5.3
一次函数(二)
1．已知在一次函数y＝kx＋3中，当x＝2时，y＝5，则k的值为(A)
A.
1
B.
－1
C.
5
D.
－5
2．有一本新书，每10张厚为1
mm，设从第1张到第x张的厚度为y(mm)，则(A)
A.
y＝x
B.
y＝10x
C.
y＝＋x
D.
y＝
3．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m＝__5__．
x
1
2
3
y
3
m
7
4.已知s是t的一次函数，且当t＝1时，s＝2；当t＝－2时，s＝23.
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)求当t＝2时，函数s的值．
【解】 (1)设一次函数的表达式为s＝kt＋b(k≠0)．
由题意，得解得
∴s＝－7t＋9.
(2)当t＝2时，s＝－7×2＋9＝－5.
5．已知z＝m＋y，m是常数，y是x的正比例函数．当x＝2时，z＝1；当x＝3时，z＝－1，求z与x之间的函数表达式．
【解】 设y＝kx，则z＝m＋kx.
根据题意，得
解得
∴z与x之间的函数表达式为z＝－2x＋5.
6．已知4y＋3m与2x－5n成正比例，m，n是常数．求证：y是x的一次函数．
【解】 设4y＋3m＝k(2x－5n)(k≠0，k是常数)．
整理，得y＝kx－.
∵m，n，k是常数，∴－是常数．
又∵k≠0，∴y是x的一次函数．
7．某长途汽车客运公司规定：旅客可随身携带一定质量的行李，若超过规定的质量，则需要购买行李票．已知行李费y(元)是关于x(kg)的一次函数，王先生带60
kg行李需付6元行李费，张先生带80
kg行李需付10元行李费．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)问：旅客最多可免费携带多少千克行李？
【解】 (1)设y＝kx＋b.根据题意，得
解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝x－6.
(2)旅客可免费携带行李，即y＝0，
∴x－6＝0，解得x＝30.
∴旅客最多可免费携带30
kg行李．
8．某市2011年全年植树5亿棵，涵养水源3亿立方米．若该市以后每年平均植树5亿棵，到2017年年底“森林城市”的建设将全面完成，那时树木可以长期保持涵养水源11亿立方米．
(1)从2011年到2017年这7年时间里，该市一共要植树多少亿棵？
(2)若把2011年作为第1年，设树木涵养水源的能力y(亿立方米)与第x年成一次函数，求出该函数的表达式，并求出到第5年(即2015年)可以涵养多少水源．
【解】 (1)5×7＝35(亿棵)．
(2)设y＝kx＋b.
∵当x＝1时，y＝3；当x＝7时，y＝11，
∴解得∴y＝x＋.
当x＝5时，y＝×5＋＝(亿立方米)．
∴到第5年可以涵养水源亿立方米．
9．已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4，则当x＝3时，y的值为10．
【解】 设y1＝k1x2(k1≠0)，y2＝k2(x－2)(k2≠0)，则y＝k1x2＋k2(x－2)．
把x＝1，y＝0；x＝－3，y＝4分别代入上式，得
解得
∴y＝x2＋x－2.
∴当x＝3时，y＝9＋3－2＝10.
10．已知y是z的一次函数，z是x的正比例函数．
(1)问：y是x的一次函数吗？
(2)若当x＝5时，y＝2；当x＝－3时，y＝6，求当x＝1时y的值．
【解】 (1)设y关于z的一次函数为y＝k1z＋b(k1≠0)，z关于x的正比例函数为z＝k2x(k2≠0)．由此得y＝k1·k2x＋b，且k1k2≠0，符合一次函数的一般形式，∴y是x的一次函数．
(2)把x＝5，y＝2；x＝－3，y＝6分别代入y＝k1k2x＋b，得解得
∴y＝－x＋.
∴当x＝1时，y＝－×1＋＝4.
11．我市某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为每件60元，经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系．
售价x(元)
…
70
90
…
销售量y(件)
…
3000
1000
…
(1)求销售量y(件)与售价x(元)之间的函数表达式．
(2)当售价为80元时，工艺品厂每天获得的利润为多少元？
【解】 (1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
根据题意，得
解得
∴y＝－100x＋10000.
(2)当x＝80时，y＝－100×80＋10000＝2000.
∴每天获得的利润为(80－60)×2000＝40000(元)．
12．某日通过某公路收费站的汽车中共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆次缴通行费10元，小车每辆次缴通行费5元．
(1)设这一天小车缴通行费的辆次为x，总的通行费收入为y元，求y关于x的函数表达式．
(2)若估计缴费的3000辆次汽车中大车不少于20%且不多于40%，试求该收费站这一天收费总数的范围．
【解】 (1)由题意得，大车缴通行费的辆次为3000－x，
∴y＝5x＋10(3000－x)，
即y＝30000－5x(0≤x≤3000)．
(2)∵3000×20%＝600，3000×40%＝1200，
∴600≤3000－x≤1200，即1800≤x≤2400，
∴18000≤y≤21000，
∴该收费站这一天收费总数不小于18000元且不大于21000元．5.3
一次函数(一)
1．下列y关于x的函数中，是一次函数的是(B)
A.
y＝
B.
y＝x＋1
C.
y＝x2＋1
D.
y＝
2．若y＝(m－3)x＋1是一次函数，则(C)
A.
m＝3
B.
m＝－3
C.
m≠3
D.
m≠－3
3．(1)在一次函数y＝5－x中，系数k＝－，b＝__5__．
(2)已知y与x成正比例，且当x＝－2时，y＝4，则y与x之间的函数表达式是y＝－2x．
(3)已知函数y＝(3m－4)xn－2＋(m＋2n)是正比例函数，则m＝－6，n＝__3__，此时函数表达式为y＝－22x．
4．已知函数y＝3x＋1，当自变量增加3时，相应的函数值增加多少？
【解】 由y＝3x＋1，y＋a＝3(x＋3)＋1，两式相减，得a＝9.∴相应的函数值增加9.
