5.4
一次函数的图象(一)
1．一次函数y＝x＋1的图象在(A)
A.
第一、二、三象限
B.
第一、三、四象限
C.
第一、二、四象限
D.
第二、三、四象限
2．将直线y＝2x向上平移两个单位，所得的直线是(A)
A.
y＝2x＋2
B.
y＝2x－2
C.
y＝2(x－2)
D.
y＝2(x＋2)
3．(1)若一次函数y＝2x＋b(b为常数)的图象经过点(1，5)，则b的值为__3__．
(2)把直线y＝－x－1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数表达式为y＝－x＋1．
4．已知函数y＝－2x＋3，借助图象可以找出：
(1)直线上横坐标是2的点，它的坐标是(2，－1)．
(2)直线上纵坐标是－3的点，它的坐标是(3，－3)．
5．已知一次函数的图象经过和(－3，3)两点，求这个一次函数的表达式并画出它的图象．试判断点P(－1，1)是否在这个一次函数的图象上．
【解】 设一次函数的表达式为y＝kx＋b,
则
(第5题解)
解得
∴y＝－x＋1.
画出图象如解图所示．
∵当x＝－1时，
y＝≠1,
∴点P(－1，1)不在这个一次函数的图象上．
(第6题解)
6．已知函数y＝(m＋1)x＋m－1.
(1)若这个函数的图象经过原点，求m的值．
(2)画出(1)中函数的图象．
【解】 (1)∵这个函数的图象经过原点，
∴当x＝0时，y＝0，
∴0＝m－1，解得m＝1.
(2)∵m＝1，∴y＝2x.
画出图象如解图所示．
7．某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，当该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下表：
印数x(册)
5000
8000
10000
15000
…
成本y(元)
28500
36000
41000
53500
…
(1)若这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的表达式(不要求写出x的取值范围)．
(2)如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
【解】 (1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
根据题意，得解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋16000.
(2)当y＝48000时，48000＝x＋16000，
解得x＝12800.
8．(1)一次函数y＝ax－2(a≠0)的图象过一定点，则这个定点的坐标为(0，－2)．
(2)若直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋k交于点(2，0)，则k＝__－4__，b＝__8__．
(3)一次函数y＝2x＋4的图象上到y轴的距离为1的点的坐标为(1，6)或(－1，2)．
【解】 (1)当x＝0时，y＝－2，即无论a为何值，y＝ax－2(a≠0)的图象总是过点(0，－2)．
(2)∵直线y＝2x＋k过点(2，0)，∴0＝2×2＋k，
∴k＝－4.
∵直线y＝kx＋b过点(2，0)，k＝－4，
∴0＝－4×2＋b，∴b＝8.
(3)当x＝1时，y＝2×1＋4＝6；
当x＝－1时，y＝2×(－1)＋4＝2.
∴满足题意的点的坐标为(1，6)或(－1，2)．
(第9题)
9．如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn＋1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y＝x上．已知OA1＝1，则OA2017的长为22016．
【解】 ∵点B1在直线y＝x上，
∴可设点B1的坐标为(x，x)．
∵OA1＝1，∴A1B1＝1.
∵△A1B1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝1，∴OA2＝2.
同理可得OA3＝4，OA4＝8.
……
∴OAn＝2n－1.∴OA2017＝22016.
(第10题)
10．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A(6，0)，又与正比例函数的图象交于点B，点B在第一象限且横坐标为4.如果△AOB(O为原点)的面积为15，求这个正比例函数和一次函数的表达式．
【解】 ∵点B在第一象限，且横坐标为4，
∴可设点B(4，m)(m>0)．
由图可知，S△AOB＝OA·m，
∴15＝×6m，∴m＝5.
设正比例函数、一次函数的表达式分别为y＝k1x，y＝k2x＋b.
把点B(4，5)的坐标代入y＝k1x，得k1＝，
∴正比例函数的表达式为y＝x.
把点A(6，0)，B(4，5)的坐标分别代入y＝k2x＋b，
得解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋15.
11．直线y＝x－2分别交x轴，y轴于A，B两点，O是原点．
(1)求△AOB的面积．
(2)经过△AOB的顶点能不能画出直线把△AOB的面积分成相等的两部分？如果能，可以画出几条？写出这样的直线所对应的函数表达式；如果不能，请说明理由．
【解】 (1)令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝3.
