5.5
一次函数的简单应用(一)
1．已知直线y＝ax＋b过点A(0，2)，B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是(D)
A.
x＝2
B.
x＝0
C.
x＝－1
D.
x＝－3
(第2题)
2．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象．下列结论中，错误的是(D)
A．轮船的速度为20
km/h
B．快艇的速度为40
km/h
C．轮船比快艇先出发2
h
D．快艇不能赶上轮船
3．对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系，从温度计上可以看出摄氏温度x(℃)与华氏温度y(?)有如下表所示的对应关系，则y与x之间的函数表达式是(B)
x(℃)
…
－10
0
10
20
30
…
y(?)
…
14
32
50
68
86
…
A.
y＝x
B.
y＝1.8x＋32
C.
y＝0.56x2＋7.4x＋32
D.
y＝2.1x＋26
4．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y(元)与练习本的本数x(本)之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上练习本的优惠折扣是__七__折．
(第4题)
5．1号探测气球从海拔5
m处出发，以l
m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15
m处出发，以0.5
m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50
min.
设气球上升的时间为x(min)(0≤x≤50)．
(1)根据题意，填写下表：
上升时间(min)
10
30
…
x
1号探测气球所在位置的海拔(m)
15
35
…
x＋5
2号探测气球所在位置的海拔(m)
20
30
…
0.5x＋15
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由．
(3)当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？
【解】 (2)两个气球能位于同一高度．
根据题意，得x＋5＝0.5x＋15，
解得x＝20.∴x＋5＝25.
答：此时气球上升了20
min，都位于海拔25
m的高度．
(3)当30≤x≤50时，由题意可知，1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球．
设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差y(m)，
则y＝(x＋5)－(0.5x＋15)＝0.5x－10.
∵0.5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y取得最大值15.
答：两个气球所在位置的海拔最多相差15
m.
6．为迎接“五一”劳动节，某中学组织了甲、乙两个义务劳动小组，甲组x人，乙组y人，到“中华路”和“青年路”打扫卫生，根据打扫卫生的进度，学校随时调整两组人数，如果从甲组调50人去乙组，则乙组人数为甲组人数的2倍；如果从乙组调m人去甲组，则甲组人数为乙组人数的3倍．
(1)求出x与m之间的函数表达式．
(2)问：当m为何值时，甲组人数最少，最少是多少人？
【解】 (1)由题意，得
整理，得
①×3－②，得5x＝450＋4m，
∴x＝m＋90.
(2)∵x＝m＋90，∴x随m的增大而增大．
又∵x，m，y均为正整数，
∴当m＝5时，x取得最小值，最小值为×5＋90＝94，
此时y＝2×94－150＝38，符合题意．
答：当m＝5时，甲组人数最少，最少是94人．
7．8个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的函数表达式为(C)
,(第7题))
A.
y＝x
B.
y＝x
C.
y＝x
D.
y＝x
【解】 设直线l与8个正方形最上面的交点为A，
过点A作AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C.
∵正方形的边长为1，∴OB＝3.
∵经过原点的一条直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，
∴易得S△ABO＝5，
∴OB·AB＝5，∴AB＝，
∴OC＝，∴点A.
设直线l的函数表达式为y＝kx.
将点A的坐标代入，得3＝k，解得k＝.
∴直线l的函数表达式为y＝x.
8．某海滩景区门票价格为80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下(包括10人)不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1(元)及节假日门票费用y2(元)与游客x(人)之间的函数关系如图所示．
(第8题)
根据图象，回答下列问题：
(1)a＝__6__，b＝__8__．
(2)直接写出y1，y2与x之间的函数表达式．
(3)导游小王6月10日(非节假日)带A旅游团，6月20日(端午节)带B旅游团到该海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A，B两个旅游团各有多少人.
【解】 (1)由y1的图象过点(10，480)，得到10人的费用为480元，
∴a＝×10＝6.
由y2的图象过点(10，800)和(20，1440)，得到20人中后10人的费用为640元，
∴b＝×10＝8.
(2)设y1＝k1x.
