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八上数学期末专题复习--直角三角形答案
◆考点一：直角三角形的概念：
典例精讲：例1.
（1）解析：A、，能构成直角三角形，故选项错误；
B、52+122=132，能构成直角三角形，故选项错误；
C、32+52≠72，不能构成直角三角形，故选项正确；
D、62+82=102，能构成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
（2）解析：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=252，∴能组成直角三角形．
故选C．
（3）解析：如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，
设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
则x+3x+2x=180°，
解得，x=30°，
则3x=90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2=9：16：25，
则如果a2+b2=c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
变式训练：
1. 解析：，∴A选项错误；
，∴B选项错误；
，∴C选项错误；
，∴D选项正确。
故选择D
2.解析：A、∵12+22≠42，∴1：2：4不是直角三角形的三条边；故本选项错误；
B、∵12+32≠42，∴1：3：5不是直角三角形的三条边；故本选项错误；
C、∵32+42≠72，∴3：4：7不是直角三角形的三条边；故本选项错误；
D、∵52+122=132，∴1：2：4是直角三角形的三条边；故本选项正确．
故选D．
3.解析：当4为直角边时，斜边为5，此时周长为12，当4为斜边时，另一直角边为
，此时周长为：，故答案为：12或
◆考点二：勾股定理：
典例精讲：例2.
(1)解析：∵S1=4，
∴BC2=4，
∵S2=12，
∴AC2=8，
∴在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2=4+8=12，
∴S3=AB2=12．
故选：C．
2.解析：在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，
根据勾股定理，得AB=5．
在直角三角形ABD中，BD=12，
根据勾股定理，得AD=13．
3.解析：为直角三角形，且CD为斜边AB上的中线，
，，，
，
变式训练：
1.解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故选：C．
2.解析：在Rt△ABC中，
=80m
所以DE=AC﹣AD﹣EC=80﹣20﹣10=50m
∴池塘的宽度DE为50米．
3.解析：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则有CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，
解之得：x=9，
∴AD=12，
∴S△ABC=BC AD=×14×12=84．
4.解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，21世纪教育网版权所有
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．故答案为：25
◆考点二：直角三角形的应用：
典例精讲：例3.
解析：（1）如图1，∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM=180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB=180°﹣α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
变式训练：
1.解析：（1）∵点D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠BAD=∠BAC．
（2）∵AB=AC，AD=AE，且∠B=∠ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，有，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE=∠ACB，
∵EC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACE=45°，∠B=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
2．解析：（1）结论：△ABC的是直角三角形；
∵AD=BD=CD，
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4，
∴∠1+∠4=∠2 +∠3，
又∵∠1+∠2+∠3 +∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）在直角三角形△ABC中AC=8，AB=10，
∴BC=6，
又∵△ACE是等边三角形．
∴AE=CE =8，
∴四边形ABCE的周长为AB+BC+AE+CE=32．
典例精讲：例4.
解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=7cm，AC=25cm，
∴BC=cm．
（2）如图，连结PQ，
BP=7﹣2=5，BQ=6×2=12，
在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=（cm）；
（3）设t秒后，AP=CQ．则t=24﹣6t，
解得 ．
答：P、Q两点运动秒，AP=CQ．
变式训练：
解析：（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：
连接AD，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
巩固提升：
1.解析：∵72+242=49+576=625=252．
∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．
故选：D．
2.解析：∵一个三角形三个内角度数的比为1：2：1，
∴设三角形的三个内角分别是x，2x，x，
∴x+2x+x=180°，解得x=45°，
∴2x=90°．
∴此三角形是等腰直角三角形．
故选D．
3.解析：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7
由勾股定理得：AB=，
由题意可知AB=A′B′=，
又OA′=3，根据勾股定理得：OB′=，
∴BB′=7﹣＜1．
故选A．
4.解析：作的A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交点为P，此时PA+PB最小，
PA+PB最小值=PA′+PB=A′B，
∵A′（﹣1，1），B（2，3），
∴A′B=．
故答案为
5.解析：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°﹣60°=30°，
∴BD=2BC=2×4=8，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°﹣15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=75°﹣60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=8．
故答案为：8．
6.解析：在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，∴AC==5，
△ABC的面积S=AB BC=AC BD，∴
解得BD=2.4，故答案为2.4．
7.解析：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12﹣x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．
8.解析：第一个等腰直角三角形的斜边为，
第二个等腰直角三角形的斜边为2=（）2，
第三个等腰直角三角形的斜边为2=（）3，
第四个等腰直角三角形的斜边为4=（）4，
…
第2016个等腰直角三角形的斜边为（）2016=21008．
故答案为21008．
9.解析：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
10.解析：（1）证明：∵MC=MN，∴∠MCB=∠2．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，
∴∠1=∠B=45°
又∵∠MCB=∠MCD+∠1，∠2=∠BMN+∠B，
∴∠MCD=∠MCB-∠1，∠BMN=∠2-∠B．
∴∠MCD=∠BMN．
（2）猜想：AM=BN．
证明：∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACM=∠MCD，
又∵∠MCD=∠BMN，
∴∠ACM=∠BMN，
又∵∠A=∠B=45°，MC=MN，
∴△ACM≌△BMN．∴AM=BN．
（3）或或．
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八上数学期末专题复习--直角三角形
◆考点一：直角三角形的概念：
典例精讲：
例1.（1）下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10
（2）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）www.21-cn-jy.com
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
（3）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
变式训练：
1.以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4cm，8cm，7cm B.2cm，2cm，2cm C.2cm，2cm，4cm D.6cm，8cm ，10cm
2．如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a：b：c等于（ ）
A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13
3．在Rt△ABC中，两边长分别为3，4，则△ABC的周长为____________
◆考点二：勾股定理：
典例精讲：
例2.(1)如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3=（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．8 C．12 D．32
（2）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=
变式训练：
1．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
2．如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，则池塘的宽度2·1·c·n·j·y
3．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，则三角形的面积为___________
4．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则爬行的最短距离是 cm．
◆考点三：直角三角形的应用：
典例精讲：
例3.如图①，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE=AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数；
（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．21·世纪*教育网
变式训练：
1.如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠B=∠ADE，
（1）如图1，当点D为BC中点时，试说明：．
（2）如图2，联接CE，当EC⊥BC时，试说明：△ABC为等腰直角三角形．
2．已知：如图，△ABC中，AC=8，点D在AB边上，且AD=BD=CD=5，在△ABC外，作等边△ACE．（1）判断△ABC的形状，并证明；（2）求四边形ABCE的周长．21cnjy.com
典例精讲：
例4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=7cm，AC=25cm．点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．21·cn·jy·com
（1）求BC的长．（2）若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．（3）P、Q两点运动几秒，AP=CQ．
变式训练：
已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．www-2-1-cnjy-com
巩固提升：
1．以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，6，5 C．14，13，12 D．7，25，24
2．一个三角形三个内角的度数比为1：2：1，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）21世纪教育网版权所有
A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m
4．如图，已知点A（1，1）、B（2，3），且P为y轴上一动点，则PA+PB的最小值为
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=
6．在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，则斜边AC上的高BD=
7．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等．2-1-c-n-j-y
8．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2016个等腰直角三角形的斜边长是 21*cnjy*com
9．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
10. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点M是AB边上的点，
点N是射线CB上的点，且MC=MN．
（1）如图1，求证：∠MCD=∠BMN．
（2）如图2，当点M在∠ACD的平分线上时，请在图2中补全图，猜想线段AM与BN有什么数量关系，并证明；21教育网
（3）如图3，当点M是BD中点时，请直接写出线段AM与BN的数量关系．
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