三角形的初步知识
1.1 认识三角形（一）
(第1题)
1．如图，图中共有__6__个三角形，以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△AEC，∠ADB是△ABD的内角，△ADE的三个内角分别是∠ADE，∠AED，∠DAE.【来源：21·世纪·教育·网】
2．三角形的两边长分别是2和3，若第三边的长是奇数，则第三边的长为__3__；若第三边的长是偶数，则三角形的周长为7或9．21·世纪*教育网
3．在现实生活中，有些人为抄近路而践踏了草坪，这是一种不文明的现象，我们应予以制止或劝解．请你用数学知识解释这一现象的原因：两点之间线段最短．
4．(1)已知在△ABC中，AB＝6，BC＝4，则边AC的长可能是(B)
A. 11 B. 5
C. 2 D. 1
(2)若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为(B)
A. 9 B. 12
C. 7或9 D. 9或12
5．在三个内角互不相等的△ABC中，最小的内角为∠A，则在下列四个度数中，∠A最大可取(B)
A. 30° B. 59°
C. 60° D. 89°
6．若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是(C)
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
(第7题)
7．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.
(1)求CD的取值范围．
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【解】 (1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1
(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝55°.
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝180°－∠AEC－∠A＝70°.
8．若a，b，c是三角形的三边长，则化简|a－b－c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|＝(B)
A. 3a－b－c B. －a－b＋3c
C. a＋b＋c D. a－3b＋c
【解】 ∵a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，∴原式＝b＋c－a＋a＋c－b－a－b＋c＝－a－b＋3c.21世纪教育网版权所有
9．三角形纸片上有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形共有201个．
【解】 从最大的三角形纸片计数，任意选中纸片内一点，沿顶点与该点连线剪开，可以得到3个小三角形，即增加了2个小三角形．同理，再从中任取一点，剪开，也是增加了2个三角形，因此每多取一个点，三角形就增加2个，所以共有100×2＋1＝201(个)三角形．
10．各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？
【解】 ∵各边长度都是整数、最大边长为8，
∴三边长可以为：
1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8.21cnjy.com
故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．
(第11题)
11．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E处，你知道这是为什么吗？www.21-cn-jy.com
【解】 如图，另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE′，CE′，DE′.
在△BDE′中，DE′＋BE′>DB.
在△ACE′中，AE′＋CE′>AC.
∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．
12．观察并探求下列各问题：
(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．21教育网
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．21·cn·jy·com
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．2·1·c·n·j·y
(第12题)
【解】 (1)BP＋PC＜AB＋AC.理由：三角形两边的和大于第三边．
(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：
如解图①，延长BP交AC于点M.
在△ABM中，BP＋PM＜AB＋AM，
在△PMC中，PC＜PM＋MC，
两式相加，得BP＋PC＜AB＋AC，
∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，
即△BPC的周长＜△ABC的周长．
（第12题解）
(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：
如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M.
由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC.
又∵P1P2＜P1M＋P2M，
∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，
∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．
1.1 认识三角形(二)
1．判断下列各小题中的△ABC的形状(填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”)．
(1)∠A＋∠C＝∠B. 直角三角形
(2)∠A＝∠B＝∠C. 直角三角形
(3)∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2. 直角三角形
(4)∠A＝∠B＝∠C. 锐角三角形
(5)∠A＝∠B＝∠C. 钝角三角形
(第2题)
2．如图在△ABC中BD是∠ABC的平分线已知∠ABC＝80°则∠DBC＝40°．
3．如图过△ABC的顶点A作BC边上的高线下列作法正确的是(A)
4．下列关于三角形的高线的说法正确的是(D)
A. 直角三角形只有一条高线
B. 钝角三角形的高线都在三角形的外部
C. 只有一条高线在三角形内部的三角形一定是钝角三角形
D. 钝角三角形的三条高线所在的直线的交点一定在三角形的外部
5．一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示若∠2＝50°则∠1＝(C)
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
,(第5题)) ,(第6题))
6．如图在△ABC中AD是高AEBF是角平分线它们相交于点O∠CAB＝50°∠C＝60°求∠DAE和∠BOA的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
【解】 ∵∠CAB＝50°∠C＝60°
∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°.
∵AD是高∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝30°.
∵AEBF是角平分线
∴∠ABF＝∠ABC＝35°∠EAF＝∠CAB＝25°
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°
∠AFB＝180°－∠ABF－∠CAB＝95°.
∴∠AOF＝180°－∠AFB－∠EAF＝60°
∴∠BOA＝120°.
(第7题)
7．如图在△ABC中AB＝ACP是BC边上任意一点PF⊥AB于点FPE⊥AC于点EBD为△ABC的高线BD＝8求PF＋PE的值．21教育网
【解】 连结PA.
由图形可知：S△ABC＝S△ABP＋S△ACP
即AC·BD＝AB·PF＋AC·PE.
∵AB＝AC∴BD＝PF＋PE
∴PF＋PE＝8.
(第8题)
8．如图在△ABC中点DEF分别在三边上E是AC的中点ADBECF交于一点GBD＝2DCS△BDG＝8S△AGE＝3则S△ABC＝(B)21世纪教育网版权所有
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
【解】 在△BDG和△GDC中
∵BD＝2DC, 这两个三角形在BC边上的高线相等∴S△BDG＝2S△GDC∴S△GDC＝4.
同理S△GEC＝S△AGE＝3.
∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15
∴S△ABC＝2S△BEC＝30.