∵函数图象过点(10，480)，
∴10k1＝480，∴k1＝48.∴y1＝48x.
当0≤x≤10时，设y2＝k2x.
∵函数图象过点(10，800)，
∴10k2＝800，∴k2＝80.∴y2＝80x；
当x≥10时，设y2＝kx＋b.
∵函数图象过点(10，800)和(20，1440)，
∴∴
∴y2＝64x＋160.
∴y2＝
(3)设B团有n人，则A团有(50－n)人．
当0≤n≤10时，48(50－n)＋80n＝3040，
解得n＝20(不合题意，舍去)．
当n≥10时，64n＋160＋48(50－n)＝3040，
解得n＝30.
∴50－n＝20.
答：A团有20人，B团有30人．
(第9题)
9．某农场急需氨肥8
t，在该农场南北方向分别有A，B两家化肥公司，A公司有氨肥3
t，每吨售价750元；B公司有氨肥7
t，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b(单位：元/千米)与运输质量a(单位：t)的关系如图所示．
(1)根据图象求出b关于a的函数表达式(写出自变量的取值范围)．
(2)若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m(km)，设农场从A公司购买x(t)氨肥，购买8
t氨肥的总费用为y元(总费用＝购买铵肥的费用＋运输费用)，求出y关于x的函数表达式(m为常数)，并向农场建议总费用最低的购买方案．
【解】 (1)当0≤a≤4时，设b＝ka.
把点(4，12)的坐标代入，得4k＝12，
解得k＝3.
∴b＝3a.
当a≥4时，设b＝ma＋n.
把点(4，12)，(8，32)的坐标分别代入，得
解得
∴b＝5a－8.
∴b＝
(2)∵A公司有氨肥3
t，B公司有氨肥7
t，
∴0≤x≤3，0≤8－x≤7，∴1≤x≤3，
∴y＝750x＋3mx＋(8－x)×700＋[5(8－x)－8]×2m
＝(50－7m)x＋5600＋64m.
∴当m＞时，到A公司买3
t，到B公司买5
t费用最低；
当m＝时，到A公司或B公司买费用一样；
当m＜时，到A公司买1
t，到B公司买7
t，费用最低．
10．已知直线y＝(k≠1)，说明无论k取任何不等于1的实数，此直线都经过某一定点，并求出此定点的坐标．
【解】 ∵y＝(k≠1)，
∴(k－1)y＝kx＋2k－4，
∴ky－y＝kx＋2k－4，
∴k(y－x－2)＝y－4.
∵当即时，
k(y－x－2)＝y－4(k≠1)恒成立，
∴无论k取任何不等于1的实数，此直线都经过某一定点，此定点的坐标为(2，4)．5.5
一次函数的简单应用(二)
1．已知直线l1：y＝－3x＋b与直线l2：y＝－kx＋1在同一坐标系中的图象交于点(1，－2)，则方程组的解为(A)
A.
B.
C.
D.
2．已知一次函数y＝kx＋5和y＝k′x＋7，假设k>0且k′<0，则这两个一次函数的图象的交点在(A)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3．一次函数y＝2x－3与y＝－x＋1的图象的交点坐标为．
4．若直线y＝－4x＋b与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为±2．
5．如图，观察图象，回答问题：
(1)点D的纵坐标等于__b__．
(2)点A的横坐标是方程k1x＋b1＝0的解．
(3)大于点B横坐标的x的值是不等式kx＋b＜0的解．
(4)点C的横、纵坐标是方程组的解．
(5)小于点C横坐标的x的值是不等式kx＋b>k1x＋b1的解．
(第5题)
(第6题)
6．如图，一个正比例函数的图象和一个一次函数的图象交于点A(－1，2)，一次函数的图象交x轴负半轴于点B，且△AOB的面积为5，求这两个函数的表达式．
【解】 设正比例函数的表达式为y＝k1x.
把点(－1，2)的坐标代入y＝k1x，得
k1＝－2，∴y＝－2x.
∵S△AOB＝×2BO＝5，∴BO＝5，∴点B(－5，0)．
设一次函数的表达式为y＝k2x＋b.
