3.1圆
课 题
3.1圆
教学目的
知识点
1．理解圆、弧、弦等有关概念．
2．学会圆、弧、弦等的表示方法．
3．掌握点和圆的位置关系及其判定方法．
能力点
进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．
德育点
用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活
重 点
弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．
难 点
点和圆的位置关系及判定．
教 法
操作、讨论、归纳、巩固
学 法
通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣
教 具
画圆工具
进
程
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 意 图
达 到 效 果
一复习引入
二新课讲述
三小结
四、随堂练习
1．展示幻灯片，教师指出，日常生活和生产中的许多问题都与圆有关．
如（1）一个破残的轮片(课本P62图)，怎样测出它的直径?如何补全？
（2）圆弧形拱桥(课本P63图)，设计时桥拱圈()的半径该怎样计算?
（3）如何躲避圆弧形暗礁区(课本P60、P74图)，不使船触礁？
（4）自行车轮胎为什么做成圆的而不做成方的？
2．上述这些问题都与圆的问题有关，在小学我们已经认识过圆，回会用圆规画圆，问：圆上的点有什么特性吗？圆、圆心、圆的半径、圆的直径各是怎样定义的？这节课我们用另一种方法来定义圆的有关概念。
(板书)3．1 圆
师生一起用圆规画圆：取一根绳子，把一端固定在
画板上，另一端缚在粉笔上，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，即得一个圆(课本图3—1、3－2)．
归纳：在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆．定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．如图所示．
2圆的有关概念（如图3－3）
（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC．经过圆心的弦是直径，图中的AB。直径等于半径的2倍．
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的．
(3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆．例如，图中的⊙O1和⊙O2是等圆．
圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。（学生画同心圆）
3．对圆概念的进一步理解
学生练习：请学生说出几种常见的圆形物体．(学生可能会说到杯子、自行车轮子等)然后，教师指导学生分析以下两个问题．
(1)用一根长为a米的绳子，围成一个圆或正三角形或正方形，所围成的图形哪一个面积最大?
解：正三角形面积是()，正方形面积是()，圆的面积是()．
∵<<，∴圆的面积最大
(2)为什么自行车轮子做成圆形?
(3) 完成P58做一做
由上述问题提出：确定一个圆的两个必备条件是什么？
说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
注意：说明一个圆时必须说清以谁为定点，以谁为定长。
3．结论：一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：
d
rP在圆外．
4．例 如图，在A地往北80m的B处有一幢房，西100m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有古建筑．因施工需要在A处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内?
分析：爆破影响面大致是圆形，正北方向线与正南方向线垂直．
解：连结AD，由勾股定理得：
BC2＝AC2＋AB2＝1002＋802=16400，
∴BC＝＝20(m)．
∴AD＝BC＝×20＝10 (m)．
∵10<10×7， AB＝80m， AC＝100m，
∴AD所以爆破影响面的半径应小于10m．
阅读课本P．80中《生活离不开圆》，
完成P．59课内练习．
视时间完成P60的作业题
1．圆、弧、弦的概念和表示方法．
2．点和圆的位置关系及判定方法．
1．判断（1）圆是一条封闭曲线，它上面的任何一点到某个定点的距离都等于定长。
（2）圆的任何一条弦的两端点，把圆分成两条弧，所以一条弦对两条弧。
（3）到圆心的距离小于半径的点在圆上。
（4）直径是弦，且圆内最长的弦是直径。
（5）半圆是弧，弧小于半圆。
2．填空（1）已知圆上有3个以其中每两个点为端点的弧共有
（2）在半径是5cm的圆O内有一条弦AB，，则AB＝
（3）两个同心圆的圆心为O，半径分别是3和5，点P在小圆外，但在大圆内，那么OP的取值范围是
（4）在中，，以点A为圆心，AB为半径画A，那么点C 与A的位置关系是
（5）与的半径分别是r1和r2，且r1和r2是方程x2－ax＋1＝0的两个根，如果与是等圆，则a的值为
3．如图的半径OA＝5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OCOA，OC=BC。求（1）的度数；（2）AB的长。（四种以上方法）
学生观察讨论回答
定圆心半径
三点确定一个圆
垂径定理
利用圆周角
半径定长重心稳定
学生口答
学生观察并比较熟记圆的有关概念
学生计算、猜想
说明杯子通常做成圆形的一个原因，是因为在相同材料的条件下，圆形杯子的体积最大．
解：因为圆周上的各点到圆心的距离都相等，车子行驶起来比较平稳．
定点、定长
学生在了解的基础上观察下图，引入点和圆的位置关系：
请学生口答，然后电脑演示完整的解答过程
口答
师生一起讨论得出
独立完成，课堂校对
通过设问，目的是唤起对学习圆的兴趣
通过比较回答，引起对圆的有关概念的认识。
使学生掌握用运动的观点定义圆，突出圆是封闭曲线。
学会探究猜想，了解日常生活中常见的问题的原因所在。