(第9题)
9．如图在△ABC中CD⊥AB于点DCE是∠ACB的平分线∠A＝20°∠B＝60°求∠BCD和∠ECD的度数．21·cn·jy·com
【解】 ∵CD⊥AB∴∠CDB＝90°.
∵∠B＝60°
∴∠BCD＝180°－∠CDB－∠B＝30°.
∵∠A＝20°∠B＝60°∠A＋∠B＋∠ACB＝180°∴∠ACB＝100°.
∵CE是∠ACB的平分线
∴∠BCE＝∠ACB＝50°
∴∠CEB＝180°－∠BCE－∠B＝70°
∠ECD＝∠BCE－∠BCD＝20°.
(第10题)
10．如图在△ABC中(AB>BC)AC＝2BCBC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分求AC和AB的长．21cnjy.com
【解】 ∵AD是BC边上的中线AC＝2BC
∴BD＝CD.
设BD＝CD＝xAB＝y则AC＝4x.
分两种情况：①AC＋CD＝60AB＋BD＝40
则4x＋x＝60x＋y＝40解得x＝12y＝28
即AC＝4x＝48AB＝28BC＝2x＝24此时符合三角形三边关系定理．
②AC＋CD＝40AB＋BD＝60
则4x＋x＝40x＋y＝60解得x＝8y＝52
即AC＝4x＝32AB＝52BC＝2x＝16
此时不符合三角形三边关系定理．
综上所述AC＝48AB＝28.
11．如图已知△ABC的面积为1.第一次操作：分别延长ABBCCA至点A1B1C1使A1B＝ABB1C＝BCC1A＝CA顺次连结点A1B1C1得到△A1B1C1.第二次操作：分别延长A1B1B1C1C1A1至点A2B2C2使A2B1＝A1B1B2C1＝B1C1C2A1＝C1A1顺次连结点A2B2C2得到△A2B2C2……按此规律要使得到的三角形的面积超过2017则最少经过__4__次操作．www.21-cn-jy.com
,(第11题))
【解】 由题意可得规律：第n次操作后得到的三角形的面积变为7n则7n>2017可得n最小为4.故最少经过4次操作．2·1·c·n·j·y
1.2 定义与命题（一）
1．下列描述不属于定义的是(B)
A. 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
B. 正三角形是特殊的等腰三角形
C. 在同一平面内三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
D. 含有未知数的等式叫方程
2．下列语句中，不属于命题的个数是(A)
①延长线段AB；②自然数都是整数；③两个锐角的和一定是直角；④同角的余角相等．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是(D)
A. 垂直
B. 两条直线
C. 同一条直线
D. 两条直线垂直于同一条直线
4．下列语句中，不属于命题的是(C)
A. 若两角之和为90°，则这两个角互补
B. 同角的余角相等
C. 作线段的垂直平分线
D. 相等的角是对顶角
5．把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么它们相等．
6．指出下列命题的条件和结论．
(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3.
(3)锐角小于它的余角．
【解】 (1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行．
(2)条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：∠1＝∠3.
(3)条件：一个角是锐角；结论：这个角小于它的余角．
7．把命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)对顶角相等．
(2)两直线平行，同位角相等．
(3)等角的余角相等．
【解】 (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
(2)如果两条直线平行，那么同位角相等．
(3)如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．
8．下列命题正确的是(D)
A. 若a＞b，b＜c，则a＞c
B. 若a＞b，则ac＞bc
C. 若a＞b，则ac2＞bc2
D. 若ac2＞bc2，则a＞b
9．定义两种新变换：①f(a，b)＝(a，－b)，如f(1，2)＝(1，－2)；②g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－6))＝(6，5)．21世纪教育网版权所有
【解】 ∵f(5，－6)＝(5，6)，
∴g(f(5，－6))＝g(5，6)＝(6，5)．
(第10题)
10．用语言叙述这个命题：
如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＋∠2＝180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，则EM∥FN.21教育网
【解】 如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行．
(第11题)
11．如图，定义：直线l1与l2交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是(1，2)的点的个数．21cnjy.com
(第11题解)
【解】 “距离坐标”是(1，2)的点表示的含义是该点到直线l1，l2的距离分别为1，2.由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1或a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1或b2上，它们有4个交点，即为如解图所示的点M1，M2，M3，M4.故满足条件的点的个数为4.
1.2 定义与命题（二）
1．有下列命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0.其中假命题的个数是(D)2·1·c·n·j·y
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2．有下列命题：①三角形的两边之和大于第三边；②相等的角是对顶角；③若a与b互为倒数，则ab＝1；④绝对值等于本身的数是正数．其中真命题的个数是(B)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是(A)
A. a＝－2 B. a＝
C. a＝1 D. a＝
4．(1)定理是真命题(填“真”或“假”，下同)．
“如果ab＝0，那么a＝0”是假命题．
“如果a＝0，那么ab＝0” 是真命题．
(2)“如果(a－1)(a－2)＝0，那么a＝2”是假命题，反例是a＝1．
(第5题)
5．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，这是假命题(填“真”或“假”)．
6．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
(2)两个负数的差一定是负数．
【解】 (1)假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．
(2)假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.
7．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题(至少写两个命题)．21教育网
【解】 答案不唯一，如：若a∥b，b∥c，则a∥c；
若a∥b，a∥c则b∥c；
若b∥c，a∥c，则a∥b；
若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
若a⊥b，b∥c，则a⊥c；
若b∥c，a⊥c，则a⊥b.