∴该直线与x轴，y轴的交点分别是A(3，0)，B(0，－2)，∴S△AOB＝×3×2＝3.
(2)经过顶点能画出把△AOB的面积分成相等两部分的直线，这样的直线共有3条．
①经过点A(3，0)且经过点(0，－1)的直线．
设此直线的函数表达式为y＝k1x＋b1.
把点(3，0)，(0，－1)的坐标分别代入y＝k1x＋b1，得解得∴y＝x－1.
②经过点B(0，－2)且经过点的直线．
设此直线的函数表达式为y＝k2x＋b2.
把点(0，－2)，的坐标分别代入y＝k2x＋b2，得
解得∴y＝x－2.
③经过点O且经过点的直线．
设此直线的函数表达式为y＝k3x.
把点的坐标分别代入y＝k3x，得
k3＝－1，解得k3＝－.∴y＝－x.
12．某粮油超市平时每天都将一定数量的某些品种的粮食进行包装以便出售，已知每天包装大黄米的质量是包装江米质量的倍，且每天包装大黄米和江米的质量之和为45
kg.
(第12题)
(1)求平均每天包装大黄米和江米的质量．
(2)为迎接某节日，该超市决定在节日前20天增加每天包装大黄米和江米的质量，二者每天包装的质量与天数的变化情况如图所示，节日后又恢复到原来每天包装的质量．分别求出在这20天内每天包装大黄米和江米的质量随天数变化的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)假设该超市每天都会将当天包装后的大黄米和江米全部出售，已知大黄米的成本价为每千克7.9元，江米的成本价为每千克9.5元，二者包装费用均为平均每千克0.5元，大黄米的售价为每千克10元，江米的售价为每千克12元，那么在这20天中，有哪几天销售大黄米和江米的利润之和大于120元(总利润＝销售额－成本－包装费用)
【解】 (1)设平均每天包装大黄米和江米的质量分别为a(kg)和b(kg),
则解得
答：平均每天包装大黄米和江米的质量分别为25
kg和20
kg.
(2)观察图象，可设平均每天包装大黄米的质量与天数的函数表达式为y1＝k1x＋b1，平均每天包装江米的质量与天数的函数表达式为y2＝k2x＋b2.
①当0≤x≤15时，
∵y1＝k1x＋b1的图象过点(0，25)，(15，40)，
∴解得∴y1＝x＋25.
∵y2＝k2x＋b2的图象过点(0，20)，(15，38)，
∴解得∴y2＝x＋20.
②当15≤x≤20时，
∵y1＝k1x＋b1的图象过点(15，40)，(20，25)，
∴解得∴y1＝－3x＋85.
∵y2＝k2x＋b2的图象过点(15，38)，(20，20)，
∴解得
∴y2＝－x＋92.
综上所述，y1＝
y2＝
(3)设第x天销售的总利润为W元．
①当0≤x≤15时，
W＝(10－7.9－0.5)y1＋(12－9.5－0.5)y2
＝1.6y1＋2y2＝1.6(x＋25)＋2(1.2x＋20)
＝4x＋80.
当4x＋80>120时，x>10.∴10＜x≤15.
∵x为整数，∴x＝11，12，13，14，15.
②当15≤x≤20时，
W＝(10－7.9－0.5)y1＋(12－9.5－0.5)y2
＝1.6y1＋2y2＝1.6(－3x＋85)＋2
＝－12x＋320.
当－12x＋320>120时，x<.∴15≤x<.
∵x为整数，∴x＝15，16.
综上所述，在第11，12，13，14，15，16天中，销售大黄米和江米的利润之和大于120元．5.4
一次函数的图象(二)
1．(1)在一次函数y＝kx＋3中，函数值y随x的增大而增大，请你写出一个符合条件的k的值：1(答案不唯一)．
(2)已知一个函数，当x＞0时，函数值y随x的增大而减小，请你写出符合条件的一个函数表达式：y＝－x＋2(答案不唯一)．
(3)若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，－2)和(－2，0)，则y随x的增大而减小．
(4)若点(－1，y1)，(2，y2)是直线y＝2x＋1上的两点，则y1__＜__y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
(第2题)
2．(1)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(0，1)，B(2，0)两点，则当x__≥2__时，y≤0.