只要求学生了解
掌握点和圆的位置关系
学会用点和圆的位置关系研究实际问题，把几何问题实际化，突出它的实际应用性
巩固提高
梳理概括，形成结构
巩固提高，形成结构
作业布置
见作业本
课本作业题
同步练习
扳书设计
3.1圆(1)
投影 学生板演
教后感
3.1圆
教学目标
①学生经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程
②了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法，了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念
③会画过不在同一条直线上的三点作圆
教学重点、工具
①“不在同一直线上的三个点确定一个圆”来画图
②“不在同一直线上的三个点确定一个圆”来解决实际问题
③尺规
教学难点
对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解
教学过程
车床工人告诉了我们什么？
问题：车间工人能将一个如图所示的破损的圆盘复原，你知道用什么办法吗？
（根据学生的预习情况进行衔接教学）
探索：
1：经过一个已知点A能作多少个圆?
结论：经过一个已知点A能作无数个圆!
2：经过两个已知点A,B能作多少个圆？
结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆!
讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？
讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？
3：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？
讨论1：怎样找到这个圆的圆心？
讨论2：这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗？ 为什么？即OA=OB=OC
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆
初步应用：
1：现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘 复原了吗？
方法:
找圆弧所在圆的圆心,只要在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其
交点即为圆心。
2：已知△ABC,用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆。
概念教学
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
举例、1：⊙O是△ABC的外接圆, △ABC是⊙O的内接三角形,点O是△ABC的外心即外接圆的圆心。
2：三角形的外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点.
试一试
1：画出过以下三角形的顶点的圆，并比较圆心的位置？
2：练一练
a：下列命题不正确的是 ( )
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆.
b：三角形的外心具有的性质是 ( )
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
知识小结
1：不在同一直线上的三点确定一个圆。
——你知道是怎样的三点吗？
2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。
——你会画了吗？
3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念
——你会辨别吗？
作业
书本P62页课内练习
书本P62页作业题
预习P63页3.2圆的轴对称（1）
板书设计
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.
《圆》
探索与思考：
探索（一）：车轮为什么是圆形的
1)如图，A、B表示车轮边缘上的两点，O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系？
2）C是表示车轮边缘上的任意一点，要是车轮能够平稳滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应满足 什么关系？
3）在车轮的边缘上到点O的距离与A.O之间的距离相等的
点还有吗？如果有请在图中描出几个点.
4）圆形车轮为什么平稳?
自我归纳：从运动的观点看圆的定义1：
等圆的定义：
探索（二）：投圈游戏
1)一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?如果不公平，画出你认为公平的示意图.
2)如果我们全班的同学同时做投圈游戏，我们该怎么站才能公平呢？画出你认为公平的示意图.
自我归纳：从集合的观点看圆的定义2：
试根据圆的定义填空：
1、圆上各点到 的距离都等 于 .
2、到定点的距离等于定长的点都在 .
一个圆将其所在的平面分成几部分？它们分别是：
1)圆： 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
2）圆的内部:
可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合.
3）圆的外部:
可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合.
探索（三 ）： 投镖游戏
观察这5个点与圆的位置关系
点A.B.C.D.E到圆心的距离分别与圆的半径有怎样的大小关系？
如果点P与⊙O都在同一平面内，那么点P与⊙O可能有哪几种关系？
你能根据P与⊙O的位置关系，确定P到⊙心O的距离d与圆的半径r的大小关系吗？反过来，你能根据d与圆的半径r的大小关系，确定点P与⊙O的位置关系吗？
4）在平面内点与圆的位置关系有三种：
当点在圆上是 ；反过来，当 时，点在圆上.
