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八上数学期末专题复习--图形与坐标答案
◆考点四：坐标系中的图形平移和对称：
典例精讲：例4.
解析：如图所示，△A1OC1即为所求，由图可知，A1（﹣2，﹣4），C1（﹣3，﹣1）．
变式训练：
1.解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）A1（3，4），B1（2，2），C1（﹣1，2）；
（3）△AA1B1的面积为：3×3﹣×3×1﹣×2×3﹣×2×1=3.5．
2.解析：（1）如图所示；
（2）由图可知，A′（﹣2，0）、B′（1，1）、C′（0，﹣1）；
（3）∵点P（a，b），∴P′（a﹣2，b﹣3）．
3.解析：（1）如图所示：
（2）如图所示：A2（2，﹣3），B2（3，﹣1），C2（﹣2，2）．
（3）S△ABC=5×5﹣×3×5﹣×1×2﹣×5×4
=25﹣7.5﹣1﹣10=6.5．
◆考点五：图形与坐标的综合应用：
典例精讲：例5.
解析：（1）如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中，，
∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD=BO=2，∴B点坐标（0，2）；
故答案为：（0，2）；
（2）PB的长度不发生改变，
理由：如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，∴∠BAO=∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
∴△BAO≌△EBG（AAS），∴BG=AO，EG=OB，
∵OB=BF，∴BF=EG，
在△EGP和△FBP中，，
∴△EGP≌△FBP（AAS），∴PB=PG，
∴PB=BG=AO=3
即：PB的长度不发生改变，是定值为3．
变式训练：
1.解析：（1）如图，过A作AC⊥x轴于C，过B1作BD⊥x轴于D，
∵点A的纵坐标为2，∴AC=2，
∵AB=AO，∠ABO=30°，∴AO=2，OC=，BO=2=OB1，
∵∠B1DO=90°，∠DOB1=30°，
∴B1D=，OD=B1D=3，
∴点B关于直线MN的对称点B1的横坐标3；
（2）∵A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1，
∴线段AB1线段A1B关于直线MN对称，∴AB1=A1B，
而A1B=A1O+BO，A1O=AO，∴AB1=AO+BO．
典例精讲：例6
解析：（1）由题得m=2，n=2，∴A（2，2）；
（2）如图1，连结OC，
由（1）得AB=BO=2，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴∠BAO=∠BOA=45°，
∵△ABC，△OAD为等边三角形，
∴∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°，OA=OD
∴∠BAC﹣∠OAC=∠OAD﹣∠OAC
即∠DAC=∠BAO=45°
在△OBC中，OB=CB=2，∠OBC=30°，
∴∠BOC=75°，
∴∠AOC=∠BAO﹣∠BOA=30°，
∴∠DOC=∠AOC=30°，
在△OAC和△ODC中，∵，
∴△OAC≌△ODC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA=45°，
∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD；
（3）如图，在x轴负半轴取点M，使得OM=AG=b，连接BG，
在△BAG和△BOM中，∵，
∴△BAG≌△BOM，∴∠OBM=∠ABG，BM=BG
又∠FBG=45°，∴∠ABG+∠OBF=45°
∴∠OBM+∠OBF=45°，∴∠MBF=∠GBF
在△MBF和△GBF中，∵，
∴△MBF≌△GBF，∴MF=FG，∴a+b=c代入原式=0．即为定值。
变式训练：
1.解析：（1）∵B（4，0），C（4，3），∴BC=3，
∴S△ABC=×3×4=6；
（2）∵A（0，2）（4，0），
∴OA=2，OB=4，
∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP
=×4×2+×2（﹣m）=4﹣m，
又∵S四边形ABOP=2S△ABC=12，
∴4﹣m=12，解得：m=﹣8，∴P（﹣8，1）．
2.解析：（1）如图所示：
∵AC⊥x轴，CB⊥y轴，
∴A和C的横坐标相同，B和C的纵坐标相同，
∴A（5，3），C（5，6），
∵B在第二象限的角平分线上，
∴B（﹣6，6）；
（2）∵BC=5﹣（﹣6）=11，
∴△ABC的面积=×11×（6﹣3）=；
（3）设P的坐标为（a，﹣a），
则△BCP的面积=×11×（6+a），
∵△BCP面积大于12小于16，
∴12＜×11×（6+a）＜16，
解得：；
即点P横坐标取值范围为：．
巩固提升
1.解析：（1）如图所示；
（2）S△ABO=4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4=16﹣4﹣2﹣4=6．
2.解析：（1）如图；
（2）由图可知，A′（0，4）；B′（﹣1，1）；C′（3，1）；
故答案为：（0，4）；（﹣1，1）；（3，1）；
（3）设P（0，y），
∵△BCP与△ABC同底等高，
∴|y+2|=3，即y+2=3或y+2=﹣3，解得y1=1，y2=﹣5，
∴P（0，1）或（0，﹣5）．
3.解析：（1）右下边的图形即为所求．
（2）根据题意，可知：S=×3×4+×3×3=10.5．
4.解析：（1）填空：四边形ABCD内（边界点除外）一共有 13个整点．
（2）如下图所示：
∵S四边形ABCD=S△ADE+S△DFC+S四边形BEFG+S△BCG
S△ADE=×2×4=4， S△DFC=×2×5=5
S四边形BEFG=2×3=6， S△BCG=×2×2=2
∴S四边形ABCD=4+5+6+2=17
即：四边形ABCD的面积为17
5.解析：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2=0，∴a+1=0且b﹣3=0，
解得：a=﹣1，b=3，故答案为：1，3；
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，
∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB=1+3=4，
又∵点M（﹣2，m）在第三象限，∴MN=|m|=﹣m
∴S△ABM=AB MN=×4×（﹣m）=﹣2m；
（3）当m=﹣时，M（﹣2，﹣）
∴S△ABM=﹣2×（﹣）=3，
点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k）
S△BMP=5×﹣×2×（+k）﹣×5×﹣×3×k=﹣k+，
∵S△BMP=S△ABM，∴﹣k+=3，解得：k=0.3，
∴点P坐标为（0，0.3）；
②当点P在y轴负半轴上时，设点p（0，n），
S△BMP=5n﹣×2×（﹣n﹣）﹣×5×﹣×3×（﹣n）=﹣n﹣，
∵S△BMP=S△ABM，∴﹣n﹣=3，解得：n=﹣2.1
∴点P坐标为（0，﹣2.1），
故点P的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．
6.解析：（1）若底边BC在x轴上，则点B、点C的坐标可以是：（0，0）（4，0）；
