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5.4 一元一次方程的应用（2）
一．选择题
1．将一个正方体钢坯锻造成长方体，它们的（ ）
A．体积相等，表面积不相等 B．体积不相等，表面积相等
C．体积和表面积都相等 D．表面积相等，体积不相等
2．一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形．设长方形的长为x cm，可列方程是（ ）21世纪教育网版权所有
A．x-1=（30-x）+2 B．x-1=（15-x）+2 C．x+1=（30-x）-2 D．x+1=（15-x）-2
3．用直径为120 mm的圆钢铸造成5.9 kg工件，每立方厘米的圆钢重7.8 g，这样需截取圆钢的长是多少mm？解题时，设需要截面圆钢的长为x mm，那么下面列方程正确的是（ ）
A．7.8×1202 π x=5.9 B．×1202 π x＝5900
C． D．
4．如图所示，将一个正方形纸条剪去一个宽为5 cm的长条后，再从剩下的长方形纸条上剪去一个宽为3 cm的长条，如果第一次剪下的长条面枳是第二次剪下的长条面积的2倍，若设原正方形纸条的边长为x cm．则可列方程（ ）21教育网
A．5x=2×3（x-5） B．2×5x=3（x-5） C．5（x-3）=2×3x D．2×5（x-3）=3x
5．墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可得方程为（ ）
A．2（x+10）=10×4+6×2 B．2（x+10）=10×3+6×2
C．2x+10=10×4+6×2 D．2（x+10）=10×2+6×221·cn·jy·com
6．请根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π 82x=π 62×5 B．
C．π 82x=π 62 （x+5） D．
二．填空题
1．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设宽为x，列方程为___________．21·世纪*教育网
2．用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，求围成的长方形的长与宽各多少米．如果设长方形的宽为x米，那么可得方程为___________．21*cnjy*com
3．一小圆柱形油桶的直径是8 cm，高为6 cm，另一大圆柱形的油桶的直径是10 cm，且它的容积是小圆柱的油桶容积的2.5倍，如果设大圆柱油桶的高为x cm，可建立方程为____________．【来源：21cnj*y.co*m】
4．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面性为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x毫米，则可列方程__________________．21cnjy.com
三．解答题
1．列方程求解：如图，用总长为7.2米的铝合金制作“日”字形窗框，已知窗的高比宽多0.6米，求窗的高和宽．【出处：21教育名师】
2．把直径为20 cm的圆柱形钢材截下一段，锻造成底面直径40 cm，高12 cm的圆锥形零件，求要截下多长的钢材？2-1-c-n-j-y
3．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4 cm，求这种药品包装盒的体积．【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
一．选择题
1．A
【解析】将一个正方体钢坯锻造成长方体，它们的形状变了，即表面积变了，但体积不变．故选：A．
2．B
【解析】设长方形的长为x cm，则宽为（15-x）cm，由题意得，x-1=（15-x）+2．故选B．
3．C
【解析】设需要截面圆钢的长为x mm．．故选C．
4．A
【解析】设原正方形纸条的边长为x cm，由题意得： 5x=2×3（x-5），故选：A．
5．A
【解析】长方形的一边为10厘米，故设另一边为x厘米．根据题意得2×（10+x）=10×4+6×2．故选：A．www.21-cn-jy.com
6．D
【解析】根据圆柱的体积公式求得，大圆柱中的水的体积为：，小圆柱中的水的体积为：，根据等量关系列方程得：．故选D．
二．填空题
1．2[x+（x+5）]=50
【解析】设宽为x，则长为x+5， 2[x+（x+5）]=50，故答案为： 2[x+（x+5）]=50．
2．2（x+x+0.6）=5.2
【解析】设长方形的宽为x米，可得方程：2（x+x+0.6）=5.2，故答案为：2（x+x+0.6）=5.2．
3．π 52x=2.5π×42×6
【解析】设大圆柱油桶的高为x cm，则大圆柱形油桶的容积为：π×52×x，小圆柱形油桶的容积为π×42×6，根据等量关系列方程得：π 52x=2.5π×42×6．2·1·c·n·j·y
4．
【解析】设大约下降了x毫米，则根据圆柱体的体积公式，得到玻璃杯中下降的水的体积为：；而长方体铁盒的体积为：1312×81．根据等量关系列方程得：．
三．解答题
1．窗的高为1.8米，宽为1.2米
【解析】设窗的宽是x米，则高为（x+0.6）米，由题意得： 3x+2（x+0.6）=7.2，解得：x=1.2．则x+0.6=1.8．答：窗的高为1.8米，宽为1.2米．www-2-1-cnjy-com
2．16 cm
【解析】设截下的钢材长x cm，根据题意，得