当点在圆内是 ；反过来，当 时，点在圆内.
当点在圆外是 ；反过来，当 时，点在圆外.
合作交流，成果展示
1、画图：已知Rt△ABC，AB2、根据图形回答下列问题：
1）看图想一想， Rt△ABC的各个顶点与⊙B在位置上有什么关系？
2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？
3.已知⊙O的半径r=2cm,
当OP 时，点P在⊙O上；
当OA=1cm时，点A在 ；
当OB=4cm时，点B在 .
4.已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，
（1）试猜想：矩形的四个顶点在同一个圆上吗？
（2）如果在同一个圆上，是在怎样一个圆上，并给予证明？如果不在同一个圆上，试说明为什么？
应有规律，巩固新知
设ＡＢ＝3厘米，画图并说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：
1）和点A.B的距离都等于2厘米的点的集合.
2）和点Ａ、Ｂ的距离都小于2厘米的点的集合.
3）如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
自我评价检测反馈：
一)本节课你有哪些收获？还有哪些质疑？
二）当堂检测
1.已知⊙O的面积为25π，判断点P与⊙O的位置关系．
（1）若PO=5.5，则点P在 ；
（2） 若PO=4，则点P在 ；
（3）若PO= ，则点P在圆上．
2.设ＡＢ＝３厘米，画图并说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm
3、一个点到已知圆上的点的最大距离是8，最小距离是2，则圆的半径是____
4、如图，已知矩形ABCD
的边AB=3厘米，AD=4厘米.
（1）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
（2）若以A点为圆心作圆A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是什么？
5.AD.BE都是△ABC的高，试说明点A,B,D,E四点在同一个圆周上.
三） 课外自评
1、如图，⊿ABC中，∠C=90°，
BC=3，AC=6，CD为中线，
以C为圆心,以CD为半径作圆，
则点A、B、D与圆C的关系如何？
2.一个8×10米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,
你准备安装几个? 怎样安装? 请说明理由.
《图形的旋转》
教学目标：
1、使学生进一步认识图形的旋转，理解按顺时针或逆时针旋转90°的含义，能在方格纸上把简单的图形旋转90°，并能画出旋转后的图形.
2、让学生进一步积累旋转的学习经验，更充分地感受观察、操作、实验、探索等活动本身的独特价值，增强空间观念，发展形象思维.
3、让学生在认识旋转的过程中，产生对图形与变化的兴趣，并进一步的感受旋转在生活中的应用.
教学重点：图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.
教学难点：在方格纸上将图形按顺时针或逆时针旋转90°，并能将旋转后的图形画出来.
教学方法：观察、课件演示、自主探索、小组讨论、动手操作、讲授等方法
教学准备：方格纸、课件、风车、装有小红旗和长方形纸片的信封、水彩笔、可旋转三角形纸片的硬纸板
教学程序：
一、创设情境，导入新课.
这几天风大，看到好多小朋友在操场上玩这个（出示自制小风车），有风的时候它会怎么样？（旋转）
放录像（转杆的打开与关闭），这是老师家小区门口的转杆，转杆的运动方式是平移还是旋转？师：对了，转杆的打开和关闭也是旋转.今天我们一起来研究旋转.(板书一半课题：旋转)
设计意图：从学生最熟悉的玩风车的情境开始引入课题，能激起学生学习的兴趣.
二、探索线段旋转，体会旋转三要素
1、对比研究转杆的运动
（1）仔细观察转杆运动的简易图（课件动态呈现转杆打开与关闭的简易图）
（2）小组讨论：转杆的打开与关闭这两次旋转运动的相同点与不同点.
你们觉得转杆打开和关闭的过程是完全一样的运动吗？想想有哪些地方是相同的.哪些地方是不同的？小组内讨论，以小组为单位派代表回答.
不同点：这两次运动旋转的方向不同.那分别是什么方向呢？（显示钟面时针的运动）让学生从转杆关闭和打开中选出与时针转动方向一致的运动（转杆关闭），因为和时针运动方向相同，所以我们把转杆关闭的方向叫做顺时针方向.那么与时针转动方向相反的运动叫什么呢?逆时针方向
玩一玩我说你做的游戏：老师下口令让学生伸出左手一起来表示这两个方向.