把点(－1，2)，(－5，0)的坐标分别代入y＝k2x＋b，得
解得
∴y＝x＋.
7．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是30__cm，25__cm，从点燃到燃尽所用的时间分别是2__h，2.5__h．
(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式．
(3)当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
(第7题)
【解】 (2)设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为y＝k1x＋b1.
由图可知，函数的图象过点(2，0)，(0，30)，
∴解得
∴y＝－15x＋30.
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为y＝k2x＋b2.
由图可知，函数的图象过点(2.5，0)，(0，25)，
∴解得
∴y＝－10x＋25.
(3)联立解得
∴当x＝1时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等．
(第8题)
8．如图，已知A，B，C，D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD.设直线AB的函数表达式为y1＝k1x＋b1，直线CD的函数表达式为y2＝k2x＋b2，则k1·k2＝__1__．
【解】 设点A(0，a)，B(b，0)，则OA＝a，OB＝－b.
∵△AOB≌△COD，∴OC＝a，OD＝－b.
∴点C(a，0)，D(0，b)．
∵直线AB过点A，B，∴∴k1＝－.
同理，k2＝－.∴k1·k2＝1.
9．如图，直线y＝kx＋b上有一点P(－1，3)，回答下列问题：
(1)关于x的方程kx＋b＝3的解是x＝－1．
(2)关于x的不等式kx＋b>3的解是x＞－1．
(3)关于x的不等式kx＋b－3<0的解是x＜－1．
(4)求不等式－3x≥kx＋b的解．
(5)求不等式x＋b>0的解．
(第9题)
(第9题解)
【解】 (4)观察图象可知，点(－1，3)在函数y＝－3x上，构造函数y＝－3x如解图．
∴不等式－3x≥kx＋b的解为x≤－1.
(5)不等式(k＋3)x＋b＞0可变形为kx＋b＞－3x，仿照(4)可得x＞－1.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝－x＋7的图象交于点A.
(1)求点A的坐标．
(2)设x轴上有一点P(a，0)，过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧)，分别交y＝x和y＝－x＋7的图象于点B，C，连结OC.若BC＝OA，求△OBC的面积．
(第10题)
【解】 (1)联立解得
∴点A(4，3)．
(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA＝＝＝5.
∴BC＝OA＝×5＝7.
∵点P(a，0)，∴点B，C(a，－a＋7)，
∴BC＝a－(－a＋7)＝a－7.
∴a－7＝7，解得a＝8.
∴S△OBC＝BC·OP＝×7×8＝28.
(第11题)
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的一个顶点为B(1，1)，点A，C分别在x轴，y轴上．
(1)点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，1)．
(2)判断直线y＝－2x＋与正方形OABC是否有交点，并说明理由．
(3)将直线y＝－2x＋进行平移，恰好能把正方形OABC分成面积相等的两部分，请求出平移后的直线的函数表达式．
【解】 (2)有．理由如下：
把x＝0代入y＝－2x＋，得y＝；
把y＝0代入y＝－2x＋，得－2x＋＝0，解得x＝.
∴直线y＝－2x＋与坐标轴的交点为和.
∵OC＝1，OA＝1，∴直线与正方形有交点．
(3)设平移后的直线的函数表达式为y＝－2x＋b.
根据题意，易得直线y＝－2x＋b应经过AC与BO的交点，即过正方形OABC的中心点.
把点的坐标代入y＝－2x＋b，得
－2×＋b＝，解得b＝.
∴所求直线的函数表达式为y＝－2x＋.
12．如图，
一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若点C，求该一次函数的表达式．
(第12题)
(第12题解)
【解】 如解图，过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N.
∵点C，
∴OM＝NC＝，ON＝MC＝.
∵将△AOB沿直线AB翻折得到△ACB，
∴OA＝CA，OB＝CB.
在Rt△CAM中，由勾股定理，得AC2＝AM2＋MC2，
即OA2＝(OM－OA)2＋MC2，
∴OA2＝＋，解得OA＝1.
∴点A(1，0)．
同理，点B(0，)．
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b.
把点A，B的坐标代入，得解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋.
