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3.8.1弧长及扇形的面积
数学浙教版 九年级上
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导入新课
西气东输工程全长四千多米,其中有成千上万个圆弧形弯管.制作弯管时，需要按中心计算“展直长度”再下件，你知道怎么样计算这些弯管的长度吗？
教学目标
新课讲解
计算：已知圆的半径为10cm, 求
(1) 半圆的弧长
(2) 90度圆心角所对的弧长
(3) 1度的圆心角所对的弧长
(4) 60度的圆心角所对的弧长
(5) n度的圆心角所对的弧长
做一做
教学目标
新课讲解
解：(1) 2πR·=πR=10π
(2)2πR·==5R
(3)2πR·==
(4)2πR·=
(5)2πR·=
教学目标
新课讲解
在半径为 r 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式:
归纳
在应用弧长公式l =进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位 的.
注意：
1、在弧长公式中变量有哪些？常量是哪些？
2、在3个变量l、R、n中，只要已知其中两个量就可以求第三个量，那么请将公式变形求出R和n
变量是l、R、n；常量是π
R=
n=
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
1、已知弧的长为3πcm，弧的半径为6cm，则该弧所对圆心角的度数为_______
2、已知弧的长度为2π cm，圆心角度数为40°，则圆的半径为_______
练习
90°
教学目标
新课讲解
例1:如图,BM是⊙O的直径,四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC＝15mm，⊙O的半径为Ｒ＝30mm，求BD的长.
⌒
教学目标
新课讲解
解：如图，连结OD，BD，则OB=OD=30mm
延长DC，交OB于点E. 在矩形ANMB中，OB⊥AB
又∵CD⊥AN ∴OE⊥OB
∴四边形ACEB是矩形 ∴BE=AC=15
∵OB=30 ∴OE=BE ∴BD=OD
∴△OBD是等边三角形
∴∠DOB=60°
∴BD=
答：BD的长为10πmm
⌒
⌒
教学目标
新课讲解
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求BC的长．
⌒
练习
解：连结OB，OC
∵∠BAC=60°
∴∠BOC=120°
∴BC=
⌒
教学目标
新课讲解
例2、一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径是2公里，一辆汽车以每小时60公里的速度通过弯道,需时间20秒,试求弯道(弧AB)所对圆心角的度数(结果精确到0.1度).
教学目标
新课讲解
分析：如果能求出弯道的弧长，那么由于半径已知，根据弧长公式就可以求出弯道所对圆心角的度数
解：汽车在20s内通过的路程为l=(km)
由弧长公式l=，得圆心角的度数为
n=
答：弯道所对圆心角的度数约为9.5°
教学目标
新课讲解
有一段圆弧形的公路弯道，其所对的圆心角是150°，半径是400 m，一辆汽车以40 km/h的速度开过这段弯道，需要多少时 间(精确到分)
练一练
解：÷＝≈2(min)．
答：需要2min
例3、如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l上，按顺时针方向转动一次，使它转到△A’B’C’的位置.若BC=1，∠A=30°.求点A运动到A’位置时，点A经过的路线长。
解：∵∠A=30°，BC=1
∴AB=2
∵∠CBA=∠A’BC’=60°
∴∠CBA’=60°
∴∠ABA’=120°
∴弧AA’=
即：点A经过的路线长为
教学目标
新课讲解
练一练
教学目标
新课讲解
如图，某传送带的一个转动轮的半径为20厘米，当转动轮顺时针转过45°时，传送带上的物体被传送出多少厘米？
解：l=
答：传送带上的物体被传送出5π厘米
1．若扇形的半径为6，圆心角为1 20°，则此扇形的弧长是( )
A．3π B．4π C．5π D．6π
2．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为( )
A．6 cm B．12 cm C．2 cm D.6 cm
教学目标
巩固提升
B
A
3.如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于____．
教学目标
巩固提升
π
教学目标
巩固提升
4、已知一个半圆形工件 ，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是____ m(结果用π表示)．
2π+50
教学目标
巩固提升
5.如图3－8－8，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝6 cm，求图中劣弧BC的长．
解：(1)连结OB，∵弦BC垂直于半径OA，
∴BE＝CE，弧AB＝弧AC.
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝60°.
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
(2)∵BC＝6，∴CE＝BC＝3.
在Rt△OCE中，∠AOC＝60°，∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC.
∵OE 2＋CE 2＝OC 2，
∴＋32＝OC 2，∴OC＝2.
∵弧AB＝弧AC，
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴弧BC＝＝＝(cm)．
6.如图所示，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，求经过36次这样的操作后菱形中心O所经过的路径总长（结果保留π)．
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
解：经过每3次这样的操作，中心O所经过的路径长为×π×＋×π×1＝π＋，
经过36次这样的操作后菱形中心O所经过的路径总长为×(π＝(8＋4)π.