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（n，0），则B、C关于点（2，0）对称，
∴m+n=4．
（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，点B、点C的坐标可以是：（2，0）（0，2）；
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（0，n），则点B、C关于直线y=x对称，
∴m=n．
故分别填：（0，0）（4，0），m+n=4，（2，0）（0，2），m=n（m、n≠4、0）．
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八上数学期末专题复习--图形与坐标
◆考点四：坐标系中的图形平移和对称：
典例精讲：例4.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，平移△ABC，使点B与坐标原点O重合，请在图中画出平移后的三角形A1OC1，并写出A1，C1的坐标．
变式训练：
1.已知，△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，现将△ABC先向上平移3个单位，再向左平移2个单位．
（1）画出两次平移后△ABC的位置（用△ABC表示）；
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）求△AA1B1的面积．
2．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，将△ABC向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度后得到△A′B′C′，
（1）请在图中作出平移后的△A′B′C′
（2）请写出A′、B′、C′三点的坐标；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），直接写出平移后点P的对应点的P′的坐标．
3．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2）三点在格点上．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标；（3）求出△ABC的面积．【来源：21·世纪·教育·网】
◆考点五：图形与坐标的综合应用：
典例精讲：例5.（1）如图①，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A、B分别在坐标轴上，若点C的横坐标为2，直接写出点B的坐标 ；（提示：过C作CD⊥y轴于点D，利用全等三角形求出OB即可）21cnjy.com
（2）如图②，若点A的坐标为（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF，等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值．若变化，求PB的取值范围．www-2-1-cnjy-com
变式训练：
如图，在平面直角坐标系中，点A的纵坐标为2，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上．
（1）求点B关于直线MN的对称点B1的横坐标；（2）求证：AB+BO=AB1．
典例精讲：例6.已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）2=0，过A作AB⊥y轴，垂足为B．
（1）求A点坐标．
（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．21世纪教育网版权所有
（3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG=45°，设OF=a，AG=b，FG=c，试探究的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由．21*cnjy*com
变式训练：
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点a（0，2），B（4，0），C（4，3）三点．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
2.已知点A（a，3），点B（b，6），点C（5，c），AC⊥x轴，CB⊥y轴，OB在第二象限的角平分线上：www.21-cn-jy.com
（1）写出A、B、C三点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P为线段OB上动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P横坐标取值范围．
巩固提升
1.如图：（1）将△ABO向右平移4个单位，画出平移后的图形．（2）求△ABO的面积．
2．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，（1）在图中画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′、C′的坐标；
A′的坐标为 ；B′的坐标为 ；C′的坐标为 ；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【出处：21教育名师】
3．已知如图，四边形ABCD坐标为A（9，0），B（5，1），C（5，4），D（2，4）．
（1）请在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，然后在平面直角坐标系中画出四边形ABCD．（2）求四边形ABCD的面积．2·1·c·n·j·y
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1）、B（5，1）、C（7，3）、D（2，5）．2-1-c-n-j-y
（1）填空：四边形ABCD内（边界点除外）一共有 个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；（2）求四边形ABCD的面积．【版权所有：21教育】
5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足
（1）填空：a= ，b= ；
（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．21教育网
6．研究性学习：
在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）．
（1）若底边BC在x轴上，请写出1组满足条件的点B、点C的坐标： ；
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（n，0），你认为m、n应满足怎样的条件？答：
（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出1组满足条件的点B、点C的坐标： ；21·世纪*教育网
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（0，n），你认为m、n应满足怎样的条件？答：
（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，则B，C一定关于直线y=x对称．
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