(共27张PPT)
3.6圆内接四边形
数学浙教版 九年级上
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导入新课
怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能地大？
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教学目标
新课讲解
1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
不在同一条直线上的三点确定一个圆．
想一想
2. 什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
教学目标
新课讲解
3．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
O
C
A
B
D
O
C
A
B
D
O
C
A
B
D
不一定
如图：
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教学目标
新课讲解
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．
定义
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教学目标
新课讲解
思考:
（1）任意三角形都有外接圆吗？
（2）任意四边形都有外接圆吗
注：一个三角形一定有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆
教学目标
新课讲解
任意画一个圆，在圆上依次取四个点A、B、C、D，连接AB、BC、CD、DA，用量角器量出一组对角的度数之和，你发现了什么？
合作学习
发现：每一组对角相加等于180°，即对角互补。
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探究：
教学目标
新课讲解
已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
同理∠B＋∠D＝180°
BAD + BCD=360°
证明：把∠ABCD，∠CBAD
∴∠A＋∠ C BCD+BAD=(BCD+BAD)=×360°=180°
几何语言
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴ ∠A+∠C=180°
∠B+∠D=180°
圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形对角互补
教学目标
新课讲解
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练习：
教学目标
新课讲解
E
D
B
A
C
四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______
∠B+∠ADC=_______;
若∠B=80°，
则∠ADC=______ ，
∠CDE=_________.
180°
180°
100°
80°
教学目标
新课讲解
例1 如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,求证:DB=DC.
解：∵ AD是∠EAC的平分线∴∠DAC=∠DAE
∵ 四边形ABCD内接于圆
∴∠BAD+∠DCB=180°
∴∠DCB=∠DAE
∴而∠DBC=∠DAC
∴∠DBC=∠DCB
∴ DB=DC
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教学目标
新课讲解
如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．求证：△ABG≌△BCH；
练习：
教学目标
新课讲解
证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°， BG＝CH ，
∴△ABG≌△BCH
教学目标
新课讲解
例2 如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
分析：要使锯出的木材的横截面正方形ABCD尽可能地大，正方形ABCD应内接于☉O.
由正方形ABCD四个内角都是直角，得它的两条对角线是☉O的两条直径，且这两条直径互相垂直.
所以只要在☉O内作两条互相垂直的直径AC和BD，就可以作出☉O的内接正方形ABCD.
教学目标
新课讲解
A
O
D
C
B
∵AC=BD=30cm
∴AO=BO=15cm
∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）
∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E。求证：BC＝EC.
教学目标
新课讲解
练习：
证明：连接AC.
∵AD是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°＝∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，
又∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠2，
∴∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.
教学目标
新课讲解
1.已知，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC等于( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．l05° C．100° D．95°
教学目标
巩固提升
D
B
3、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝130°，则∠AOC的度数是__ _度．
教学目标
巩固提升
100
教学目标
巩固提升
4、如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____ ．
5、如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C= 。
70°
教学目标
巩固提升
6、如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接 BD，DC.
求证：BD＝DC＝DI.
证明：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴弧BD＝弧BC
∴BD＝DC.
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI＝∠CBI.
∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠DBC.
又∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴△BDI为等腰三角形，
∴BD＝ID，
∴BD＝DC＝DI.
教学目标
巩固提升
7、如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．
教学目标
巩固提升
解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
教学目标
巩固提升
∵∠ADF＋∠ABC＝180(圆的内接四边形对角之和为180)，
∠ ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠ADF＝∠ABE.
∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF.
又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC.
∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF＝30°，
∴CF＝，AF＝，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACF＝2×CF×AF＝.
教学目标
课堂小结
图形的旋转
1.定义：
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
2.定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
谢 谢！
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3.6圆内接四边形课时教学设计
课题 圆内接四边形 单元 3 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情
能力目标 培养学生观察、分析、概括的能力
知识目标 1、使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 2、使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题
重点 圆内接四边形的性质定理
难点 圆内接四边形的性质的灵活应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能地大？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 想一想过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？2. 什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？3．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？圆内接四边形的定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆 ( http: / / www.21cnjy.com / )如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．思考:（1）任意三角形都有外接圆吗？ （2）任意四边形都有外接圆吗 注：一个三角形一定有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆合作学习任意画一个圆，在圆上依次取四个点A、B、C、D，连接AB、BC、CD、DA，用量角器量出一组对角的度数之和，你发现了什么？发现：每一组对角相加等于180°，即对角互补。探究：已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° ( http: / / www.21cnjy.com / )圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形对角互补几何语言∵四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+∠C=180° ∠B+∠D=180°练习：四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=______ ，∠CDE=_________. ( http: / / www.21cnjy.com / )如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,求证:DB=DC. ( http: / / www.21cnjy.com / )练习：如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．求证：△ABG≌△BCH ( http: / / www.21cnjy.com / )如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一 ( http: / / www.21cnjy.com )根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？练习：如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E。求证：BC＝EC. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 回顾三角形的外接圆以及圆的内接三角形相关知识，得出圆内接四边形的定义学生思考回答问题 学生自主解答，教师适时的进行提示，并总结学生思考，并试着解答学生交流，思考，进行解答根据问题，学生交流，思考，进行探索学生自主解答，教师适时的进行提示 在教法设计上引导学生自主、合作的学习能力增强学生解决问题的能力。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己解决问题，检验知识的掌握情况。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高培养学生培养学生独立学习和解决问题的能力让学生自己解决问题，检验知识的掌握情况
巩固提升 1.已知，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC等于( )A．100° B．110° C．120° D．130°答案：D2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )A．115° B．l05° C．100° D．95° ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：B3、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝130°，则∠AOC的度数是___度． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：1004、如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案： 5、如图，四边形ABCD为圆的内接四边形， ( http: / / www.21cnjy.com )DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C= 。 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：70°6.如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接 BD，DC.求证：BD＝DC＝DI. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：证明：∵AI平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC， ∴弧BD＝弧BC∴BD＝DC.∵BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI.∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，∴∠BAD＝∠DBC.又∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，∴∠DBI＝∠DIB，∴△BDI为等腰三角形，∴BD＝ID，∴BD＝DC＝DI. 7、如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积． ( http: / / www.21cnjy.com / )解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.∵∠ADF＋∠ABC＝180(圆的内接四边形对角之和为180)，∠ ABE＋∠ABC＝180°，∴∠ADF＝∠ABE.∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，∴△AEB≌△AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF.又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC.∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF＝30°，∴CF＝，AF＝，∴四边形ABCD的面积＝2S△ACF＝2×CF×AF＝. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生 ( http: / / www.21cnjy.com )认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 1.定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2.定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
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