8．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是(B)21cnjy.com
A. 若甲对，则乙对 B. 若乙对，则甲对
C. 若乙错，则甲错 D. 若甲错，则乙对
【解】 A项，若甲对，即只参加一项的人数大于14人，则两项都参加的人数小于6人，故乙可能对也可能错．21·cn·jy·com
B项，若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数至少为16人，故甲对．www.21-cn-jy.com
C项，若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对也可能错．【来源：21·世纪·教育·网】
D项，若甲错，即只参加一项的人数至多为14人，则两项都参加的人数至少为6人，故乙错．
综上所述，真命题只有“若乙对，则甲对”．
9．有下列命题：①若a＋b＞0且ab＞0，则a＞0且b＞0；②若a＞b且ab＞0，则a＞b＞0；③一个锐角的补角比它的余角小90°.其中属于真命题的是__①__(填序号)．
【解】 ①由ab＞0，可得a，b同号．又∵a＋b＞0，∴a＞0且b＞0，故本项正确．
②令a＝－1，b＝－2，则ab＝2＞0，则b＜a＜0，故本项错误．
③一个锐角的补角比它的余角大90°，故本项错误．
10．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°.
(第10题)
(1)∠1＝25°，∠2＝155°．
(2)请观察∠1，∠2与∠ABC分别有怎样的关系，请你由此归纳一个真命题．
【解】 (2)∠1＝∠ABC，∠2＋∠ABC＝180°.真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．21世纪教育网版权所有
11．定义运算符号“*”的意义为：a*b＝(其中a，b均不为0)．下面有两个结论：①运算“*”满足交换律；②运算“*”满足结合律．其中(A)21·世纪*教育网
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确
【解】 ∵a*b＝，b*a＝，
∴a*b＝b*a，即①正确．
∵(a*b)*c＝*c＝＝，
a*(b*c)＝a*＝＝，
∴(a*b)*c≠a*(b*c)，即②不正确．
1.3 证明（一）
1．如图，下面的推理正确的是(D)
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC
,(第1题)) ,(第2题))
2．如图，若a∥b，则∠1的度数为(C)
A. 90° B. 80°
C. 70° D. 60°
(第3题)
3．有一条直的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则∠α的度数等于(C)
A. 50°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
4．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为a⊕c．21cnjy.com
组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c
(第5题)
5．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，试说明：AD平分∠BAC.
解：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)，
∴∠1＝∠E(两直线平行，同位角相等)，
∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠3＝∠E，∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)．
(第6题)
6．如图，直线a∥b，三角形纸板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B，C两点．若∠1＝42°，求∠2的度数．2·1·c·n·j·y
【解】 ∵直线a∥b，∠1＝42°，
∴∠ACB＝42°.
又∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝48°.
∴∠2＝∠ABC＝48°.
(第7题)
7．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，求∠α的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
【解】 过点C作CE∥a.
∵a∥b，∴CE∥a∥b，
∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°.
(第8题)
8．如图，P为△ABC内任意一点，∠1＝∠2.求证：∠ACB与∠BPC互补．
【解】 在△BCP中，∠BPC＋∠2＋∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)．
又∵∠1＝∠2，∴∠BPC＝180°－(∠1＋∠BCP)，
∴∠BPC＝180°－∠ACB，
∴∠ACB＋∠BPC＝180°，
即∠ACB与∠BPC互补．
(第9题)
9．如图，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，求∠EPF的度数．21世纪教育网版权所有
【解】 ∵EP⊥EF，∴∠PEF＝90°.
∵∠BEP＝50°，
∴∠BEF＝∠BEP＋∠PEF＝140°.
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°.
∴∠EFD＝40°.
∵FP平分∠EFD，∴∠EFP＝∠EFD＝20°.
∵∠PEF＋∠EFP＋∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝70°.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F.求证：∠CEF＝∠CFE.21教育网
(第10题)
【解】 ∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEF＋∠CBE＝90°，∠DFB＋∠ABE＝90°，
∴∠CEF＝∠DFB.
∵∠CFE＝∠DFB，
∴∠CEF＝∠CFE.
11．阅读：如图①，∵CE∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B.这是一个有用的事实，请用这个事实，在图②中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．www.21-cn-jy.com
(第11题)
(第11题解)
【解】 如解图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B＋∠BED＝180°.21·世纪*教育网
由题意，得∠BED＝∠C＋∠CDE，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠CDA＝(∠A＋∠ADE)＋(∠CDE＋∠C)＋∠B＝180°＋∠BED＋∠B＝180°＋180°＝360°.www-2-1-cnjy-com
12．如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的大小是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．21·cn·jy·com
(第12题)
【解】 ∠ACB不随点A，B的移动发生变化．理由如下：
∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，
∴∠DBC＝∠DBO，∠BAC＝∠BAO.
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，
∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠ACB，
∴∠ACB＝(∠DBO－∠BAO)＝∠AOB＝45°.
1.3 证明（二）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为(A)
A. 110° B. 70°
C. 130° D. 不能确定
(第1题)
(第2题)
2．如图，l1∥l2，则下列式子成立的是(B)
A．∠α＋∠β＋∠γ＝180°
B．∠α＋∠β－∠γ＝180°
C．∠β＋∠γ－∠α＝180°
D．∠α－∠β＋∠γ＝180°
3．若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为(C)
A. 4∶3∶2 B. 3∶2∶4
C. 5∶3∶1 D. 3∶1∶5
(第4题)
4．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝(C)
A．35° B．95°
C．85° D．75°
5．如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α＝75°．
,(第5题)) ,(第6题))
6．如图，已知直线a∥b，直线AC分别交a，b于点B，C，直线AD交a于点D.若∠1＝20°，∠2＝65°，则∠3＝45°．21教育网
7．如图，点A，C，F，B在同一条直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为α，则∠GFB＝90°－(用含α的代数式表示)．2·1·c·n·j·y
(第7题)
(第8题)
8．如图，∠B＝36°，∠D＝50°，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P.求∠M的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
【解】 ∵∠ARC是△ARB和△CRM的外角，
∴∠ARC＝∠B＋∠BAR＝∠M＋RCM.
