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八上数学期末专题复习--三角形的概念答案
◆考点一：三角形的边与角：
典例精讲：例1
(1)解析：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，
则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，
∴三个内角分别为30°、60°、90°，
相应的三个外角分别为150°、120°、90°，
则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，
故答案为：5：4：3．
（2）解析：由题意，得8﹣3＜1﹣2a＜8+3，
即5＜1﹣2a＜11，解得：﹣5＜a＜﹣2．故选B．
（3）解析：∵AB∥CD，∠A=50°，
∴∠A=∠AOC（内错角相等），
又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，
∴∠C=50°÷2=25°．故选B．
（4）解析：如图，∠1=90°﹣60°=30°，
∴∠α=30°+45°=75°．故答案为：75°．
（5）解析：根据三角形的三边关系得：
A、5+3＜10，不能组成三角形，不符合题意； B、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、12+5＞13，能够组成三角形，符合题意； D、2+4＜8，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：C．
变式训练：
1.解析：根据三角形任意两边的和大于第三边，
A选项中，3+4=7＜8，不能组成三角形；
B选项中，5+6=11，不能组成三角形；
C选项中，5+6=11＜12，不能够组成三角形；
D选项中，3+4＞5，能组成三角形．
故选D．
2.解析：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=2：3：5，
∴∠C=
故答案为：54，90．
3.解析：∵∠B=47°，∠C=23°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=110°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=55°，故选：D．
4.解析：由题意可得，，
解得，11＜x＜15，
所以，x为12、13、14；
故选B．
5.解析：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，
180°﹣100°﹣50°=30°，
故答案为：30°．
◆考点二：定义与命题：
典例精讲：例2.
（1）.解析：A、若直线y=﹣kx﹣2过第一、三、四象限，则﹣k＞0，即k＜0，故本选项正确；B、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，故本选项错误；
C、如果∠A=∠B，那么∠A和∠B可能是等腰三角形的两个底角，故本选项错误；
D、如果a b=0，那么a=0或b=0，故本选项错误．
故选A．
（2）.解析：A、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离，故错误，是假命题，
故选B．
（3）.解析：①两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
②三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和，故原命题是假命题；
③一个三角形的最大角不会小于60°，最小角不会大于60°，故原命题是真命题；
④若函数y=（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限，则m=﹣2，故原命题是真命题． 故选B．21cnjy.com
变式训练：
1.解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以A选项为假命题；
B、直角三角形的两个锐角互余，所以B选项为真命题；
C、三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角之和，所以C选项为假命题；
D、三角形的一个外角大于任意一个与之不相邻得任意一个内角，所以D选项为假命题．
故选B．
2.解：A、如果|a|=1，那么a=1，是假命题，应为：如果|a|=1，那么a=±1，故本选项错误；
B、三个内角分别对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误；
C、如果a是有理数，那么a是实数，是真命题，故本选项正确；
D、两边一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误．
故选C．
3.解析：A、直角三角形的一个内角为32°，则另外一个锐角为58°，错误；
B、如果ab=0，那么a=0或b=0，错误；
C、如果a2=b2，那么a=b或a=﹣b，错误；
D、直角三角形中的两个锐角不能都大于45°，正确；
故选D
4解析：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
◆考点三：全等的概念：
典例精讲：例3（1）.解析：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
（2）解析：∵AE∥FD，∴∠A=∠D，
∵AB=CD，∴AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
∴△EAC≌△FDB（SAS），故选：A．
（3）解析：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选D．
4. 解析：∵AD是中线，，∵△ADB和△ADC等底同高，∴两三角形面积相等，故②正确。
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE（SAS）故④正确；
∴BF=CE，故①；
∴，故③正确；
故选择D
变式训练：
1.解析：添加条件可以是：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
∵添加∠A=∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，
添加∠ADC=∠ABC根据ASA判定△AOD≌△COB，
故填空答案：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
2.解析：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，
加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④
故选：B．
3.解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC=∠AOC，故选：A．
4.解析：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C
∴∠1=∠2（①正确）
∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF
∴△ABE≌△ACF（ASA）
∴AB=AC，BE=CF（②正确）
∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC
∴△ACN≌△ABM（③正确）
∴CN=BM（④不正确）．
所以正确结论有①②③．
故填①②③．
5.解析：∵△ABC≌△FED，∠A=40°，∠B=106°，
∴∠F=∠A=40°，∠E=∠B=106°，
∴∠EDF=180°﹣∠E﹣∠F=34°，
故答案为：34°．
6.解析：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选A．
巩固提升：
1.解析：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+4=7＜8，不能组成三角形；
B中，5+6=11，不能组成三角形；
C中，1+2=3，不能够组成三角形；
D中，5+6=11＞10，能组成三角形．
故选D．
2.解析：根据三角形的三边关系，得
第三边大于4cm，而小于8cm．
又第三边是偶数，则应是6cm．
故选C．
3.解析：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=70°×=35°，
∴∠BDC=50°+35°=85°，
故选：A．
4.解析：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；
D、所有的等边三角形全等，说法错误；
故选：C．
5.解析：A、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，有可能是相似形，故选项错误；
B、一条斜边对应相等的两个直角三角形，只有两个元素对应相等，不能判断全等，故选项错误；
C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，确定了顶角及底边，即两个等腰三角形确定了，可判定全等，故选项正确；21世纪教育网版权所有
D、两个等边三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，故选项错误．
故选C．
6.解析：∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，
∴∠BAC=68°．
∴∠BAD=∠DAC=34，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAE=20°．
故填B．
7.解析：选其中3根组成一个三角形，不同的选法有3cm，5cm，7cm；3cm，5cm，10cm；5cm，7cm，10cm；3cm，7cm，10cm；21教育网
能够组成三角形的只有：3cm，5cm，7cm；5cm，7cm，10cm；
共2种．
故选B．
8.解析：由全等三角形对应边相等得，①2x=7，解得x=3.5，
3x﹣5=8，解得x=4，
∵3.5≠4，∴此时不成立；
②2x=8，解得x=4，
3x﹣5=7，解得x=4，
此时成立，综上所述，x的值为4．
故选A．
9.解析：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=30°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=5°．
故选B．
10.解析：若加上∠3=∠4，
在△AOC和△BOC中，
∠1=∠2，OC=OC，∠3=∠4，
∴△AOC≌△BOC，故选项A能判定；
若加上∠A=∠B，
在△AOC和△BOC中，
∠1=∠2，∠A=∠B，OC=OC
∴△AOC≌△BOC，故选项B能判定；
若加上AO=BO，
在△AOC和△BOC中，
AO=BO，∠1=∠2，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC，故选项C能判定；
若加上AC=BC，
则已有的条件为两边及其中一边的对角对应相等，不满足全等的判定方法，
所以不能判定出△AOC和△BOC全等，故选项D不能判定．
故选D
11.解析：∵∠x=∠A+∠1=80°+30°=110°，∠4= [180°﹣∠A﹣（∠1+∠2）]=20°，
∴∠y=∠x+∠4=110°+20°=130°．
12.解析：∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC=
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB），
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=180°﹣130°=50°，
∴∠ABC+∠ACB=50°×2=100°，
∴∠A=180°﹣100°=80°．
故答案为：80°．
13.解析：∵∠A=40°，∠C=60°，
∴∠CBD=∠A+∠C=100°，
故答案为：100°．
14.解析：（1）在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°．
∵AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°．
在△ABC中，∠BAC=75°，
∴∠C=180°﹣（∠ABD+∠BAC）
=180°﹣（45°+75°）=60°．
在四边形DCEF中，
∵∠DFE=360°﹣（∠ADC+∠BEC+∠C）=360°﹣（90°+90°+60°）=120°．
∴∠AFB=∠DFE=120°．
15.解析：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，
∵∠A=26°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，
∴∠CDE=71°，
16.解析：∵∠AEC=110°，
∴∠AED=180°﹣∠AEC=180°﹣110°=70°，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠DAE=180°﹣2×70°=180°﹣140°=40°．
17.解析：在△ABD与△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，故②正确；
四边形ABCD的面积=
故③正确；
故正确答案为①②③
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八上数学期末专题复习--三角形的概念
◆考点一：三角形的边与角：
典例精讲：
例1.(1)三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为
（2）设三角形三边之长分别为3，，1﹣2a，则a的取值范围为（ ）
A．﹣6＜a＜﹣3 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5 D．a＜﹣5或a＞2
（3）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
（4）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是
（5）下列长度的三根线段，能构成三角形的是（ ）
A．3cm，10cm，5cm B．4cm，8cm，4cm C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm
变式训练：
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．12，5，6 D．3，4，5