相同点：（1）在转杆打开和关闭的过程中，转杆下方的点是固定不动的，这个点就是旋转的中心点.这个学生可能说不出来可以直接告诉学生.（2）转杆关闭和打开都旋转了90度.如果学生有困难，可以进一步启发：转杆打开，旋转了多少度呢？转杆的关闭呢？
设计意图：在学生讨论比较相同点和不同点之前，让学生多观察几遍课件上动态的转杆打开和关闭的简易图，学生通过自主观察比较发现顺时针和逆时针旋转这两个方向，自然的理解了旋转90°的含义，并通过小游戏用手臂表示这两个方向，学生会在游戏里快乐的不知不觉中加深了对绕定点顺时针或逆时针旋转90°的印象.
（3）小结
刚才我们学了旋转重要的三个特点：点、方向、角度.谁能来完整的说说转杆打开是怎么运动的：绕中心点逆时针旋转90度；转杆关闭 ：绕中心点顺时针旋转90度.让学生读两遍加深印象.
2、巩固练习，加深对顺时针和逆时针旋转90度的认识
刚才我们认识了顺时针或逆时针旋转90度，你们能利用这些知识解决下面的问题吗？ （课件呈现动态时针转动）
第1题：
提问：从6:00到9:00时针旋转了多少度？是绕哪一点旋转的？
学生思考后回答完第一个小问题，课件呈现动态时针转动来校对学生的答案.第二个小问题让学生上台指一指，并说说此点动不动.（固定点）
第2题：
同样通过动态演示校对答案后让学生指一指台秤上指针是绕着哪一点旋转的.
第3题：
设计意图:在学生初步掌握旋转90度后，强调指针是绕着固定点旋转的，为后面学习图形的旋转做铺垫.也突出了固定点的重要性.
三、探索图形旋转90度，培养空间观念
刚才我们是把指针、转杆旋转90度.你们知道吗？图形也可以旋转，下面我们就一起来研究如何把一个图形旋转90度.（把板书补充完整：图形的）
课件出示例2：
（1）提问：谁知道“绕A点旋转”是什么意思？怎么转呢？（A点不动是定点）
从信封里拿出三角形纸片在事先准备好的方格纸上用三角纸片转一转.
教师拿出有三角形的硬纸板让学生上来演示，要求演示前说出自己是绕着A点向什么方向旋转的，多请些同学上台表演，争取不同的方向.学生表演后教师再课件演示核对下.
设计意图：本着数学课堂中以学生为主体的理念，我没有把旋转的方向定死，让学生有个发挥的空间，自己说自己动手，拥有绝对的主动权，充分发挥学生学习的主动性和积极性.
（2）旋转后的图形在你脑海中有印象了吗？你能不能把旋转后的图形画下来呢？（课件呈现要求学生按顺时针旋转图）
在方格纸上按要求学生画图，画完以后小组中说说你是怎么画的，先画什么后画什么.
请学生现场画图，边说先画什么画多长边画，教师出示课件一起来验证下.
仔细观察旋转后的线段和原来的线段什么关系啊?长度不变，互相垂直
图形的大小有没有变化？没有
提问：细心地同学肯定发现刚才无论是我们的同学画图还是老师画图都是先画？互相垂直的两条线段.你们为什么先画这两条呢？比较简单.
它们有什么共同点？与固定点A相连接.对了，一般我们画图都是先画与固定点相连接的线段.
设计意图：这里是画出旋转后图形的重点部分，让学生通过自主探索.仔细观察，发现一般画图先画与固定点相连接的线段比较简单.这是画图的基本方法，让学生自然的去掌握.
（3）再来看逆时针旋转90度，同样请同学上来画一画，说一说.重点还是强调先画与A点相连接的线段
（4）巩固练习（“想想做做”2） 刚才大家通过动手、动脑，把三角形旋转了90度，并画出旋转后的图形，现在你们想试试其他图形吗？
a、（课件出示题目）读题明确要求，请拿出课前准备的长方形纸片和三角形小旗，按要求在方格纸上旋转并画出旋转后的图形. b、谁愿意上来给大家介绍你的做法？（展示、交流、评价） 先画哪条边？ c、（课件演示，图形旋转后画线，并标上弧线.）师：为了表示旋转的方向，还要在图形相对应的某一组对边之间画出弧线，标上箭头.（请学生在自己的图中标上旋转方向）
四、思维拓展（“想想做做”?3）???? 图形的旋转非常有趣，其中也有许多奥秘，请看下面三组图形.