同理，∠AQC＝∠D＋∠QCD＝∠DAM＋∠M.
∴∠B＋∠BAR＋∠D＋∠QCD＝∠RCM＋∠DAM＋2∠M.
∵AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAR＝∠DAM，∠QCD＝∠RCM.
∴2∠M＝∠B＋∠D.
∴∠M＝(∠B＋∠D)＝×(36°＋50°)＝43°.
9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系为(A)
(第9题)
A. ∠1＋∠2＝∠4－∠3
B. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4
C. ∠1－∠2＝∠4－∠3
D. ∠1－∠2＝∠3－∠4
【解】 ∵∠AEF是△BED的外角，
∴∠AEF＝∠2＋∠3.
∵∠4是△AEF的外角，∴∠4＝∠1＋∠AEF，
∴∠4＝∠1＋∠2＋∠3，
∴∠1＋∠2＝∠4－∠3.
(第10题)
10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠CAD的度数为24°．21cnjy.com
【解】 ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠3＝∠1＋∠2，
∴∠4＝2∠1.∴∠CAD＝180°－4∠1.
∵∠BAC＝63°，∴∠1＋180°－4∠1＝63°，
解得∠1＝39°.∴∠CAD＝180°－4×39°＝24°.
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线与外角∠BAD的平分线的反向延长线交于点F，则∠F＝45°．21·cn·jy·com
(第11题)
【解】 ∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠ABF＝∠ABC，
∠EAB＝∠DAB.
∵∠DAB＝∠C＋∠ABC＝90°＋∠ABC，
∠EAB＝∠F＋∠ABF，
∴∠F＝∠EAB－∠ABF＝(∠DAB－∠ABC)＝(90°＋∠ABC－∠ABC)＝45°.
(第12题)
12．已知：如图，在△ABC中，∠B>∠C，AE为∠BAC的平分线，AD⊥BC于点D.求证：∠DAE＝(∠B－∠C)．21世纪教育网版权所有
【解】 ∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．
∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°－∠B，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠B)＝(∠B－∠C)．
(第13题)
13．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°．
【解】 连结DG，AC，DF.
∵∠BAG＝∠CAG＋∠BAC，∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∠CDE＝∠CDF＋∠EDF，∠EFG＝∠DFE＋∠DFG，∠CAG＋∠ACD＝∠CDG＋∠AGD，∴∠BAG＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠AGF＝∠GAC＋∠BAC＋∠B＋∠ACB＋∠ACD＋∠CDF＋∠EDF＋∠E＋∠DFE＋∠DFG＋∠AGF＝(∠BAC＋∠B＋∠ACB)＋(∠CAG＋∠ACD＋∠CDF＋∠DFG＋∠AGF)＋(∠EDF＋∠E＋∠DFE)＝180°＋(∠CDG＋∠AGD＋∠CDF＋∠DFG＋∠AGF)＋180°＝180°＋180°＋180°＝540°.www.21-cn-jy.com
1.5 三角形全等的判定（一）
1．下列命题中，正确的是(A)
A. 三条边对应相等的两个三角形全等
B. 周长相等的两个三角形全等
C. 三个角对应相等的两个三角形全等
D. 面积相等的两个三角形全等
2．如图，点C在线段AB的延长线上，AD＝AE，BD＝BE，CD＝CE，则图中共有__3__对全等三角形，它们分别是△ADB≌△AEB，△DBC≌△EBC，△ADC≌△AEC．
, (第2题)) , (第3题))
3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC. 由此做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS．
4．现有长为3 cm，4 cm，6 cm，8 cm的木条各两根，小明与小刚都取了3 cm和4 cm的两根，他俩如何取第三根木条才能使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等？答：两人都取6__cm的木条．21教育网
(第5题)
5．如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE.求证：△ABC≌△AED.
【解】 ∵BD＝CE，
∴BD－CD＝CE－CD，即BC＝ED.
在△ABC和△AED中，
∵
∴△ABC≌△AED(SSS)．
(第6题)
6．如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD，BD，CD.求证：AD平分∠BAC.21cnjy.com
【解】 由作图可知，BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.
(第7题)
7．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小聪发现，只有一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的(如图)：21·cn·jy·com
(1)分别在∠AOB的两边OA，OB上各取一点C，D，使得OC＝OD.
(2)连结CD，并量出CD的长度，取CD的中点E.
(3)过O，E两点作射线OE，则OE就是∠AOB的平分线．
请你说出小聪这样作的理由．
【解】 ∵E是CD的中点，∴CE＝DE.
在△OCE和△ODE中，∵
∴△OCE≌△ODE(SSS)．
∴∠COE＝∠DOE，即OE是∠AOB的平分线．
8．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝315°．
【解】 由图可知，∠1所在的最大的直角三角形与∠7所在的最大的直角三角形全等，
∴∠1＋∠7＝90°.
同理，∠2＋∠6＝90°，∠3＋∠5＝90°.
又∵∠4＝45°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝315°.
