4.3
坐标平面内图形的轴对称和平移(一)
1．(1)点A(3，－2)关于x轴的对称点的坐标是(3，2)．
(2)若点(a，－2)与点(－3，b)关于x轴对称，则a＝__－3__，b＝__2__；若点(a，－2)与点(－3，b)关于y轴对称，则a＝__3__，b＝__－2__．
(第2题)
2．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A,
B,
C,
D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是点B．
3．若点(a，1)与(－2，b)关于原点对称，则ab的值为____．
4．如果点P(－2，b)和点Q(a，－3)关于x轴对称，则a＋b的值为__1__．
5．已知点P(2，－3)关于x轴的对称点为P1，P1关于y轴的对称点为P2，则点P2的坐标为(－2，3)．
6．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(1，0)，点C是点A关于点B的对称点，则点C的坐标为(0，－3)．
7．一个图案上各点的横坐标都不变，纵坐标变为原来的相反数，但图案却未发生任何变化，则下列叙述中，正确的是(C)
A．原图案各点一定都在x轴上
B．原图案各点一定都在y轴上
C．原图案是轴对称图形，对称轴是x轴
D．原图案是轴对称图形，对称轴是y轴
8．已知点A(a－2，6)和点B(1，b－2)关于x轴对称，求(a＋b)2017的值．
【解】 ∵点A(a－2，6)和点B(1，b－2)关于x轴对称，
∴a－2＝1，b－2＝－6，解得a＝3，b＝－4.
∴(a＋b)2017＝(3－4)2017＝－1.
9．若|x＋2|＋|y－1|＝0，试问：P(x，y)，Q(2x＋2，y－2)两点之间有怎样的位置关系？
【解】 ∵|x＋2|＋|y－1|＝0，
∴x＋2＝0，y－1＝0，解得x＝－2，y＝1.
∴点P的坐标为(－2，1)，点Q的坐标为(－2，－1)．
∴P，Q两点关于x轴对称．
10．已知点A(a，3)，B(－3，b)，若点A，B关于x轴对称，则点P(－a，－b)在第一象限；若点A，B关于y轴对称，则点P(－a，－b)在第三象限．
【解】 若点A，B关于x轴对称，则a＝－3，b＝－3，则点P(－a，－b)，即(3，3)在第一象限．若点A，B关于y轴对称，则a＝3，b＝3，则点P(－a，－b)，即(－3，－3)在第三象限．
11．若点P在第二象限，则点Q(a，b)关于x轴的对称点在(B)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解】 ∵点P在第二象限，∴
∴∴点Q在第三象限，
∴点Q关于x轴的对称点在第二象限．
12．已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(A)
【解】 ∵点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点(1－2m，1－m)在第一象限，
∴解得故选A.
13．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(－1，4)，B(－4，1)，C(－2，1)．
(第13题)
(1)作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，再作出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2.
(2)比较△ABC和△A2B2C2各顶点的坐标和图形的位置，你能得到什么结论？
【解】 (1)易得A，B，C各点关于x轴的对称点分别是A1(－1，－4)，B1(－4，－1)，C1(－2，－1)，A1，B1，C1关于y轴的对称点分别是A2(1，－4)，B2(4，－1)，C2(2，－1)．顺次连结分别得到△A1B1C1和△A2B2C2，如图所示．
(2)△ABC和△A2B2C2各顶点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．将△ABC绕点O旋转180°可得到△A2B2C2.
14．如图，某公路(可视为x轴)的同一侧有A，B，C三个村庄，要在公路边建一货仓D，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D.
(1)试问：在公路边是否存在一点D，使送货路程最短？
(2)求出点D的坐标，并说明理由．
(第14题)
【解】 (1)存在．
(2)∵路程即为DA＋AB＋BC＋DC，AB＋BC的长度固定，∴要使路程最短，只需DA＋DC最短即可．
作点A关于x轴的对称点A′(0，－2)，连结A′C，则A′C与x轴的交点即为点D.
过点C作CE⊥x轴于点E，则点E(5，0)，易得△OA′D≌△ECD，得OD＝ED，∴点D.4.3
坐标平面内图形的轴对称和平移(二)
1．将点A(2，1)向上平移3个单位得到点B，则点B的坐标是(D)
A.