(2)如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则关于x的不等式kx＋b＞0的解为x＞－2．
(3)若y关于x的一次函数y＝mx＋n的图象不经过第四象限，则m__＞__0，n__≥__0.
(4)设正比例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且函数值y随x的增大而减小，则m＝__－2__．
3．(1)已知函数y＝－2x＋3，则当－2＜x≤3时，y的取值范围为－3≤y＜7．
(2)已知函数y＝－2x＋3，则当－2≤y＜3时，自变量x的取值范围为0＜x≤．
4．(1)若一次函数y＝(2k－1)x＋3的图象经过A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，且当x1y2，则k的取值范围是(C)
A．k<0
B．k>0
C．k<
D．k>
(2)把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是(C)
A．1＜m＜7
B．3＜m＜4
C．m＞1
D．m＜4
5．已知一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过(B)
A.
第一、二、三象限
B.
第一、二、四象限
C.
第二、三、四象限
D.
第一、三、四象限
6．已知一次函数y＝(4m＋1)x－(m＋1)，当m为何值时：
(1)y随x的增大而减小？
(2)一次函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)一次函数的图象经过第二、三、四象限？
【解】 (1)由4m＋1<0，得m<－.
(2)由得m>－1且m≠－.
(3)由得
∴－17．已知一次函数y＝2x＋4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象．
(第7题)
(2)求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标．
(3)在(2)的条件下，求出△AOB的面积．
(4)利用图象直接写出当y<0时x的取值范围．
【解】 (1)当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝－2.
画出图象如图所示．
(2)点A(－2，0)，B(0，4)．
(3)S△AOB＝×2×4＝4.
(4)当y<0时，x<－2.
8．一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx(m，n为常数，且mn≠0)在同一直角坐标系中的大致图象是(A)
【解】 提示：可以先假设其中一个函数图象正确，由此推出m，n的取值范围，再根据m，n的取值范围看另一个函数图象是否正确，从而得出答案．也可以认为两个函数图象都正确，再判定m，n的取值范围是否一致，如一致则正确，否则错误．
(第9题)
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2分别交x轴，y轴于A，B两点，点P(1，m)在△AOB的形内(不包含边界)，则m的取值范围是0＜m＜．
【解】 ∵点P(1，m)在△AOB的形内(不包含边界)，
∴解得0＜m＜.
(第10题)
10．如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n(n≠0)的交点的横坐标为－2，求关于x的不等式－x＋m＞nx＋4n＞0的整数解．
【解】 ∵y＝nx＋4n可以变形为y＝n(x＋4)，
∴直线y＝nx＋4n必经过点(－4，0)，
即直线y＝nx＋4n与x轴的交点为(－4，0)．
观察图象可知：关于x的不等式－x＋m＞nx＋4n＞0的解为－4＜x＜－2.
∴不等式－x＋m＞nx＋4n＞0的整数解为x＝－3.
11．小慧和小聪沿图①中的景区公路游览，小慧乘坐车速为30
km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20
km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：
(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？
(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义．
(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30
km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？
(第11题)
【解】 (1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5(h)．
∵小聪上午10：00到达宾馆，
∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，
即小聪上午7：30从飞瀑出发．
(2)设直线GH的函数表达式为s＝kt＋b.
∵直线GH过点G，H(3,
0)，
∴解得
∴直线GH的函数表达式为s＝－20t＋60.
又∵点B
的纵坐标为30，
∴当s＝30时，－20t＋60＝30，解得t＝.
∴点B.
点B的实际意义是：上午8：30小慧与小聪在离宾馆30
km
(即景点草甸)
处第一次相遇．
(3)如解图，过点E作EQ⊥x轴于点Q，则点E的纵坐标即为两人相遇时距宾馆的路程．
(第11题解)
又∵两人的速度均为30
km/h，
∴该路段两人所花的时间相同，即HQ＝QF，
∴点E的横坐标为4，
∴小聪返回途中上午11：00遇见小慧．