1、读题，明确题意 2、先独立思考，再把你的想法告诉同桌. 3、小组交流.（重点说几号图形绕哪个点按什么方向旋转多少度）
4、学生汇报：课件演示.
小结：最后一组图是把其中一个三角形连续旋转两次 90°，即旋转了180°，以后，我们还会学习把一个图形旋转其他的角度. 设计意图：这题很具有挑战性，激起学生的学习兴趣，充分发挥学生的空间想象能力，而且答案的不唯一，让学生有了足够的思考空间.
五、小结与欣赏.
(1)这节课学到了哪些知识？
通过本节课的学习，同学们要对图形的旋转有一个认识.能够把一个图形绕一个顶点顺时针或者逆时针旋转90°，感受旋转在生活中的应用. (2)播放音乐欣赏生活中的旋转图案
设计意图：让学生在欣赏图案中有美的体验，感知数学与生活的紧密联系，同时也增强学生学习的主动性和积极性.
（3）小知识：时针为何向右转？
古时候人们没有钟表，只能靠太阳的高度来大致判断时间.后来人们发现阳光在一块大石头上慢慢移动，而且每天移动的位置都一样，于是他们在大石头上立了一根棍子，并他们在大石头上立了一根棍子，并在棍子周围刻了一些线，阳光走出哪条线上，就知道做工或吃饭的时间到了.这就是世界上最早的钟，叫日晷.
太阳每天都是东升西落，日晷上阳光的影子也每天以棍子为中心向右旋转.后来人们根据日晷批示时间的方式发明了机械钟，用指针代替了阳光的影子.所以钟表指针也像阳光影子那样，从左向右转来批示时间.
《垂径定理》
教学目标：
1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；
掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；
能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.
2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.
3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.
教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.
教学用具：圆规，三角尺，PPT课件
教学过程：
一、复习引入
1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）
2、实验：探究圆的轴对称性.如图（1），若将⊙O沿直径AB
对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片
亲自实验，教师引导学生努力发现：
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）
都是它的对称轴.
3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E.此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容.
二、新课
（一）猜想，证明，形成垂径定理
1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？
2、猜想：可能出现的位置关系是：
线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.
可能出现的数量关系是：
3、证明：
利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等.板书：
4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
（二）分析垂径定理的条件和结论
1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象.
2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解.
练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？
3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段.
（三）例题
例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm.
求：⊙O的半径.
变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离
为3cm，⊙O的半径为5cm.
求：弦AB的长为多少？
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决.
例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证:AC=BD.
三、小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
《圆心角》
情境导入：以认识奔驰宝马车的标志，激发学生的求知欲.
新知引入：
1以修自行车的实例来帮助学生理解圆的旋转不变性——把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合.
2定义：在旋转过程中产生了圆心角. 顶点在圆心的角叫做圆心角（给出概念后再让学生做一个简单判断）
3圆心角定理：(在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.）
定理的探究：步骤：让学生观察，猜想，证明，最后教师给出实验过程.
新知巩固:
例1 如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径.
求证：AB=BC=CD=DA;
弧 AB=BC=CD=DA.
前后呼应：画宝马的标志.（例2: 用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分）
性质推导：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
1o的圆心角对着1o的弧,
1o的弧对着1o的圆心角.
n o的圆心角对着no的弧,
n o的弧对着no的圆心角.
学以致用：如图：点C为圆心，∠ACB=90°, ∠B=25°求弧AD的度数.
后呼应：
1、如图，图中标志每段弧的度数是多少
画出奔驰车的标志
课堂小结：通过"宝马奔驰"认识本堂课
1宝马奔驰"转"你没话说
2一把直尺和圆规能拥有"奔驰宝马"
《圆周角》
教学目标:
理解圆周角概念,理解圆周用与圆心角的异同;
掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征;
能灵活运用圆周角的性质解决问题;
发现和证明圆周角定理;
会用圆周角定理及推论解决问题.
教学重点:
圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.
教学难点:
发现并证明圆周角定理.
教学过程:
一.创设情景
如图是一个圆柱形的海洋馆, 在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物.大家请看海洋馆的横截面的示意图,想想看:同学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C,他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗?