2．已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=2：3：5，则∠B= ，∠C=
3．如图所示，在△ABC中，∠B=47°，∠C=23°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）A．40° B．45° C．50° D．55°
4．已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
5．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 21·cn·jy·com
◆考点二：定义与命题：
典例精讲：
例2.（1）下列命题是真命题的是（ ）
A．若直线y=﹣kx﹣2过第一、三、四象限，则k＜0
B．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等
C．如果∠A=∠B，那么∠A和∠B是对顶角
D．如果a b=0，那么a=0
（2）下列命题是真命题的是（ ）
A．两个锐角的和一定是钝角
B．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到该直线的距离
（3）下列命题中，真命题有（ ）
①同旁内角互补；
②三角形的一个外角等于它的两个内角之和；
③一个三角形的最大角不会小于60°，最小角不会大于60°；
④若函数y=（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限，则m=﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式训练：
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．直角三角形的两个锐角互余
C．三角形的一个外角等于它的两个内角之和 D．三角形的一个外角大于任意一个内角
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果|a|=1，那么a=1 B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等
C．如果a是有理数，那么a是实数 D．两边一角对应相等的两个三角形全等
3.下列命题，是真命题的是（ ）
A．直角三角形的一个内角为32°，则另外一个锐角为68° B．如果ab=0，那么a=0
C．如果a2=b2，那么a=b D．直角三角形中的两个锐角不能都大于45°
◆考点三：全等的概念：
典例精讲：
例3.（1）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
（2）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
（3）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）www.21-cn-jy.com
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
（4）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）2·1·c·n·j·y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式训练：
1．如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是 www-2-1-cnjy-com
2.．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）2-1-c-n-j-y
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（ ）21*cnjy*com
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有 （填序号）．【来源：21cnj*y.co*m】
5．如图，已知△ABC≌△FED，∠A=40°，∠B=106°，则∠EDF=
6．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
巩固提升：
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．1，2，3 D．5，6，10
2．若三角形两边长分别为6cm，2cm，第三边长为偶数，则第三边长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm21教育网
3．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A．85° B．80° C．75° D．70°
4．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
5．下列结论正确的是（ ）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等 B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 D．两个等边三角形全等
6．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为（ ）A．40° B．20° C．18° D．38°
7．长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根首尾顺次相连接组成三角形，选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣5，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）A．35° B．5° C．15° D．25°
10．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AOC≌△BOC的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠A=∠B C．AO=BO D．AC=BC
11．如图，∠1=∠2=30°，∠3=∠4，∠A=80°，则x= 度，y= 度．
12．如图，在△ABC中，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∠BIC=130°，则∠A=
13．如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，∠A=40°，∠C=60°，则∠CBD=
14．如图，在△ABC中，∠BAC=75°，AD、BE分别是BC、AC边上的高，AD=BD，则∠C，∠AFB21世纪教育网版权所有
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDE21·世纪*教育网
16．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE
17．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC BD，其中正确的结论是【来源：21·世纪·教育·网】
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