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八上数学期末专题复习--角平分线和中垂线
◆考点一：角平分线的性质：
典例精讲：
例1.（1）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 21·cn·jy·com
（2）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．421*cnjy*com
（3）如图：求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等．
变式训练：
1．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC、AB两边上的高的交点
D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠BAD=∠CAD，AB=6，AC=3，S△ABD=3，则S△ACD=（ ）
A．3 B．6 C． D．
◆考点二：中垂线的性质：
典例精讲：
例2.（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，则MN的长为________
（2）如图，AB=AC，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
（3）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）21·世纪*教育网
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
变式训练：
1．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= 【出处：21教育名师】
2．如图，已知在△ABC中，AB=7，BC=6，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则△BCD的周长为
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
◆考点三：中垂线的性质的综合应用：
典例精讲：
例3.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是
（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．①求BC的长；
②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
变式训练：
已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，现要在AB边上确定一点D，使点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）请你按照要求，在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出(不写作法但保留作图痕迹) ．
（2）简单说明你作图的依据.
（3）在（1）的条件下，若等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，请求出△BCD的周长.
◆考点四：翻折问题：
典例精讲：
例4.（1）如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则CE的长为
（2）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
变式训练：
1．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）21教育网
A．∠DAB′=∠CAB′ B．∠ACD=∠B′CD C．AD=AE D．AE=CE
2．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 2·1·c·n·j·y
3.如图，等边△ABC的边长为10cm，D、E分别是AB、AC边上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
巩固提升：
1．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N．连接MB，若AB=8，△MBC的周长是14，则BC的长为 21世纪教育网版权所有
2．如图，已知△ABC中，∠BAC=140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为 www-2-1-cnjy-com
3．如图，AB+AC=7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为
4．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于点D，E，连接DC，若BD=2，则线段AC21cnjy.com
5．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 21教育名师原创作品
6．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上）．
7．如图，△ABC的周长为22cm，∠ABC，∠ACB的平分线交于O，OD⊥BC于D，且OD=3cm，则△ABC的面积为 cm2．www.21-cn-jy.com
8．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 cm．
9．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC= 2-1-c-n-j-y
10．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠CBA交AC于点E，过E作ED⊥AB于D点，当∠A= 时，ED恰为AB的中垂线．【版权所有：21教育】
11．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
12．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
13．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm21*cnjy*com
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
15．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
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八上数学期末专题复习--角平分线和中垂线答案
◆考点一：角平分线的性质：
典例精讲：例1.
（1）解析：根据垂线段最短，PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=3．
故答案为：3．
（2）解析：∵OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP（AAS），
在Rt△AOP与Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴图中有3对全等三角形．
故选：C．
（3）解：如图，点P即为所求．
（1）作∠AOB 的平分线OC；
（2）连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，
则P点即为所求．
变式训练：
1.解析：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的角平分线上；
又∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选B．
2.解析：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=BD，
∵BC=3，
∴CD=DE=1，
故选A．
3.解析：过D作DP⊥AC交AC的延长线于P，DQ⊥AB于Q，
∵∠BAD=∠CAD，∴DP=DQ，
∵S△ABD=AB DQ= DQ=3，
∴DQ=1，∴DP=1，
∴S△ACD= AC DP=，
故选：C．
◆考点二：中垂线的性质：
典例精讲：例2.