5．请说出下列函数中k和b的值：
(1)y＝60x.
(2)y＝3000－300x.
(3)y＝9＋8x.
(4)y＝－3(2＋x)－7.
【解】 (1)k＝60，b＝0.
(2)k＝－300，b＝3000.
(3)k＝8，b＝9.
(4)代简，得y＝－3x－13，
∴k＝－3，b＝－13.
6．已知y－3与x成正比例，且当x＝2时，y＝7.
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)当x＝－2时，求y的值．
(3)当y＝－3时，求x的值．
【解】 (1)设y－3＝kx.
∵当x＝2时，y＝7，
∴7－3＝2k，∴k＝2.
∴y＝2x＋3.
(2)当x＝－2时，y＝－2×2＋3＝－1.
(3)当y＝－3时，－3＝2x＋3，∴x＝－3.
7．定义[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[1，m－3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程mx－6＝0的解为多少？
【解】 ∵“关联数”为[1，m－3]的一次函数是正比例函数，
∴y＝x＋m－3是正比例函数，即m－3＝0，
解得m＝3.
把m＝3代入mx－6＝0，
得3x－6＝0，解得x＝2.
8．写出下列各小题中y关于x的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为x的正比例函数？
(1)长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数表达式．
(2)某地西瓜刚上市时的价格为3.6元/千克，买西瓜的总价y(元)与所买西瓜x(kg)之间的函数表达式．
(3)地面气温为28
℃，高度每升高1
km，气温下降5
℃，气温y(℃)与高度x(km)之间的函数表达式．
(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总钱数y(元)与月数x之间的函数表达式．
【解】 (1)y＝，不是一次函数，也不是正比例函数．
(2)y＝3.6x，是一次函数，也是正比例函数．
(3)y＝28－5x，是一次函数，但不是正比例函数．
(4)y＝10000＋500x，是一次函数，但不是正比例函数．
9．某市住宅电话的资费标准为：通话前3
min计费0.20元，以后每分钟(不足1
min按1
min计算)加收0.10元．
(1)某人一次通话的时间为10
min，他这次通话的资费是0.90元．
(2)某人一次通话的资费为1.50元，他这一次的通话时间t的范围是15__min【解】 (1)当通话时间为10
min时，通话前3
min收费0.20元，后7
min收费7×0.10＝0.70(元)，
∴总资费为0.20＋0.70＝0.90(元)．
(2)当一次通话的资费为1.50元时，此人通话时间最多为3＋(1.50－0.20)÷0.10＝16(min)，
∴通话时间t应满足15
minmin.
10．(1)已知一次函数y＝kx＋b，当x的值减少1时，y的值减少2，则当x的值增加2时，y的值(A)
A.
增加4
B.
减少4
C.
增加2
D.
减少2
【解】 由y＝kx＋b，y－2＝k(x－1)＋b，
两式相减，得k＝2.
由y＝2x＋b，y＋a＝2(x＋2)＋b，
两式相减，得a＝4，
∴y的值增加4.
(2)设m，n(m≠0)为常数，如果在正比例函数y＝kx中，自变量x增加m，对应的函数值y增加n，那么k的值是(A)
A.
B.
C.
－
D.
－
【解】 由题意，得
②－①，得n＝km，
解得k＝.
11．若函数y＝(2k－5)x＋(k－25)为正比例函数，求＋＋＋…＋的值．
【解】 ∵函数y＝(2k－5)x＋(k－25)为正比例函数，
∴k－25＝0，解得k＝25.
∵＝＝－，
∴＋＋＋…＋
＝1－＋－＋－＋－
＝1－
＝.
(第12题)
12．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物，装卸货物共用45
min，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60
km/h，两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，有下列结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100
km/h；②甲、乙两地之间的距离为120
km；③图中点B的坐标为(3.75，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90
km/h.其中正确的是(C)
A.
①②③
B.
②③④
C.
①③④
D.
①③
【解】 根据题意可得：点A表示快递车已到达乙地，y表示两车距离，3
h时两车相距120
km.
设快递车从甲地到乙地的速度为a(km/h)，则有3a－3×60＝120，解得a＝100，故①正确．
两地距离为3×100＝300(km)，故②错误．
∵快递车到达后装卸货物共用时45
min，即
h，
∴点B的横坐标x＝3.75.
∵45
min货车走了60×＝45(km)，
∴点B的纵坐标为120－45＝75，故③正确．
BC段中的点B表示快递车装好货后又出发，点C表示两车相遇．
∵4.25－3.75＝0.5(h)，即两车经过0.5
h相遇，
∴快递车返回的速度为(75－0.5×60)÷0.5＝90(km/h)，故④正确．
综上所述，①③④正确．