二、认识圆周角.
1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？
2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点:1.角的顶点在圆上;2.角的两边都与圆相交,二者缺一不可.)
3.辩一辩,图中的∠CDE是圆周角吗?引导学生识别,加深对圆周角的了解.
4.圆周角与圆心角的联系和区别是什么?
三、探究圆周角的性质.
1.在下图中,同弧所对的圆周角有哪几个?观察并测量这几个角,你有什么发现?大胆说出你的猜想. 同弧所对的圆心角是哪个角?观察并测量这个角,比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢?大胆说出你的猜出想.
2.由学生总结发现规律:同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半,教师再利用几何画板从动态的角度进行演示, 验证学生的发现.
四、证明圆周角定理及推论.
1.问题:在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况?
2.学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角, 将他们画的图归纳起来, 共有三种情况:①圆心在圆周角的一边上; ②圆心在圆周角的内部; ③圆心在圆周角的外部.如下图
3.问题:在第一种情况中,如何证明上面探究中所发现的结论呢?另外两种情况如何证明呢?
4.怎样利用有上结论证明我们的第一个猜想:圆弧所对的圆周角相等?(利用圆弧所对的圆心角相等)
5.以上结论同圆改成等圆,同弧改成等弧结论还成立吗?为什么?
6.总结出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
7.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，结论还成立吗？
8．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？
总结推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.（也是圆周角定理的逆定理，要通过圆心角来转换）
9．如图所示图中，∠AOB=180°则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？（推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.可用圆周角定理说明.）
五．应用迁移，巩固提高.
1.求图中x的度数.
2.如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6cm , ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.
六. 小结:本节课你认识了什么?掌握了哪些定理?有什么收获?
《圆内接四边形》
1.习旧引新
⑴在⊙O上,任到三个点A、B、C然后顺次连接,得到的是什么图形?这个图形与⊙O 有什么关系?
⑵由圆内接三角形的概念,能否得出什么叫圆的内接四边形呢(类比)?
2.概念学习
⑴什么叫圆的内接四边形?
⑵如图1,说明四边形ABCD与⊙O的关系.
3.探讨性质
⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形----平行四边形,矩形,菱形,正方形,等腰梯形的性质,那么要探讨圆内接四边形的性质,一般要从哪几个方面入手?
⑵打开《几何画板》,让学生动手任意画⊙O和⊙O的内接四边形ABCD.
⑶量出可试题的所有值(圆的半径和四边形的边,内角,对角线,周长,面积),并观察这些量之间的关系.
⑷ 改变圆的半径大小,这些量有无变化?由(3)观察得出的某些关系有无变化?
⑸移动四边形的一个顶点,这些量有无变化?由(3)观察得出的某些关系有无变化?移动四边形的四个顶点呢?移动三个顶点呢?
⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢?(让学生回答)
4.性质的证明及巩固练习
⑴证明猜想
已知:如图1,四边形ABCD内接于⊙O.求证:∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180° ⑵完善性质
①若将线段BC延长到E( 如图 2),那么,∠DCE与∠BAD又有什么关系呢?
②圆的内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.
⑶练习
①已知:在圆内接四边形ABCD中,已知∠A=50°,∠D-∠B=40°,求∠B,∠C,∠D的度数.
②已知:如图3,以等腰 △ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB,AC于点E,D,连结DE,
求证:DE∥BC.(演示作业本)
5.例题讲解
引例已知:如图4,AD是△ABC中∠BAC的平分线,它与△ABC的外接圆交于点D.
求证:DB=DC.( 引例由学生证明并板演 )
教师先评价学生的板演,然后提出,若将已知中的“AD是△ABC中的∠BAC的平分线”改为“AD是△ABC的外角∠EAC的平分线”,又该如何证明?引出例题.
例已知:如图5,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D,
求证DB=DC
6.小结
⑴本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性质,要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念,理解圆内接四边形的性质定理;并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计算.
⑵我们结合《几何画板》的使用导出了圆内接四边形的性质,在这一过程中用到了许多数学方法(实验,观察,类比,分析,归纳,猜想等),同学们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的数学问题,提高我们的数学实践能力与创新能力.
