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八上数学期末专题复习--等腰三角形
◆考点一：等腰三角形的概念：
典例精讲：例1.（1）若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（ ）
A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对
（2）用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
（3）已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ）
A．30° B．75° C．105° D．30°或75°
（4）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和4cm，则它的周长为 cm．
（5）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是 .
变式训练：
1．已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为
2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为
3．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）21cnjy.com
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为30cm，则它的另两边长分别为（ ）
A．6cm，18cm B．12cm，12cm C．6cm，12cm D．6cm，18cm或12cm，12cm
5．已知一个等腰三角形的一个内角是50°，则这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是（ ）
A．50°，80° B．65°，65° C．50°，80°或65°，65° D．无法确定
◆考点二：等腰三角形的性质应用：
典例精讲：例2.（1）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，
则∠B的度数为
2．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
3．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（ ）www.21-cn-jy.com
A．7个 B．8个 C．10个 D．12个
变式训练：
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
3．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）
A．90° B．75° C．70° D．60°
4．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为何（ ）2·1·c·n·j·y
A．45 B．52.5 C．67.5 D．7521·世纪*教育网
5.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
◆考点三：轴对称概念：
典例精讲：
例3.（1）下列图案中，轴对称图形的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
（2）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
（3）下列图形对称轴最多的是（ ）
A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段
变式训练：
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
2．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
◆考点四：轴对称应用：
典例精讲
例4.（1）如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为 cm．21教育网
（2）如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式训练：
1．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．60° B．70° C．80° D．90°
2． 如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：
（1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）AB⊥BC；（4）AO=OC
其中正确的结论是 （把你认为正确的结论的序号都填上）．
巩固提升：
1．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
2．等腰三角形的两条边长分别是2cm和5cm，则该三角形的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．7cm
3．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
4．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系为（ ）
A．EF＞BE+CF B．EF=BE+CF C．EF＜BE+CF D．不能确定
5．如图，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAD=50°，BD=EC，则∠C=（ ）
A．20° B．50° C．30° D．40°
6．等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周长为17，则底BC为（ ）A．5 B．7 C．10 D．9
7.如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）21世纪教育网版权所有
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
9.一个三角形等腰三角形的两边长分别为13和7，则周长为
10．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 cm．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A
12．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 21·cn·jy·com
13．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
当DE=5时，则；当∠A=40°时，则∠DEF
14．如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∠B=20°，则∠A4= 度．
15．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
16，如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，
以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．（1）求证：△CBD≌△CAE．
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
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八上数学期末专题复习--等腰三角形答案
◆考点一：等腰三角形的概念：
典例精讲：例1.
（1）解析：①11cm是腰长时，腰长为11cm，
②11cm是底边时，腰长=（26﹣11）=7.5cm，
所以，腰长是11cm或7.5cm．
故选C．
（2）解：4cm是腰长时，底边为16﹣4×2=8，
∵4+4=8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为（16﹣4）=6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故选：B．
（3）解析：当75°角为底角时，顶角为180°﹣75°×2=30°；
75°角为顶角时，其底角=
所以其顶角为30°或75°．
故选D．
（4）解：∵等腰三角形的两边分别是4cm和7cm，
∴应分为两种情况：①4为底，7为腰，则4+7+7=18cm；
②7为底，4为腰，则7+4+4=15cm；
∴它的周长是15cm或18cm．
故答案为：15或18．
（5）解析：①7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，
所以，第三边为7；
②7是底边时，三角形的三边分别为3、3、7，
∵3+3=6＜7，
∴不能组成三角形，
综上所述，第三边为7．
故答案为7．
变式训练：
1.解析：分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22，
故答案为：22．
2.解析：设两个角分别是x，4x
①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x=180°，解得，x=30°，4x=120°，即底角为30°，顶角为120°；21世纪教育网版权所有
②当x是顶角时，则x+4x+4x=180°，解得，x=20°，从而得到顶角为20°，底角为80°；
所以该三角形的顶角为120°或20°．
故答案为：120°或20°．
3.解析：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选C．
4.解：∵等腰三角形的周长为30cm，三角形的一边长6cm，
∴若6cm是底边长，则腰长为：（30﹣6）÷2=12（cm），
∵6cm，12cm，12cm能组成三角形，
∴此时其它两边长分别为12cm，12cm；
若6cm为腰长，则底边长为：30﹣6﹣6=18（cm），
∵6+6＜18，
∴不能组成三角形，故舍去．
∴其它两边长分别为12cm，12cm．
故选B．
5.解：当50°是底角时，顶角为180°﹣50°×2=80°，
当50°是顶角时，底角为÷2=65°．
故这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是50°，80°或65°，65°．
故选：C．
◆考点二：等腰三角形的性质应用：
典例精讲：例2.