（1）解析：连接AM，AN，
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，
∴AN=CN，AM=BM，
∴∠CAN=∠C=30°，∠BAM=∠B=30°，
∴∠ANC=∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=CN，
∵BC=8cm，
∴MN=cm．
故答案为： cm．
（2）.解析：根据题意，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，
∴∠B=35°，
又AB的垂直平分线交BC于点D，
∴∠BAD=∠B=35°，
在△BAD中，∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠ADC=70°．
故答案选C．
（3）解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=CE=AC，
∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=6cm，∴AE=3cm，
故选A．
变式训练：
1.解析：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°，
故答案为：96°．
2.解析：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵AB=7，
∴AD+BD=7，
∴CD+BD=7，
∵BC=6，
∴△BCD的周长是CD+BD+BC=7+6=13，
故答案为：13
3.解析：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故C正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故D错误．
故选D．
◆考点三：中垂线的性质的综合应用：
典例精讲：例3
解析：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴∠ABN=∠A=40°，
∴∠ANB=100°，
∴∠MNA=50°；
故答案为50°．
（2）①∵AN=BN，
∴BN+CN=AN+CN=AC，
∵AB=AC=8cm，
∴BN+CN=8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC=14﹣8=6cm．
②∵A、B关于直线MN对称，
∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，
即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，
∴△PBC的周长最小值为14cm．
变式训练：
解析：（1）如图
（2）作图依据_两点确定一条直线；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
（3）解: ∵DE垂直平分AC
∴AD=CD
又∵等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5
∴ 等腰三角形ABC的腰AB=（21-5）2=8
∴ △BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AD+BD=BC+AB=5+8=13
◆考点四：翻折问题：
典例精讲：例4.
（1）解析：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=6；
由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2，而AD=8，
∴AC=10；由题意得：
∠AFE=∠B=90°，
AF=AB=6；设EF=EB，
∴CF=10﹣6=4，CE=；
由勾股定理得：
解得：，
∴CE=5，
故答案为5．
（2）解：∵ABCD为矩形
∴∠A=∠C，AB=CD
∵∠AEB=∠CED
∴△AEB≌△CED（故D选项正确）
∴BE=DE（故A选项正确）
∠ABE=∠CDE（故B选项不正确）
∵△EBA≌△EDC，△EBD是等腰三角形
∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．（故C选项正确）
故选：B．
变式训练：
1.解析：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC=∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAB′，
∴AE=CE，
所以，结论正确的是D选项．故选D．
2.解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BND中，x2+32=（9﹣x）2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故答案为：4．
3.解析：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=30cm．
故答案为：30．
巩固提升：
1.解析：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8，△MBC的周长是14，
∴BC=14﹣8=6．
故答案为：6．
2.解析：如图，∵∠BAC=140°，
∴∠B+∠C=180°﹣140°=40°；
由题意得：∠B=∠DAB（设为α），∠C=∠EAC（设为β），
∴∠ADE=2α，∠AED=2β，
∴∠DAE=180°﹣2（α+β）=180°﹣80°=100°，
故答案为100°．
3.解析：∵AB+AC=7，D是AB上一点，点D在BC的垂直平分线上，
∴BD=CD，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=7．
故答案为：7．
4.解析：∵∠ACB=60°，∠B=90°，
∴∠A=30°，
∵DE是斜边AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCB=30°，
∴BC=BD=2，
∴AC=2BC=4．
5.解析：∵BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，
∴BE=EC，BC=2BD=8；
又∵△ABE的周长为14，
∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14；
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；
故答案是：22．
6.解析：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AD=AD，PR=PS，
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D．
在△ARD和△ASD中，
，
所以△ARD≌△ASD．
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
所以AP垂直平分RS，故④正确．
故答案为：①②④．
7.解析：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=3cm，
∴△ABC的面积=（AB+BC+AC）×3=33cm2；
故答案为：33．
8.解析：DE=CD，BE=BC=7cm，
∴AE=AB﹣BE=3cm，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．
9.解析：连接BD
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠DBA=∠A=30°
∴∠CBD=30°
∴BD=2CD=4
∴AC=CD+AD=CD+BD=2+4=6．
答案6．
10.解析：当∠A=30°时，ED恰为AB的中垂线，
理由是：∵BE平分∠CDA，
∴∠CBE=∠DBE，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，
∴∠EBD=∠CBE=∠CBA=30°，
即∠A=∠EBA，
∴BE=AE，
∵ED⊥AB，
∴BD=AD，
即当∠A=30°时，ED恰为AB的中垂线，
故答案30°．
11.解析：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选：A．
12.解析：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
13.解析：∵AB的垂直平分AB，
∴AE=BE，BD=AD，
∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm，
∴△ABC的周长是9+2×3=15cm，
故选：C．
14.解析：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°．
故选：B．
15.解：如图，由题意得：△ADE≌△BDE，
∴∠A=∠ABE=40°；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=，
∴∠CBE=30°，
故选B．
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