第二章 直线与圆的位置关系单元检测A卷

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直线和园的位置关系单元检测A卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
一．选择题（共10小题）
1．已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )的点共有（　　）21cnjy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么（　　）
A．0＜OP＜5 B．OP=5 C．OP＞5 D．OP≥5
3．有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于 ( http: / / www.21cnjy.com )弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
5．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B ( http: / / www.21cnjy.com )，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
6．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（　　）
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A．120° B．60° C．30° D．45°
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，CD为直径的⊙O与AB相切于E，则⊙O的半径是（　　）
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A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．三角形内切圆的圆心为（　　）
A．三条边的高的交点 B．三个角的平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条边的中线的交点
9．如图，四边形ABCD中，AD平行BC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（　　）
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A．9 B．10 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
10．如图，直线l1∥l2 ( http: / / www.21cnjy.com )，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠AMN=60°，则下列结论不正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．l1和l2的距离为2 B．当MN与⊙O相切时，AM= ( http: / / www.21cnjy.com )
C．MN= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) D．当∠MON=90°时，MN与⊙O相切
　
二．填空题（共6小题）
11．已知PAB、PCD为⊙O的两条割线，PA=8，AB=10，CD=7，∠P=60°，则⊙O的半径为　 　．
12．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为　 　．www-2-1-cnjy-com
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13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=　 　cm时，BC与⊙A相切．
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14．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，则∠B等于　 　度．
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15．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　 　．
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16．如图，AB，AC分别是⊙O的切线和割线，且∠C=45°，∠BDA=60°，CD= ( http: / / www.21cnjy.com )，则切线AB的长是　 　．
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三．解答题（共8小题）
17．设⊙O的圆心O到直线的距离为d， ( http: / / www.21cnjy.com )半径为r，且直线与⊙O相切．d，r是一元二次方程（m+9）x2﹣（m+6）x+1=0的两根，求m的值．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com )，求点N的坐标．
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19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= ( http: / / www.21cnjy.com )．求证：CB是⊙O的切线．
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20．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于E，过B作⊙O的切线，交AC的延长线于D．求证：∠CBD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB．
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21．如图示，PA，PB分别与⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA=12，则△PEF的周长是？
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22．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长．
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23．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．
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24．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
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参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1． 【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )的点的个数．21世纪教育网版权所有
解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE=2，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴⊙O上到直线l的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )的点在直线l的左边和右边各有两个，共四个，
故选D．
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2．【分析】由⊙O的半径是5，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l是⊙O的切线，P是l上的任一点，可得当P与切点重合时，OP=5，当P与切点不重合时，OP＞5，继而求得答案．21教育网
解：∵⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，
∴当P与切点重合时，OP=5，
当P与切点不重合时，OP＞5，
∴OP≥5．
故选D．
　
3． 【分析】根据圆周角定理、垂径定理知识，运用排除法，逐题分析判断．
解：（1）应强调这条弦不是直径；故本选项错误；
（2）应强调在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项错误；
（3）等弧弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项正确；
（4）必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故本选项错误；
（5）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；www.21-cn-jy.com
（6）应该是过圆上一点且垂直圆的半径的直线是圆的切线；故本选项错误；
综上所述，正确的个数是1个；
故选A．
　
4． 【分析】由切线的判定，结合角平分线的性质，即可证明．
解：连接NP．
∵⊙P与OC相切．
∴PN⊥OC．
即PN为圆半径，
作PM⊥OB．
又∵OA平分∠BOC，并由角平分线的性质．
∴PM=PN=圆半径．
∴⊙P与OB的位置关系为相切．
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5．【分析】连接BE．根据两个圆的半径相等和圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角定理可以证明∠BAC=∠ABE，再结合三角形的外角的性质可以证明∠BEC=2∠BAC，从而肯定该圆一定过三角形的外心．
解：如图，连接BE．21*cnjy*com
因为△ABC为锐角三角形，所以∠BAC，∠ABE均为锐角．
又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以∠BAC=∠ABE．
于是，∠BEC=∠BAC+∠ABE=2∠BAC．
若△ABC的外心为O1，则∠BO1C=2∠BAC，
所以⊙O一定过△ABC的外心．
故选B．　
6．【分析】连接OA，BO ( http: / / www.21cnjy.com )，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°﹣∠AOB=60°．
解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．
故选B．
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7．【分析】由图可知AE=6，BE=4，根据切割线定理可求出BD为2，所以CD为6，⊙O半径为3．
解：∵AC，AE为⊙O的切线，
∴AC=AE=6，
根据勾股定理可知AB=10，
∴BE=4；
根据切割线定理有，
BE2=BD×BC可得，
BD=2，
∴CD=6，
∴⊙O半径为3．
故选C．
　
8． 【分析】根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以三角形内切圆的圆心是三内角平分线的交点．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴三角形内切圆的圆心是三内角平分线的交点．
故选B．
　
9．【分析】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，即CB=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．2-1-c-n-j-y
解：作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O 切线，
∵CD和MN为⊙O 切线，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CB=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故选A．
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10． 【分析】连结OA、OB，根据切线的性质和l1∥l2得到AB为⊙O的直径，则l1和l2的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM= ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN= ( http: / / www.21cnjy.com )，当MN在AB右侧时，AM= ( http: / / www.21cnjy.com )，所以AM的长为 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．
解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；
作NH⊥AM于H，如图1，
