4.2
平面直角坐标系(二)
1．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(－1，1)，(－1，－1)，(1，－1)，则顶点D的坐标为(1，1)．
2．如图，若小明家A的位置表示为(1，1)，学校B的位置表示为(3，3)，则工厂C的位置表示为(0，6)．
(第2题)
3．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①△(a，b)＝(－a，b)；②○(a，b)＝(－a，－b)；③□(a，b)＝(a，－b)．按照以上变换，例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(□(3，4))＝(－3，4)．
4．如图，若“士”所在位置坐标为(－1，－2)，“相”所在位置的坐标为(2，－2)，则“将”所在位置的坐标为(0，－2)．
(第4题)
5．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的位置如图所示，若点A，B，C的横坐标之和为a，纵坐标之和为b，求a－b的值．
,(第5题))
【解】 观察图形可知，点A(－1，－4)，B(0，－1)，C(4，4)，
∴a＝－1＋0＋4＝3，b＝－4－1＋4＝－1，
∴a－b＝3－(－1)＝4.
(第6题)
6．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a，b＋1)，求a与b的数量关系．
【解】 连结OP.
根据作法可知，OP为∠MON的平分线．
根据角平分线的性质可得：点P到x轴，y轴的距离相等，
∴|2a|＝|b＋1|.
又∵点P(2a，b＋1)在第二象限，
∴2a＜0，b＋1＞0，∴－2a＝b＋1，
∴2a＋b＝－1.
7．已知点P在第二象限，有序数对(m，n)中的整数m，n满足m－n＝－6，则符合条件的点P共有(A)
A．5个
B．6个
C．7个
D．无数个
【解】 ∵点P(m，n)在第二象限，
∴m<0，n>0.
∵m－n＝－6，∴m＝n－6，∴n－6<0，
∴n<6，∴0又∵m，n为整数，
∴n＝1或2或3或4或5，
∴点P共有5个．
(第8题)
8．如图，长方形ABCD的面积为8，点C的坐标为(0，1)，点D的坐标为(0，3)，则点A的坐标为(－4，3)，点B的坐标为(－4，1)．
【解】 易得CD＝3－1＝2，
∴AD＝BC＝8÷2＝4，
∴点A(－4，3)，B(－4，1)．
9．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P60的坐标是(20，0)．
(第9题)
【解】 ∵点P3(1，0)，P6(2，0)，P9(3，0)，…，
∴点P3n(n，0)．
当n＝20时，点P60(20，0)．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)．
(1)求△ABC的面积．
(2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
(第10题)
【解】 (1)过点C作CH⊥x轴于点H.
S△ABC＝S梯形AOHC－S△AOB－S△CHB
＝(1＋3)×4－×1×2－×2×3＝4.
(2)当点P在x轴上时，设点P(x，0)．
由题意，得S△APB＝BP·AO＝|x－2|×1＝4，解得x＝－6或10，
故点P(－6，0)或点P(10，0)．
当点P
在y轴上时，设点P(0，y)．
由题意，得S△ABP＝AP·BO＝|y－1|×2＝4，解得y＝－3或5，
故点P(0，－3)或点P(0，5)．
综上所述，点P的坐标为(－6，0)或(10，0)或(0，－3)或(0，5)．
11．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：点P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，….根据这个规律，求点P2018的坐标．
(第11题)
【解】 2018÷4＝504……2.
∵点P2(0，1)，P6(－1，2)，P10(－2，3)，…，
∴点P4n＋2(－n，n＋1)(n为自然数)．
∴点P2018的坐标为(－504，504＋1)，
即点P2018(－504，505)．
(第12题)
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形OABC中，点A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标．
【解】 ∵四边形OABC是长方形，
∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10.
∵D为OA的中点，
∴OD＝AD＝5.
①当PO＝PD时，点P在OD的垂直平分线上，
∴点P的坐标为(2.5，4)．
②当OP＝OD时，如解图①所示．
则OP＝OD＝5，PC＝＝3，
∴点P的坐标为(3，4)．
(第12题解①)
③当DP＝DO时，过点P作PE⊥OA于点E，
则∠PED＝90°，DE＝＝3.
分两种情况讨论：当点E在点D的左侧时，如解图②所示．
(第12题解②)
此时OE＝5－3＝2，
∴点P的坐标为(2，4)．
当点E在点D的右侧时，如解图③所示．
(第12题解③)
此时OE＝5＋3＝8，
∴点P的坐标为(8，4)．
综上所述，点P的坐标为(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．4.2
平面直角坐标系(一)
1．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形网格的格点A的坐标为(－3，5)，则它到x轴的距离是__5__，到y轴的距离是__3__，到原点的距离是____．格点B，C的坐标分别为B(1，5)，C(4，2)．若点D(－3，－4)，则它到x轴的距离为__4__，到y轴的距离为__3__，到原点的距离为__5__．
(第1题)
2．在平面直角坐标系中，点P(－2，－3)所在的象限是(C)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3．已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在(A)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
4．(1)已知点P(3－m，m)在第二象限，则m的取值范围是(C)
A.
m>0
B.
m<0
C.
m>3
D.
0(2)若y轴上的点M到x轴的距离为2.5，则点M的坐标为(D)
A.
(2.5，0)
B.
(0，－2.5)
C.
(0,
2.5)
D.