(5，1)
B.
(－1，4)
C.
(5，4)
D.
(2，4)
2．将点A(1，3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为(C)
A.
(－2，－1)
B.
(－1，0)
C.
(－1，－1)
D.
(－2，0)
3．把以
(－2，7)，(－2，2)为端点的线段向右平移7个单位，所得像上任意一点的坐标可表示为(5,__y)(2≤y≤7)．
4．(1)如图，线段A1B1是线段AB平移后得到的．若C(a，b)是线段AB上的任意一点，则当AB平移到A1B1后，点C的对应点C1的坐标是(a＋6，b＋2)．
(第4题)
(2)已知点P的坐标为(1，1)，若将点P绕原点顺时针旋转45°，得到点P1，则点P1的坐标为(，0)．
(3)在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知点A(－2，3)，B(－3，1)，A1(3，4)，则点B1的坐标为(2，2)．
(4)把点P(a，－4)向右平移2个单位，所得的像与点P关于y轴对称，则a＝－1．
5．已知△ABC的顶点坐标分别是A(0，6)，B(－3，－3)，C(1，0)，将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是(4，10)，求点B的对应点B1的坐标．
【解】 ∵点A(0，6)平移后的对应点为A1(4，10)，4－0＝4，10－6＝4，
∴△ABC向右平移了4个单位，向上平移了4个单位，
∴点B的对应点B1的坐标为(－3＋4，－3＋4)，即(1，1)．
6．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的方格纸中，给出了△ABC(顶点是格线的交点)．
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移后得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点三角形A2B2C2，使A2B2＝C2B2.
(第6题)
【解】 (1)如解图中△A1B1C1所示．
(2)如解图中△A2B2C2所示(答案不唯一)．
(第6题解)
7．在平面直角坐标系中，点P的坐标为(a＋1，3a－1)．将点P向下平移2个单位，再向左平移2个单位后得到点Q，若点Q在第一象限，求a的取值范围．
【解】 ∵将点P(a＋1，3a－1)向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点Q，
∴点Q的坐标为(a，3a－3)．
∵点Q在第一象限，
∴解得a＞1.
8．如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a＋b的值为__2__．
(第8题)
【解】 ∵点B平移前后的纵坐标分别为1，2，
∴线段AB向上平移了1个单位．
∵点A平移前后的横坐标分别为2，3，
∴线段AB向右平移了1个单位．
∴a＝0＋1＝1，b＝0＋1＝1.
∴a＋b＝2.
(第9题)
9．如图，点P的坐标为(4，3)，把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q.
(1)点Q的坐标为(－3，4)．
(2)若把点Q向右平移m个单位，向下平移2m个单位后，得到的点Q′恰好在第三象限，求m的取值范围．
【解】 (2)把点Q(－3，4)向右平移m个单位，向下平移2m个单位后，得到的点Q′的坐标为(－3＋m，4－2m)．
∵点Q′在第三象限，
∴解得210．对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)，且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)．比如，P1(1，2)＝(3，－1)，P2(1，2)＝P1(P1(1，2))＝P1(3，－1)＝(2，4)，P3(1，2)＝P1(P2(1，2))＝P1(2，4)＝(6，－2)．根据以上规定，求P2018(1，－1)．
【解】 根据题意，得
P1(1，－1)＝(0，2)，
P2(1，－1)＝(2，－2)，
P3(1，－1)＝(0，4)，
P4(1，－1)＝(4，－4)，
P5(1，－1)＝(0，8)，
P6(1，－1)＝(8，－8)，
……
∴当n为正整数时，P2n(1，－1)＝(2n，－2n)，
∴P2018(1，－1)＝(21009，－21009)．
11．已知正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，点A(－2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转．若每次翻转60°，则经过2017次翻转之后，点B的坐标为(4032，0)．
(第11题)
【解】 如解图，易得每6次为一个循环组依次循环．
(第11题解)
∵2017÷6＝336……1，∴经过2017次翻转之后，为第337个循环组的第1次结束．
∴点B2017的横坐标为336BB6＝336×2×6＝4032，纵坐标为0.
∴经过2017次翻转之后，点B的坐标为(4032，0)．