则MN=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴MN= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AMN= ( http: / / www.21cnjy.com )×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO= ( http: / / www.21cnjy.com )，即AM= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB= ( http: / / www.21cnjy.com )，即BN= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当MN在AB右侧时，AM= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AM的长为 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )；
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．
故选B．
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二．填空题（共6小题）
11．【分析】根据切割线定理即可求得PC的长，在直角△BCD中，利用勾股定理即可求解．
解：∵PA PB=PC PD，得8×18=PC （PC+7），
解得：PC=9，
连接BC，
∵PB=2PC，∠P=60°，
∴∠BCP=90°，
∴∠BCD=90°，
连接BD，
∵∠BCD=90°，
∴BD为直径，
BD===2．
故⊙O的半径为：．
12．【分析】辅助线，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接OC与OE．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知OC⊥AB；又EF∥AB，可知OC⊥EF，最后由三角函数和垂径定理可将EF的长求出．
解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC=30°，
∴∠COE=60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE= ( http: / / www.21cnjy.com )×2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵EF=2EM，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
13．【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
14．【分析】根据弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角求出∠A=∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠A与∠B互余，计算即可求解．【出处：21教育名师】
解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，
∴∠A=∠PCB=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴35°+∠B=90°，
解得∠B=55°．
故答案为：55．
　
15．【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【版权所有：21教育】
解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
　
16．【分析】过点A作AM⊥BD与点M ( http: / / www.21cnjy.com )，在直角△AMD中，AD就可以利用AB表示出来，然后依据切割线定理，即可得到一个关于AB的方程，即可求解．
解：
过点A作AM⊥BD与点M．
∵AB为圆O的切线
∴∠ABD=∠C=45°（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）
∵∠BDA=60°
∴∠BAD=75°，∠DAM=30°，∠BAM=45°
设AB=x，则AM= ( http: / / www.21cnjy.com )x，在直角△AMD中，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )x
由切割线定理得：AB2=AD AC
x2= ( http: / / www.21cnjy.com )x（ ( http: / / www.21cnjy.com )x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）
解得：x1=6，x2=0（舍去）
故AB=6．
故答案是：6．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
三．解答题（共8小题）
17．【分析】根据直线和圆的位置关系得出d=r，根据根与系数的关系得出△=0，代入求出即可．
解：∵⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切，
∴d=r，
∵d，r是一元二次方程（m+9）x2﹣（m+6）x+1=0的两根，
∴△=0，
即[﹣（m+6）]2﹣4（m+9） 1=0，
解得：m=0或﹣8，
当m=﹣8时，x=﹣1，不符合题意舍去，
故m=0．
　
18．【分析】连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，根据切线性质得出AB=AM=R，求出CM=R﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，MN=2CM，2·1·c·n·j·y
由勾股定理得出方程R2=（R﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，求出方程的解即可．
解： ( http: / / www.21cnjy.com )
连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，
∵⊙A与y轴相切于B，
∴AB⊥y轴，
∵点 ( http: / / www.21cnjy.com )，与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB=AM=R，CM=R﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，MN=2CM，
由勾股定理得：R2=（R﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，
R=2.5，
∴CM=CN=2.5﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
∴ON= ( http: / / www.21cnjy.com )+2+2=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即N的坐标是（4 ( http: / / www.21cnjy.com )，0）．
　
19．【分析】连接OD，可得OB=OD ( http: / / www.21cnjy.com )，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，由OC﹣OE求出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂直，即可确定出BC为圆O的切线．
证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
根据勾股定理得：BE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，CE=OC﹣OE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△CEB中，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
20．【分析】连接AE，利用等腰三角形的性质易证∠BAE=∠CAE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB，由弦切角定理可得∠CBD=∠BAE，所以∠CBD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB．21*cnjy*com
证明：连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBD=∠BAE，
∴∠CBD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
21．【分析】由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果
解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=24．
　
22．【分析】连接PO交AB于H，设DE=x，由勾股定理得，（x+2）2+x=2（x+3），从而求出x的值即可．
解：连接PO交AB于H，由切线长定理可知，OP平分∠APB，而PA=PB，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴PO⊥AB，
设DE=x，则PA2=PE PC=2（x+3）．
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2，即AH2+PH2=2（x+3）①，
在Rt△PHD中，PH2+DH2=（x+2）2②，
又AD DB=ED DC，而AD DB=（AH﹣DH）（AH+DH）=AH2﹣DH2，
∴AH2﹣DH2=x 1③，
由①②③得（x+2）2+x=2（x+3），
解得DE=x= ( http: / / www.21cnjy.com )．
　
23．【分析】（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；21·cn·jy·com
（2）首先连结OD、OE，进而利用 ( http: / / www.21cnjy.com )切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．
解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∵AB=AC，
∴AB﹣AD=AC﹣AF，
即BD=CF，
∴BE=CE；
解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC，∠OCB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE；
（2）解：连结OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
又∵OD=OF，
∴四边形ODAF是正方形，
设OD=AD=AF=r，
则BE=BD=CF=CE=2﹣r，
在△ABC中，∠A=90°，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
又∵BC=BE+CE，
∴（2﹣r）+（2﹣r）= ( http: / / www.21cnjy.com )，
得：r= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴⊙O的半径是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
24．【分析】（1）根据内心性质得∠1= ( http: / / www.21cnjy.com )∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=AH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=1，OH= ( http: / / www.21cnjy.com )BH= ( http: / / www.21cnjy.com )，OB=2OH= ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可．21教育名师原创作品
（1）证明：∵O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴AD=CD，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴四边形OADC为菱形，
∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，
而∠1=∠5，
∴OA=OC，∠2=∠3，
∴OB=OC，
∴点O为△ABC的外心，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，
∴AD=OB，
在△BOC和△CDA中
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OBH= ( http: / / www.21cnjy.com )（180°﹣120°）=30°，
∵OH⊥AB，
∴BH=AH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=1，
OH= ( http: / / www.21cnjy.com )BH= ( http: / / www.21cnjy.com )，
OB=2OH= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2× ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
( http: / / www.21cnjy.com )
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