOD
∠DAC=∠DOC
∴ ∠BAD+ ∠DAC=(∠BOD + ∠DOC)
即: ∠BAC=∠BOC
教学目标
新课讲解
(3)当圆心O在∠BAC的外部时,过点A作直径AD,则由(1)得
∠DAC=∠DOC ∠DAB=∠DOB
∴ ∠DAC--∠DAB=(∠DOC -- ∠DOB)
即:∠BAC=∠BOC
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
∵∠BAC和∠BOC都对BC
∴∠BAC= ∠BOC
⌒
教学目标
新课讲解
如图,在⊙O中,∠C,∠D,∠E的大小有什么关系
●O
C
A
B
D
E
同弧所对的圆周角相等！
∠C =∠D=∠E
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
因为BC是直径，则半圆弧BAC所对的圆心角是平角∠BOC
根据圆周角定理，半圆弧BAC所对的圆周角∠A等于∠BOC的一半，即∠A＝90°
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教学目标
新课讲解
如图，圆周角∠BAC＝90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
因为∠BAC 是直角，
则∠BOC＝180°，
所以点B， O， C在一条直线上，BC是⊙O的直径
教学目标
新课讲解
归纳：
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
90°的圆周角所对的弦是直径．
教学目标
新课讲解
例1、如图 ，等腰三 角形ABC 的顶角∠BAC 为 50°，以 腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数.
⌒
⌒
⌒
教学目标
新课讲解
解： 连结BE，AD
∵ AB是圆的直径
∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)
∵∠BAC=50°
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°
又∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=
∠BAD=∠CAD=BAC=50°=25°
由圆周角定理，得BD2∠BAD=2×25°=50°
DE2∠CAD=2×25°=50°,AE=2∠ABE=2×40°=80°
⌒
⌒
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教学目标
新课讲解
如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD. 求∠D的度数．
练习：
教学目标
新课讲解
解：连结BD.
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD
又∵CF⊥AD
∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.
又∵∠BDC＝∠BOC, ∴∠C＝∠BOC.
∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°
∴∠C＋∠BOC＝90°
∴∠C＝30°
∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.
教学目标
新课讲解
例2：如图，在⊙O中，DE=2BC， ∠EOD=64 °，求∠A的度数。
⌒
⌒
解：连结CD
∵ ∠EOD=64 ° DE=2BC
∴弧BC所对的圆心角=32°
∴∠CDB=16°
∵∠EOD=64°
∴∠ECD=32°
∴∠A=∠DCE-∠BDC=16°
⌒
⌒
教学目标
新课讲解
2、如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A．156° B．78° C．39° D．12°
1、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（ ）
A．10° B．20° C．40° D．80°
教学目标
巩固提升
C
C
3.如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=______度．
4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是______．
教学目标
巩固提升
52
90°
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教学目标
巩固提升
5.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
证明：
∵∠A 和∠BCD所对应的弧总长为一个圆周.
∴∠A +∠BCD=180°
BC=BE ∴ ∠BCE=∠BEC
∠BCE+∠BCD=180=∠A +∠BCD
∴∠BEC=∠A
∴ △ADE是等腰三角形
教学目标
巩固提升
6、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．
(1)证明：
∵ AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90 °.
∵AC ⊥BC，
又∵DC=BC
∴AD＝AB.
∴∠B＝∠D，
教学目标
巩固提升
(2)解：设BC=x，则AC=x-2
在Rt△ABC中，
∴.
解得：，(舍去)
∵∠B=∠E，∠B=∠D
∴∠D＝∠E.
∴CD＝CE，
∵CD=CB
∴CE=CB=1+
教学目标
课堂小结
圆周角
1、圆周角的定义：
2、圆周角定理：
顶点在圆上，两边都与圆相交的角.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3、圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
谢 谢！
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