, (第8题)) ,(第9题))
9．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是__4__．21世纪教育网版权所有
【解】 以BC边为公共边的三角形有3个，以AB边为公共边的三角形有0个，以AC边为公共边的三角形有1个，共3＋0＋1＝4(个)．www.21-cn-jy.com
(第10题)
10．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连结AC，AE.若AB＝AC，AE＝CD，AD＝CE，则图中的全等三角形有几对？2·1·c·n·j·y
【解】 ∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE和△ACE中，
∵
∴△ABE≌△ACE(SSS)．
在△ACE和△CAD中，
∵
∴△ACE≌△CAD(SSS)．
∴△ABE≌△CAD.
∴共有3对．
(第11题)
11．如图，已知AB＝DC，DB＝AC.
(1)求证：∠ABD＝∠DCA.注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
【解】 (1)连结AD.在△BAD和△CDA中，
∵∴△BAD≌△CDA(SSS)．
∴∠ABD＝∠DCA(全等三角形的对应角相等)．
(2)作辅助线的意图是构造全等三角形．
(第12题)
12．如图，已知AC＝AB，AE＝AD，CE＝BD，B，E，D三点在同一条直线上．
(1)求证：∠1＝∠2.
(2)求证：AE平分∠CED.
(3)若CE∥AD，求∠1的度数．
【解】 (1)在△ACE和△ABD中，∵
∴△ACE≌△ABD(SSS)．∴∠CAE＝∠BAD.
∴∠CAE－∠BAE＝∠BAD－∠BAE，
即∠1＝∠2.
(2)∵△ACE≌△ABD，∴∠AEC＝∠ADB.
∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADB.
∴∠AEC＝∠AED，即AE平分∠CED.
(3)∵CE∥AD，∴∠AEC＝∠2.
由(2)知∠AEC＝∠AED＝∠ADB，
∴∠2＝∠AED＝∠ADB.
又∵∠2＋∠AED＋∠ADE＝180°，
∴∠2＝∠AED＝∠ADE＝60°.∴∠1＝60°.
1.5 三角形全等的判定（三）
1．如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是(C)21世纪教育网版权所有
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带①和②去
,(第1题)) , (第2题))
2．如图，点B，E在线段CD上，若∠C＝∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是(C)21教育网
A. BC＝FD，AC＝ED
B. ∠A＝∠DEF，AC＝ED
C. AC＝ED，AB＝EF
D. ∠ABC＝∠EFD，BC＝FD
3．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是(C)
A. AB＝3，BC＝4，∠C＝50°
B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D. ∠C＝90°，AB＝6
4．如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE，你所添加的条件是∠B＝∠D(答案不唯一)(只添一个即可)．21cnjy.com
,(第4题)) ,(第5题))
5．如图，∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，AB＝AC.求证：BD＝CE.
【解】 ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD＝CE.
(第6题)
6．如图，在△ABD和△ACE中，有下列判断：
①AB＝AC；②∠B＝∠C；③∠BAC＝∠EAD；④AD＝AE.
请用其中的三个判断作为条件，余下的一个判断作为结论(用序号?????的形式)，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明理由．21·cn·jy·com
【解】 ①②③?④或①③④?②或②③④?①.
如证①②③?④.
证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAD＝∠CAE.
又∵∠B＝∠C，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE(ASA)．∴AD＝AE.
(第7题)
7．如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.
【解】 ∵∠DBA＝∠CAB，∠CBD＝∠DAC，
∴∠CBA＝∠DAB.
在△BCA与△ADB中，∵
∴△BCA≌△ADB(ASA)．∴BC＝AD.
(第8题)
8．如图，E是BC边上一点，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AB＝BC，∠A＝∠CBD，AE与BD交于点O，有下列结论：①AE＝BD；②AE⊥BD；③BE＝CD；④△AOB的面积等于四边形CDOE的面积．其中正确的结论有(D)www.21-cn-jy.com
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【解】 易证△ABE≌△BCD(ASA)，
可得AE＝BD，BE＝CD，S△ABE＝S△BCD，
得S△ABE－S△BOE＝S△BCD－S△BOE，
即S△AOB＝S四边形CDOE，故①③④正确．
由∠A＝∠CBD，∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得∠A＋∠ABD＝90°，
∴∠AOD＝90°，即AE⊥BD，故②正确．
(第9题)
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC垂直平分BD.2·1·c·n·j·y
【解】 在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC(ASA)．∴AB＝AD.
在△AOB和△AOD中，∵
∴△AOB≌△AOD(SAS)．
∴OB＝OD，∠AOB＝∠AOD.
又∵∠AOB＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，即AO⊥BD.
∴AC垂直平分BD.
10．如图，线段AC与线段BD相交于点O，连结AB，BC，CD，∠A＝∠D，OA＝OD.求证：∠1＝∠2.【来源：21·世纪·教育·网】
(第10题)
【解】 在△AOB和△DOC中，
∵
∴△AOB≌△DOC(ASA)．
∴AB＝DC，OB＝OC，
∴OA＋OC＝OD＋OB，即AC＝DB.
在△ABC和△DCB中，∵
∴△ABC≌△DCB(SSS)．∴∠1＝∠2.
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作AE 的垂线CF，垂足为F，过点B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D.
(1)求证：AE＝CD.
(2)若AC＝12 cm，求BD的长．
(第11题)
【解】 (1)∵AF⊥DC，
∴∠AFC＝90°.
∴∠EAC＋∠DCA＝90°.
∵∠ACB＝90°，即∠DCA＋∠DCB＝90°，
∴∠EAC＝∠DCB.
∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°＝∠ECA.
在△ACE和△CBD中，∵
∴△ACE≌△CBD(ASA)．∴AE＝CD.
(2)∵△ACE≌△CBD，∴CE＝BD.
∵E为BC的中点，∴CE＝BC.
∴BD＝BC＝AC＝6 cm.
(第12题)
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
【解】 CE＝BD.理由如下：
(第12题解)
延长CE交BA的延长线于点F，如解图．
∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2.
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°.
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEF(ASA)．
∴CE＝FE＝CF.
∵∠1＋∠4＝∠3＋∠5＝90°，∠4＝∠5，
∴∠1＝∠3.
又∵∠BAD＝∠CAF＝90°，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAF(ASA)．∴BD＝CF.
∴CE＝CF＝BD.
1.5 三角形全等的判定（二）
1．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，则只需添加的一个条件可以是DC＝BC或∠DAC＝∠BAC(答案不唯一)．
(第1题)
(第2题)
2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，BE＝CF.若∠A＝40°，则∠DEF的度数为70°．21·cn·jy·com
(第3题)
3．如图，AB，CD，EF相交于点O，且它们均被点O平分，则图中共有__3__对全等三角形．
4．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点．若BC边长为8 cm，则△ADE的周长为(A)www.21-cn-jy.com
,(第4题))
A. 8 cm B. 16 cm
C. 4 cm D. 不能确定
(第5题)
5．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于(A)
A. 60° B. 50°
C. 45° D. 30°
6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB.
(第6题)
(1)求∠CAD的度数．
(2)延长AC至点E，使CE＝AC，连结DE.求证：DA＝DE.
【解】 (1)在直角三角形ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°.
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°.
(2)∵∠ACD＝90°，∴DC⊥AE.
又∵CE＝AC，
∴点D在线段AE的垂直平分线上，
∴DA＝DE.
7．如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，E，F分别是BC，BD的中点，连结AE，AF.求证：AE＝AF.21cnjy.com
(第7题)
【解】 ∵BC＝BD，E，F分别是BC，BD的中点，
∴BE＝BF.
在△ABE和△ABF中，∵
∴△ABE≌△ABF(SAS)．
∴AE＝AF.
8．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是(C)
(第8题)
A. 6B. 2C. 1D. 无法确定
【解】 延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE.
∵AC＋CE＞AE，且易证CE＝AB，
∴AC＋AB＞2AD，∴AD＜7.
同理可得AB－AC＜2AD，∴AD＞1.
∴1＜AD＜7.
(第9题)
9．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连结BD.21教育网
(1)求证：△BAD≌△CAE.
(2)试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．
【解】 (1)∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)BD⊥CE.证明如下：
由(1)知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E.
∵∠DAE＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°，
∴∠ADB＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°.
∴BD⊥CE.
(第10题)
10．如图，已知在△ABC中，AB＞AC，BE，CF都是△ABC的高线，P是BE上一点，且BP＝AC，Q是CF延长线上一点，且CQ＝AB，连结AP，AQ，QP.求证：
(1)AQ＝PA.
(2)AP⊥AQ.
【解】 (1)∵BE，CF是△ABC的高线，
∴BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABP＋∠BAC＝∠ACQ＋∠BAC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACQ.
在△AQC和△PAB中，∵
∴△AQC≌△PAB(SAS)．∴AQ＝PA.
(2)∵△AQC≌△PAB，∴∠BAP＝∠CQA.
∵∠CQA＋∠BAQ＝90°，
∴∠BAP＋∠BAQ＝90°，∴AP⊥AQ.
(第11题)
11．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t(s)，当t为何值时，△ABP和△DCE全等？21世纪教育网版权所有
【解】 ∵AB＝CD，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，
∴△ABP≌△DCE或△BAP≌△DCE.
当△ABP≌△DCE时，BP＝CE＝2，
此时2t＝2，解得t＝1.
当△BAP≌△DCE时，AP＝CE＝2，
此时BC＋CD＋DP＝BC＋CD＋(DA－AP)＝6＋4＋(6－2)＝14，即2t＝14，解得t＝7.
∴当t＝1或7时，△ABP和△DCE全等．
1.5 三角形全等的判定（四）
1．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(A)
A. AC＝BD B. ∠CAB＝∠DBA
C. ∠C＝∠D D. BC＝AD
(第1题)
(第2题)
2．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)21教育网
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
3．如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，延长DP交OB于点F，延长EP交OA于点G，则图中有__4__对全等三角形，它们分别是△FPE≌△GPD，△OEP≌△ODP，△OPF≌△OPG，△ODF≌△OEG．
(第3题)
(第4题)
4．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，你所添加的条件是∠BAC＝∠DAC(答案不唯一)(只添一个即可)．21cnjy.com
(第5题)
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，D，E为垂足．求证：DE＋BE＝CE.【来源：21·世纪·教育·网】
【解】 ∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE.
在△ADC和△CEB中，∵
∴△ADC≌△CEB(AAS)．∴CD＝BE.
∴DE＋BE＝DE＋CD＝CE.
(第6题)
6．如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，∠A＝∠D，BE＝CF，且AB∥CD.求证：AF∥ED.21·世纪*教育网
【解】 ∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，∴BF＝CE.
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.
在△ABF和△DCE中，∵
∴△ABF≌△DCE(AAS)．
∴∠AFB＝∠DEC.∴AF∥ED.
(第7题)
7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连结AG，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，探究线段DE，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．
【解】 DE＝BF＋EF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠DAB＝∠ABC＝90°.