(0，2.5)
或(0，－2.5)
(第4题)
(3)如图，在第二象限内的点是(D)
A．P1，P2，P3
B．P1，P2
C．P1，P3
D．P1
5．(1)若点P(2－a，3a＋6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为(D)
A．(3，3)
B．(3，－3)
C．(6，－6)
D．(3，3)或(6，－6)
(第5题)
(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点B，C在x轴上，AB⊥x轴于点B，DA⊥AB.若AD＝5，点A的坐标为(－2，7)，则点D的坐标为(C)
A．(－2，2)
B．(－2，12)
C．(3，7)
D．(－7，7)
(3)已知点A(5，4)，B(5，8)，则线段AB的位置特征和AB的长度分别是(D)
A．与x轴相交，AB＝4
B．与y轴相交，AB＝3
C．与x轴平行，AB＝3
D．与y轴平行，AB＝4
6．在如图所示的平面直角坐标系中，写出点A，B，C，D，E，F的坐标．
(第6题)
【解】 点A的坐标为(3，2)；点B
的坐标为(－3，－2)；点C的坐标为(0，2)；点D的坐标为(－3，0)；点E的坐标为(2，－1)；点F的坐标为(－2，1)．
7．(1)已知点P(a－1，3a＋6)在y轴上，求点P的坐标．
(2)已知点A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．
【解】 (1)∵点P(a－1，3a＋6)在y轴上，
∴横坐标为0，即a－1＝0，∴a＝1.
∴点P的坐标为(0，9)．
(2)∵AB∥x轴，
∴点A(－3，m)，B(n，4)的纵坐标相等，
∴m＝4.
∵AB∥x轴，点B的坐标为(n，4)，
∴A，B两点不能重合，∴n
的取值范围为n≠－3.
8．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3a－5，a＋1)．
(1)若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
(2)若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值及点A的坐标．
【解】 (1)∵点A在y轴上，
∴3a－5＝0，∴a＝，∴a＋1＝.
∴点A的坐标为.
(2)∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴|3a－5|＝|a＋1|，∴3a－5＝±(a＋1)．
①当3a－5＝a＋1时，解得a＝3，则点A(4，4)；
②当3a－5＝－(a＋1)时，解得a＝1，则点A(－2，2)．
9．(1)在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限，则点B(a，b)在(D)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
【解】 ∵点A(a，－b)在第一象限，
∴a>0，－b>0，∴b<0，
∴点B(a，b)在第四象限．
(2)已知点P(x－2，x＋3)在第一象限，则x的取值范围是x>2．
【解】 ∵点P(x－2，x＋3)在第一象限，
∴解得x>2.
(3)已知点M在第一、三象限的角平分线上，则x＝6或－．
【解】 ∵点M在第一、三象限的角平分线上，
∴|x|＝x＋1，∴x＝6或－.
(4)在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点……则边长为8的正方形内部的整点个数为__49__．
(第9题)
【解】 边长为1和2的正方形内部有1个整点，边长为3和4的正方形内部有9个整点，边长为5和6的正方形内部有25个整点，从而推出边长为7和8的正方形内部有49个整点．
(第10题)
10．如图，已知点A的坐标为(－3，－4)，点B的坐标为(5，0)．
(1)求证：OA＝OB.
(2)求△AOB的面积．
(3)求原点O到AB的距离．
【解】 (1)过点A作AD⊥x轴于点D.
∵点A(－3，－4)，
∴OD＝3，AD＝4，∴OA＝5.
∵OB＝5，∴OA＝OB.
(2)S△AOB＝OB·AD＝×5×4＝10.
(3)过点O作OE⊥AB于点E.
∵AB＝＝＝4
，
S△AOB＝AB·OE，
∴×4
×OE＝10，∴OE＝.
11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把P1(y－1，－x－1)叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4……这样依次得到点An(n为正整数)．
(1)若点A1的坐标为(2，1)，则点A3的坐标为(－4，－1)，点A2018的坐标为(0，－3)．
(2)若点A2018的坐标为(－3，2)，设点A1(x，y)，求x＋y的值．
(3)设点A1的坐标为(a，b)，若点A1，A2，A3，…，An均在y轴的左侧，求a，b的取值范围．
【解】 (1)∵点A1(2，1)，
∴点A2(0，－3)，∴点A3(－4，－1)，
∴点A4(－2，3)，∴点A5(2，1)……
∴点A4a＋1(2，1)，A4a＋2(0，－3)，A4a＋3(－4，－1)，A4a＋4(－2，3)(a为自然数)．
∵2018＝504×4……2，
∴点A2018的坐标为(0，－3)．
(2)∵点A2018的坐标为(－3，2)，
∴点A2017(－3，－2)，∴点A1(－3，－2)，
∴x＋y＝－5.
(3)∵点A1(a，b)，∴点A2(b－1，－a－1)，A3(－a－2，－b)，A4(－b－1，a＋1)．
∵点A1，A2，A3，…，An均在y轴的左侧，
∴且
解得－2＜a＜0，－1＜b＜1.
12．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有(C)
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
(第12题)
(第12题解)
【解】 如解图．
①以A为直角顶点，可过点A作直线垂直于AB，与坐标轴交于点P1.
②以B为直角顶点，可过点B作直线垂直于AB，与坐标轴交于点P2，P3.
③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，则圆心为AB的中点I，与坐标轴交于点P4，P5，P6(由AI＝BI＝PI可得出∠APB为直角)．
所以满足条件的点P共有6个．