《正多边形》
一、教学目标：
了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识解决实际问题．
二、教学重难点：
重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系
三、自主学习：
友情提示：动手尝试，并要求讲出画图的方法
问题1：给你一个圆，你能把这个圆周四等分吗？
问题2：你能把一个圆周五等分吗？请说出你的画法.
归纳：要把一个圆周进行等分，只要把圆心角进行等分就可以了.
一般地，要把一个圆周n等分，只要把周角n等分即可，每一个圆心角的度数是 .
问题3：顺次连结圆周上的四等分点，得到的是不是正方形呢？顺次连结圆周上的五等分点，得到的是不是正五边形呢？顺次连结圆周上的n等分点，得到的是不是正多边形呢？
4、正多边形的有关概念
正多边形的中心，正多边形的半径，
正多边形的中心角，
正多边形的边心距.
四、预习展示：
问题1、2、3均要在黑板展示，每组找三人
五、合作探究：
正多边形的中心角、半径、边心距以及边长之间有什么关系呢
友情提示：注意中心角与内角区别.将中心角、半径、边心距放到一个三角形中讨论，问题将容易解决.
（1）若已知正三角形的边长为1，你能求出哪些未知的量？
（2）正n边形的一个内角等于 度，中心角等于 度.
3、有一个亭子，如图，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m2）.
《3.8 弧长及扇形的面积》
教学内容
弧长和扇形面积
教学目标
1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．
2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．
3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．
教学重点
1．推导弧长及扇形面积计算公式的过程．
2．掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
教学难点
推导弧长及扇形面积计算公式的过程．
教学过程
一、导入新课
在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．
二、新课教学
1．弧长的计算公式．
思考：（1）如何计算圆周长？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？
（3）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
教师引导学生思考、分析、讨论，从而得出弧长的计算公式．
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是n°的圆心角所对的弧长为．
2．实例探究．
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．
解：由弧长公式，得的长
＝500π≈1 570（mm）．
因此所要求的展直长度
L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）．
3．扇形的概念和扇形面积的计算公式．
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？
思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．
4．弧长与扇形面积的关系．
我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？
∵l＝πR，S扇形＝πR2，
∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．
5．扇形面积的应用．
例2 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．
解：的长＝π×12≈25.1cm．
S扇形＝π×122≈150.7cm2．
因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．
三、巩固练习
教材第113页练习．
四、课堂小结
本节课应该掌握：
1．弧长的计算公式．
2．扇形的面积公式．
3．弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．
五、布置作业
习题24.4 第1、2题．
《弧长和扇形的面积》
探究1弧长的计算
1、半径为3cm的圆的周长： .请你写出圆的周长计算公式： ；
2、圆的半径为3cm，那么，1°的圆心角所对的弧长是
3、若在半径为R的圆中， 1°的圆心角所对的弧长是
2°的圆心角所对的弧长是
3°的圆心角所对的弧长是
n°的圆心角所对的弧长是
4、计算弧长的公式： .
体会公式：在你得到的半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长计算公式中，n的意义是什么？
哪些量决定了弧长？
5、新知应用
（1）在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长l= ；
（2）75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 ．
探究2扇形面积的计算
1、认识概念： 是扇形.
2、半径为3的圆的面积 .写出半径为R的圆的面积公式
3（1）若将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成 个小扇形，每个小扇形的圆心角为
（2）如果圆的半径为R，那么，圆心角1°的扇形面积等于 ；
圆心角2°的扇形面积等于 ；
圆心角3°的扇形面积等于
圆心角n°的扇形面积等于 ；
4、计算扇形面积的公式：
体会公式：在你得到的半径为R的圆中，n°圆心角所对的扇形面积计算公式中，n的意义是什么？哪些量决定了扇形面积？
5、新知应用
（1）、若扇形的圆心角n为50°，半径为R=1，则这个扇形的面积，S扇= ;
（2）、若扇形的圆心角n为60°, 面积为,则这个扇形的半径R= ;
（3）、若扇形的半径R=3, S扇形＝3π,则这个扇形的圆心角n的度数 ;
探究3扇形的面积与弧长的关系
1、如果扇形的半径为R，圆心角为n°.那么，扇形的弧长是 扇形面积是 ；
由此,得到扇形面积计算公式: S扇形＝ .