∵DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，
∴∠DEA＝∠DEF＝∠AFB＝90°，
∴∠ADE＋∠DAE＝90°.
∵∠DAE＋∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF.
在△ABF和△DAE中，
∵
∴△ABF≌△DAE(AAS)．
∴BF＝AE，AF＝DE.
∵AF＝AE＋EF，∴DE＝BF＋EF.
(第8题)
8．如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于(A)2·1·c·n·j·y
A. 50 B. 62
C. 65 D. 68
【解】 ∵EF⊥AC，BG⊥AC，
∴∠EFA＝∠AGB＝90°，∠FEA＋∠EAF＝90°.
∵EA⊥AB，
∴∠EAB＝90°.
∴∠EAF＋∠GAB＝90°.
∴∠FEA＝∠GAB.
又∵AE＝BA，
∴△EFA≌△AGB(AAS)．
∴AF＝BG，EF＝AG.
同理，△BGC≌△CHD，
∴GC＝HD，BG＝CH.
∴FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16.
∴S＝×(6＋4)×16－×3×4×2－×6×3×2＝50.
(第9题)
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE＝(B)www.21-cn-jy.com
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
(第9题解)
【解】 如解图，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F.
∵∠CDA＝90°，BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠EBF＝90°.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠EBC＝∠CBF＋∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF.
∵BE⊥AD，BF⊥DF，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°.
又∵AB＝CB，
∴△ABE≌△CBF(AAS)．
∴BE＝BF.
易知四边形BEDF为正方形，
∴四边形ABCD的面积等于正方形BEDF的面积，即等于9，
∴BE2＝9，即BE＝3.
(第10题)
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，过点A作AE⊥l3于点E，求BE的长．21世纪教育网版权所有
【解】 过点C作CF⊥l3于点F.
∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，AE⊥l3，CF⊥l3，
∴CF＝3，∠AEB＝∠BFC＝90°.
∴∠EAB＋∠ABE＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠FBC＝90°.
∴∠EAB＝∠FBC.
在△AEB和△BFC中，∵
∴△AEB≌△BFC(AAS)．
∴BE＝CF＝3.
(第11题)
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，且点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.21·cn·jy·com
【解】 在BC上截取BF＝AB，连结EF.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠FBE ，∠DCE＝∠FCE.
又∵BE＝BE，AB＝FB，
∴△ABE≌△FBE(SAS)．
∴∠A＝∠BFE.
∵AB∥DC，∴∠A＋∠D＝180°.
∵∠BFE＋∠CFE＝180°，
∴∠D＝∠CFE.
又∵∠DCE＝∠FCE，CE＝CE，
∴△DCE≌△FCE(AAS)．∴CD＝CF.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.
(第12题)
【解】 连结BF.
∵F是∠BAC与∠ACB的平分线的交点，
∴BF是∠ABC的平分线．
又∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，∠EMF＝∠DNF＝90°.
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°.
易得∠ACE＝45°，
∴∠CEB＝∠BAC＋∠ACF＝75°，
即∠NDF＝∠MEF＝75°.
在△DNF和△EMF中，∵
∴△DNF≌△EMF(AAS)．
∴FE＝FD.
1.4 全等三角形
1．已知四边形ABCD的各边长如图上数据所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD，∠P与∠B，∠E与∠C分别是对应角，则PE的长为(D)21教育网
A. 3 B. 5 C. 6 D. 10
,(第1题)) ,(第2题))
2．如图，已知△ABC≌△CDA，AB与CD是对应边，AB＝4，BC＝5，AC＝6，则AD的长为(B)21cnjy.com
A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定
(第3题)
3．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中，不正确的是(C)
A. AC＝CE
B. ∠BAC＝∠ECD
C. ∠ACB＝∠ECD
D. ∠B＝∠D
4．边长都为整数的△ABC≌△DEF，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4.若△DEF的周长为偶数，则DF的长为(B)2·1·c·n·j·y
A. 3 B. 4
C. 5 D. 3或4或5
(第5题)
5．如图，点E，F在线段BC上，△ABF≌△DCE，点A与点D，点B与点C是对应点，AF与DE交于点M.若∠DEC＝36°，则∠AME＝(C)【来源：21·世纪·教育·网】
A. 54° B. 60°
C. 72° D. 75°
6．用三种方法将如图所示的等边三角形分成三个全等的图形．
(第6题)
【解】 如解图所示(答案不唯一)．
(第6题解)
(第7题)
7．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，△ABC≌△DEF，点B与点E，点A与点D分别是对应点，AB＝6，BC＝11，BF＝3，∠ACB＝30°. 求∠DFE的度数及DE，CE的长．
【解】 ∵△ABC≌△DEF，点B与点E，点A与点D分别是对应点，
∴DE＝AB＝6，EF＝BC＝11，
∠DFE＝∠ACB＝30°.
∵CE＝EF－CF，BF＝BC－CF，EF＝BC，
∴CE＝BF＝3.
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，沿AM对折，使点D落在BC上的点N处．若∠D＝90°，∠AMD＝60°，则∠ANB＝60°，∠CMN＝60°．www.21-cn-jy.com
【解】 提示：∠ANB＝∠DAN＝2∠DAM，∠CMN＝180°－2∠AMD.
(第8题)
(第9题)
9．如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8，BC＝4，P，Q两点分别在线段AC和射线AM上运动，且PQ＝AB.若△ABC和△PQA全等，求AP的长度．21·世纪*教育网
【解】 当△ABC≌△PQA时，AP＝CA＝8；
当△ABC≌△QPA时，AP＝CB＝4.