，
解这个方程，得x=16．
答：截下的钢材长16 cm．
3．480 cm3
【解析】设宽为x cm，则长为（x+4）cm，高为（18-x），
由题意得：2（x+4）+x+（18-x）=37，
解得：x=8．
则x+4=12，（18-x）=5，8×5×12=480（cm3）．
答：这种药品包装盒的体积为480 cm3．
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5.4 一元一次方程的应用（2）
数学浙教版 七年级上
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
1、审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；
2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示x；
3、列方程：根据相等关系列出方程；
4、解方程：求出未知数的值；
5、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案．
教学目标
导入新课
1、将一些课外书分给某班学生阅读，若每分2本，则剩余35本，若每人分4本，则还差25本，设这个班共有x名学生，则可列方程（ ）
A．2x+35=4x+25 B．2x+35=4x-25
C．2x-35=4x+25 D．35+2x=25-4x
2、甲、乙两个小朋友分别从A、B两地同时出发，相对步行，一分钟可以相遇，如果两人从A、B两地同时出发，同向而行，且甲在后，甲4分钟追上乙，已知甲每分钟走80米，乙每分钟走几米？假设乙每分钟走x米，列方程是（ ）
A．4（80+x）=（80-x）×1 B．80-x=4（80+x）
C．80+x=80-4x D．80+x=4（80-x）
B
D
教学目标
导入新课
教学目标
导入新课
小学学过的公式．
长方形的周长：
C=2ab
长方体的体积：
V=abh
长方形的面积：
S=ab
正方体的体积：
V=a3
圆柱体的体积：
V=πr2h
你能运用上述的公式解决实际问题吗？
新课讲解
例3 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图中阴影部分）．已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石（接缝忽略不计），问标志性建筑的底面边长是多少米？
本题有哪些量，等量关系是什么？
新课讲解
分析 阴影部分的面积＝ 144块边长为0.8米的正方形花岗石的面积．
阴影部分可以分割成4个长为（x+3.2）米，宽为3.2米的长方形．
如图，若用x表示中间空白正方形的边长，怎样用含x的代数式表示阴影部分的面积呢 你能设计几种不同的计算方法？
新课讲解
方案一
方案二
方案三
方案四
新课讲解
解 :设标志性建筑底面的边长为x米，根据题意，得
4×3(x+3)=0.75×0.75×192，
解这个方程得 x=6，
答：这一标志性建筑底面得边长为6米．
学以致用
长方形纸片的长是15 cm，长宽上各剪去两个宽为3 cm的长条，剩下的面积是原面积的 ．求原面积．
解：设长方形纸片的宽是x cm，原面积是15x cm2，长宽上各剪去两个宽为3 cm的长条，剩下的面积是12 （x-3）cm2，
∵15x× =9x，
∴9x=12 （x-3），
解可得x=12，
答：原面积是180 cm2．
新课讲解
1、在应用方程解决实际问题时，清楚地分辨各量之间的关系，尤其相等关系是建立方程的关键；
2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，解题时应养成良好的检验习惯，但具体过程可省略不写；
3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算阴影部分的面积，面积不变．
新课讲解
你能测量出一个苹果的体积是多少吗？你怎么测量呢？
h
R
在测量过程中你发现了什么？
苹果的体积等于测量时上升部分的水的体积．
新课讲解
请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？
1、把一小杯水倒入另一只大杯中；
2、用一根15 cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球．
解：1、水的底面积、高度发生了变化，水的体积和质量都保持不变．
2、围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变．
3、形状改变，体积不变．
新课讲解
例4 如图，用直径为200 mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300 mm，300 mm和80 mm的长方体毛坯底板．问应截取钢柱多长（不计损耗，结果 误差不超过1 mm）？
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新课讲解
分析：1、在这个问题中的相等关系是：
锻造前的（ ）=锻造后的（ ）；
2、如果设锻造前圆柱的高为x毫米，也既截取的圆柱长为x毫米，则圆柱的体积怎么表示 ？
3、锻造后长方体的长为（ ）毫米，宽为（ ）毫米，高为（ ）毫米，体积怎么计算？
4、如何列方程？
圆柱的体积
长方体的体积
V=π×1002×x
300
300
80
300×300×80
π×1002×x=300×300×80
新课讲解