（1）解析：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，∴∠B=36°，
故答案为：36°．
2.解析：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选D．
3.解：∵，如图所示：
∴①若BA=BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．
故选：C．
变式训练：
1.解析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴（4）错误；
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．
故选C．
2.解析：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC
∵∠1=∠2，BE=CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°
∴△ADE是等边三角形．
故选B．
3.解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠DEF=180°﹣（∠EDF+∠EFC）=180°﹣120°=60°．
故选D．
4.解析：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣30°）=75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠DBE=75°﹣30°=45°，
∴∠BED=∠BDE=（180°﹣45°）=67.5°．
故选C
5.解析：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC=∠ACB=，
BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
所以共有5个等腰三角形．
故选D．
◆考点三：轴对称概念：
典例精讲：例3.
（1）解析：第1个、第2个、第3个都是轴对称图形，第4个不是轴对称图形，
故选A．
（2）解析：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．故选：A．
（3）解析：A、有4条对称轴，即两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线；
B、有3条对称轴，即各边的垂直平分线；
C、有1条对称轴，即底边的垂直平分线；D、有2条对称轴．
故选：A．
变式训练：
1.解析：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2.解析：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
◆考点四：轴对称应用：
典例精讲：例4
（1）解析：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
（2）解析：∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴∠CAD=∠BAC，∠ACD=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，AB=BC，故①②正确；
又∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，故④正确，
∵菱形ABCD不一定是正方形，
∴AB⊥BC不成立，故③错误，
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
故选C．
变式训练：
1.解析：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，
∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，
∵∠MON=35°，
∴∠GOH=2×35°=70°．
故选B．
2.解析：∵L是四边形ABCD的对称轴，
∴AO=CO，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
又∠AOD=∠BOC=90°，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AD=BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴①AB∥CD，正确；
②AB与BC是关于L的对应线段，所以相等，正确；
③AB与BC相交于点B，错误；
④AO=CO，正确．
故正确的是①②④．
故答案为：①②④．
巩固提升：
1.解析：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
2.解析：当2cm为腰时，三边为2cm，2cm，5cm，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5cm为腰时，三边为5cm，5cm，2cm，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2=12cm．
故选B．
3.解析：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C=
故选：B．
4.解析：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE，
同理DF=FC，
∴ED+DF=BE+FC，
即EF=BE+FC，
故选B．
5.解析：∵∠ADB=∠AEC=100°，
∴∠ADE=∠AED=80°，
∴AD=AE，
∵∠BAD=50°，
∴∠B=180°﹣100°﹣50°=30°，
在△ADB与△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
故选C．
6. 解析：设AB的中点为D，
∵DG为AB的垂直平分线
∴GA=GB （垂直平分线上一点到线段两端点距离相等），
∴三角形GBC的周长=GB+BC+GC=GA+GC+BC=AC+BC=17，
又∵三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC，
∴AB+BC=17，
∴BC=17﹣AB=17﹣10=7．
故选B．
7.解析：根据题意，∠BPC=360°﹣60°×2﹣90°=150°
∵BP=PC，
∴∠PBC=（180°﹣150°）÷2=15°，
①正确；
根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，
∴②AD∥BC，③PC⊥AB正确；
④也正确．
所以四个命题都正确．
故选D．
8. 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=∠A=×30°=15°．
故选A．
9.解析：当腰长为13时，则三角形的三边长为13、13、7，此时满足三角形三边关系，周长为33；
当腰长为7时，则三角形的三边长为7、7、13，此时满足三角形三边关系，周长为27；
综上可知，周长为33或27，
故答案为：33或27．
10.解析：①6cm是底边时，腰长=（20﹣6）=7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边=20﹣6×2=8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6或8cm．
故答案为：6或8．
11.解析：∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
12.解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
故答案为：45．
13.解析：∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵AB=AD+BD，AB=AD+EC，∴BD=EC．
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS）
∴DE=EF=5，
故答案为5
∵∠A=40°，
∴∠B=∠C==70°，
∴∠BDE+∠DEB=110°．
又∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．
故答案为
14.解析：∵AB=A1B，∠B=20°，
∴∠A=∠BA1A=（180°﹣∠B）=（180°﹣20°）=80°
∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4
∴∠A1CD=∠A1A2C，
∵∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8A4
∴∠A4=10°．故填10．
15.解析：（1）∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC．
（2）解：△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∴△OEF为等腰三角形．
16.解析：（1）∵△ABC、△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=∠DBC=60°，
∵∠ACD+∠ACB=∠DCB，∠ECD+∠ACD=∠ECA，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ECA≌△DCB，
∴∠EAC=∠DBC=60°，
又∵∠ACB=∠DBC=60°，
∴∠EAC=∠ACB=60°，
∴AE∥BC．
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