(第10题)
10．如图是用10根火柴棒搭成的一个三角形，你能否移动其中的3根，摆出一对全等的三角形？画出你的修改方案．移动其中4根能否摆出一对全等的三角形？请画图说明，并与同伴交流．www-2-1-cnjy-com
【解】 能．画图说明如下(答案不唯一)．
移动其中3根，如解图①.
(第10题解)
移动其中4根，如解图②.
(第11题)
11．如图，△ABC≌△ADE，已知点C和点E是对应点，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，试求∠DFB和∠DGB的度数．
【解】 ∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE.
∵∠EAB＝∠BAC＋∠DAC＋∠DAE，∠DAC＝10°，∠EAB＝120°，∴∠BAC＝∠DAE＝55°.21·cn·jy·com
∴∠BAD＝∠CAD＋∠BAC＝65°.
∵∠DFB是△ABF的一个外角，
∴∠DFB＝∠BAF＋∠B＝65°＋25°＝90°.
又∵∠DFB是△DFG的一个外角，
∴∠DFB＝∠D＋∠DGB，
∴∠DGB＝∠DFB－∠D＝90°－25°＝65°.
(第12题)
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点P从点A出发沿路径A→C→B向终点B运动；点Q从点B出发沿路径B→C→A向终点A运动．点P和点Q分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点P作PE⊥l于点E，过点Q作QF⊥l于点F.问：点P运动多少时间时，△PEC与△CFQ全等？请说明理由．21世纪教育网版权所有
【解】 设运动时间为t(s)时，△PEC≌△CFQ.
∵△PEC≌△CFQ，∴斜边CP＝QC.
当0当6≤t≤14时，点P在BC上．
当0＜t＜时，点Q在BC上；
当≤t≤时，点Q在AC上．
有三种情况：①当点P在AC上，点Q在BC上时，如解图①.
易得CP＝6－t，QC＝8－3t，
∴6－t＝8－3t，解得t＝1.
②当点P，Q都在AC上时，此时点P，Q重合，如解图②.
易得CP＝6－t＝3t－8，解得t＝3.5.
③当点Q与点A重合，点P在BC上时(6＜t≤14)，如解图③.
易得CP＝t－6，QC＝6，∴t－6＝6，解得t＝12.
综上所述，当点P运动1 s或3.5 s或12 s时，△PEC与△CFQ全等．
(第12题解)
1.6 尺规作图
1．阅读下面的材料：
小芸的作法如下：
请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
(第2题)
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，过M，N两点的直线交AC于点E，交AB于点D.若AC＝6，BE＝4，则CE的长为(B)21教育网
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3．如图，已知△ABC，AB
4．如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．
(1)只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A′B′C′？请简要说明理由．
(2)作出模具△A′B′C′的图形(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)．
(第4题)
(第4题解)
【解】 (1)量出∠B和∠C的度数及BC边的长度即可作出与△ABC形状和大小完全相同的三角形．
理由是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
(2)如解图，△A′B′C′就是所求作的三角形．
5．两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)．21·cn·jy·com
(第5题)
【解】 到城镇A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个，如解图所示．
(第5题解)
6．如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
(第6题)
步骤1：以点C为圆心，CA长为半径画弧①；
步骤2：以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H.
下列叙述正确的是(A)
A. BH垂直平分线段AD
B. AC平分∠BAD
C. S△ABC＝BC·AH
D. AB＝AD
【解】 连结CD，BD.
∵CA＝CD，BA＝BD，
∴点C，点B在线段AD的垂直平分线上，
∴BH垂直平分线段AD，故A正确．
AC不一定平分∠BDA，故B错误．
S△ABC＝BC·AH，故C错误．
AB不一定等于AD，故D错误．
(第7题)
7．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以点A为圆心，AB长为半径画弧．
②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D.
③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD.
求证：△ABE≌△ADE.
【解】 在△ABC与△ADC中，∵
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
∴∠BAC＝∠DAC.
在△ABE和△ADE中，
∵
∴ABE≌ADE(SAS)．
8．某地拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉P到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示，请利用尺规作图作出音乐喷泉P的位置(不写作法，仅保留作图痕迹)．
(第8题)
【解】 如解图．
(第8题解)
9．如图，已知△ABC.
(第9题)
(1)请在图①上画出到△ABC的三个顶点距离相等的点P.这样点P有几个？
(2)请在图②上画出到△ABC的三边距离相等的点M.这样的点M有几个？
(不写作法，仅保留作图痕迹．)
【解】 (1)如解图①所示，这样的点P有1个．
(第9题解)
(2)如解图②所示，这样的点M有4个．
(第10题)
10．如图，已知线段m，n，p，求作△ABC，使AB＝m，AC＝n，AD＝p，D为BC边上的中点，并说明理由．21世纪教育网版权所有
【解】 作法如下：
①作射线AQ，在射线AQ上依次截取AD＝p，DE＝p.
②以点A为圆心，线段m为半径画弧，以点E为圆心，线段n为半径画弧，两弧交于点B.
③连结AB，EB，连结BD并延长，在射线BD上截取DC＝BD，连结AC.
则△ABC就是所求作的三角形(如解图)．
(第10题解)
理由如下：
∵AD＝p，DE＝p，∴AD＝DE.
在△BDE和△CDA中，
∵
∴△BDE≌△CDA(SAS)．∴AC＝EB＝n.
∴AB＝m，AC＝n，AD＝p，D为BC的中点．
∴△ABC就是所求作的三角形．