教学目标
课堂小结
弧长及扇形的面积
2. 弧长公式：
1. 弧长与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
3. 弧长单位：
弧长单位与半径单位一致
谢 谢！
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3.8.1弧长及扇形的面积课时教学设计
课题 弧长及扇形的面积 单元 3 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
能力目标 掌握弧长计算公式，并会应用公式解决问题。
知识目标 经历探索弧长计算公式的过程
重点 圆的弧长计算公式
难点 圆的弧长计算公式的推导
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 西气东输工程全长四千多米,其中有成千上万个圆弧形弯管.制作弯管时，需要按中心计算“展直长度”再下件，你知道怎么样计算这些弯管的长度吗？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生思考 通过现实中的问题，引发对数学知识的兴趣
讲授新课 做一做计算：已知圆的半径为10cm, 求 (1) 半圆的弧长 (2) 90度圆心角所对的弧长 (3) 1度的圆心角所对的弧长 (4) 60度的圆心角所对的弧长 (5) n度的圆心角所对的弧长 ( http: / / www.21cnjy.com / )归纳在半径为 r 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式: ( http: / / www.21cnjy.com / )注意：在应用弧长公式l = / 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位 的.在弧长公式中变量有哪些？常量是哪些？在3个变量l、R、n中，只要已知其中两个量就可以求第三个量，那么请将公式变形求出R和n 练习已知弧的长为3πcm，弧的半径为6cm，则该弧所对圆心角的度数为_______已知弧的长度为2π cm，圆心角度数为40°，则圆的半径为_______例1:如图,BM是⊙O的直径,四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )MN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC＝15mm，⊙O的半径为Ｒ＝30mm，求弧BD的长. ( http: / / www.21cnjy.com / )练习如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求弧BC的长． ( http: / / www.21cnjy.com / )例2、一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径是2 ( http: / / www.21cnjy.com )公里，一辆汽车以每小时60公里的速度通过弯道,需时间20秒,试求弯道(弧AB)所对圆心角的度数(结果精确到0.1度). ( http: / / www.21cnjy.com / )练一练有一段圆弧形的公路弯道，其所对的圆心角是1 ( http: / / www.21cnjy.com )50°，半径是400 m，一辆汽车以40 km/h的速度开过这段弯道，需要多少时 间(精确到分) ．例3、如图，把Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的斜边放在直线l上，按顺时针方向转动一次，使它转到△A’B’C’的位置.若BC=1，∠A=30°.求点A运动到A’位置时，点A经过的路线长。 ( http: / / www.21cnjy.com / )练一练如图，某传送带的一个转动轮的半径为20厘米，当转动轮顺时针转过45°时，传送带上的物体被传送出多少厘米？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生思考，进行解答，并试着归纳学生练习，老师给予订正根据例题，学生交流，思考，进行探索学生自主解答，老师巡视指导学生自主解答，教师适时的进行提示，并总结方法学生自主解答，老师巡视指导，并指导归纳学生自主解答，老师巡视指导学生自主解答，教师适时的进行提示 在教法设计上引导学生自主、合作的学习能力增强学生自己解决问题的能力课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中， ( http: / / www.21cnjy.com )引导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高
巩固提升 1．若扇形的半径为6，圆心角为1 20°，则此扇形的弧长是( )A．3π B．4π C．5π D．6π答案：B2．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为( )A．6 cm B．12 cm C．2 cm D.6 cm答案：A3.3.如图，“凸轮”的外围由以正 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于____．答案：π ( http: / / www.21cnjy.com / )4、4、已知一个半圆形工件 ，未搬 ( http: / / www.21cnjy.com )动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是____ m(结果用π表示)． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案： 2π+505.如图3－8－8，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.(1)求∠AOC的度数；(2)若弦BC＝6 cm，求图中劣弧BC的长． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：(1)连结OB，∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE，弧AB＝弧AC.又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝60°.(2)∵BC＝6，∴CE＝BC＝3.在Rt△OCE中，∠AOC＝60°，∴∠OCE＝30°，∴OE＝OC.∵OE 2＋CE 2＝OC 2，∴＋32＝OC 2，∴OC＝2.∵弧AB＝弧AC，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∴弧BC＝＝＝(cm)．6.如图所示，菱形ABCD中，AB＝2，∠C ( http: / / www.21cnjy.com )＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，求经过36次这样的操作后菱形中心O所经过的路径总长（结果保留π)． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：经过每3次这样的操作，中心O所经过的路径长为×π×＋×π×1＝π＋，经过36次这样的操作后菱形中心O所经过的路径总长为×(π＝(8＋4)π. 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生 ( http: / / www.21cnjy.com )认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 1.弧长与哪些因素有关？（1）与圆心角的大小有关（2）与半径的长短有关2. 弧长公式：3. 弧长单位：弧长单位与半径单位一致
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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