2、新知应用：
若扇形的半径R=2cm,弧长cm，则这个扇形的面积，S扇= ;
小结：你这节课有什么有什么收获？
达标测试:
1、一条弧所对的圆心角为120°，半径为3，那么这条弧长为 ．（结果用π表示）
2．圆心角为120°的扇形的半径为5cm，它的面积为 .
3、已知的长为20πcm，半径为2cm，那么扇形COD的面积是 ．
能力提升：如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积.
《3.8 弧长及扇形面积》
教学内容
24．4弧长和扇形面积（2）．
教学目标
1．了解母线的概念．
2．掌握圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
3．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．
教学重点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
教学难点
圆锥侧面积计算公式的推导过程．
教学过程
一、导入新课
师：大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？
生：见过，如漏斗、蒙古包．
师：你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．
生：圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．
师：圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．
二、新课教学
1．圆锥的母线．
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
2．探索圆锥的侧面公式．
思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
（1）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形．
（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l)．
3．利用圆锥的侧面积公式进行计算．
例 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1．8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（n取3．142，结果取整数）？
解：右图是一个蒙古包的示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2．高h2＝1.8 m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4(m)．
圆柱的底面圆的半径r＝≈1.945(m)，侧面积为2π×1.945×1.8≈22.10(m2)．
圆锥的母线长l＝≈2.404(m)，侧面展开扇形的弧长为2π×1.945≈12.28(m)，圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76(m2)．
因此，搭建20个这样的的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738(m2)．
三、巩固练习
教材第114页练习．
四、课堂小结
本节课应该掌握：
探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．
五、布置作业
习题24.4 第4、5、7题．
弧长和扇形的面积
教学目标
1、了解弧长的概念，理解n°的圆心角所对弧长的计算公式并熟练掌握它们的应用．
2、 通过复习圆的周长公式，探索n°的圆心角所对的弧长的计算公式，并应用这些公式解决问题。
及其它们的应用．
教学重难点
关键
重点：n°的圆心角所对的弧长
难点：公式的应用．
关键：由圆的周长迁移到弧长公式的过程．
教学方法
启发
运用的
信息技术工具
硬件：多媒体投影仪
软件：PPT
教学设计思路
1.复习引入2.探索新知3.概念辨析4.实际问题应用
教学过程
设计意图
时间安排
复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．圆的周长公式是什么？
2．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2R
（2）弧长就是圆周长的一部分．
二、探索新知
（幻灯片）请同学们独立完成下列问题：设圆的半径为R，则：
1．圆的周长可以看作几度的圆心角所对的弧？
2．1°的圆心角所对的弧长是多少？
3．2°的圆心角所对的弧长是多少？
4．60°的圆心角所对的弧长是多少？
5．n°的圆心角所对的弧长是多少？
（老师点评）根据同学们的回答，归纳得到：
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为（板书）
应用公式：
完成5小题练习（见课件）
通过上述练习让学生能熟练地对上述公式进行变形，从而求圆心角或半径。
概念辨析：
（1）若两条弧相等则两条弧长相等吗？
（2）若两条弧长相等则两条弧相等吗？
实际问题应用：
例１： 一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径是2km，一辆汽车以每时60km的速度通过弯道，需时20s,求弯道所对圆心角的度数？（精确到0.１°）
分析：根据题意，（1）你找出哪些量是已知？（圆的半径）
（2）能求出弯道的弧长吗？（即为汽车在20秒内经过的路程）
（3）根据弧长公式能求出问题的结论吗？
例2 ： 如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC＝15，⊙O的半径为Ｒ＝30，求弧BD的长。
（分析：要求弧BD的长根据弧长公式必须求出哪些量？（半径与弧所对的圆心角）而已知什么？（半径）那么关键求什么？（圆心角）如何添辅助线找出圆心角？能把∠BOD成为某个三角形的角吗，从而利用三角形的知识来解决？请同学们想想我们还可怎样添辅助线？请尝试。）
三、巩固练习
课本P104第5题、第6题练习．
四、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n°的圆心角所对的弧长L=；
2、弧长公式变形；
3．运用以上内容，解决具体问题．
复习引入新课题
从特殊到一般得出弧长公式
学生辨析，加深印象
应用于实际问题，熟练公式及其含义
1
6
10
3
15
7
3
板书设计
弧长公式：
变形：
例 1 例2
解： 解：
?练习：?