解：设截取圆柱的高为x mm，
根据题意，得
π×1002×x=300×300×80．
解这个方程，得
．
答：应截取钢柱的长约为230 mm．
学以致用
有一个底面直径是20 cm，高9 cm的圆柱，工人师父要把它锻造成底面直径是10 cm的圆柱，工人师父想知道锻造后的圆柱有多高？你能告诉他吗？
本题中的相等关系是什么？
锻造前圆柱的体积=锻造后圆柱的体积．
根据这个等量关系怎样列方程？
解：设锻造后圆柱高为x厘米，根据题意，得π×102×9=π×52×x
解这个方程，得x=36
答：锻造后圆柱的高为36厘米．
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教学目标
巩固提升
1、一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，则可列方程（ ）
A．x-1=（26-x）+2
B．x-1=（13-x）+2
C．x+1=（26-x）-2
D．x+1=（13-x）-2
B
教学目标
巩固提升
2、一标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3米的长方形框（如图所示）．已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方向花岗岩（接缝忽略不计）．若设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程：
①4×3（2x+3）=0.5×0.5×504；
②2×3（2x+6）+2×3x=0.5×0.5×504；
③（x+6）（2x+6）-2x x=0.5×0.5×504，
其中正确的是（ ）
A．② B．③ C．②③ D．①②③
C
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教学目标
巩固提升
3、把一块棱长为10 cm的正方体钢块，锻造成一个横截面边长是5 cm的长方体钢条．这根钢条的长是几厘米？
解：设这根钢条长x厘米，根据题意，得
10×10×10=5×5×x，
解这个方程，得x=40．
答：这根钢条长40厘米．
教学目标
拓展提升
如图，悦悦将一张正方形纸片剪去一个宽为3 cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1 cm的长条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍．
求：（1）原正方形纸片的边长；
（2）第二次剪下的长方形纸条的面积．
教学目标
拓展提升
解：（1）设原正方形纸片的边长为x cm，
根据题意得：2（x+3）=2×2（x-3+1），
解得：x=7．
答：原正方形纸片的边长为7 cm．
（2）x-3=4，
4×1=4（cm2）．
答：第二次剪下的长方形纸条的面积为4 cm2．
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已知一个长方形的周长为60 cm．
（1）若它的长比宽多6 cm，这个长方形的宽是多少cm？
（2）若它的长与宽的比是2：1，这个长方形的长是多少cm？
解：（1）设长方形的宽为x cm，则长为（x+6）cm，
由题意得2[x+（x+6）]=60，
解得：x=12．答：这个长方形的宽是12 cm；
（2）设长方形的宽为a cm，则长为2a cm，
由题意，得2（2a+a）=60，
解得：a=10，2a=20．
答：这个长方形的长是20 cm．
教学目标
拓展提升
教学目标
课堂小结
2、在解决等积变形问题时，首先要找到在变化过程中不变量，一般是变化前后的面积相等或变化前后体积相等．
1、在解决图形问题时，要抓住用不同方法表示出来的图形面积相等这一关系列出方程即可．
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谢 谢！
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浙教版数学七年级上册5.4一元一次方程的应用（2）教学设计
课题 5.4 一元一次方程的应用（2） 单元 第5章 一元一次方程 学科 数学 年级 七年级
学习目标 情感态度和价值观目标 通过学习，增强用数学的意识，激发学习数学的热情．
能力目标 学习分析几何问题的方法，提高学生的分析能力及数形结合能力．
知识目标 掌握面积体积问题的意义，能分析题中已知数与未知数之间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题．
重点 寻找两个面积体积之间的相等关系．
难点 寻找两个面积体积之间的相等关系．
学法 合作、交流、归纳、反思． 教法 启发式、问题引导探究法．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：1、审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示x；3、列方程：根据相等关系列出方程；4、解方程：求出未知数的值；5、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案．1、将一些课外书分给某班学生阅读，若每分2本，则剩余35本，若每人分4本，则还差25本，设这个班共有x名学生，则可列方程（ ）A．2x+35=4x+25 B．2x+35=4x-25 C．2x-35=4x+25 D．35+2x=25-4x2、甲、乙两个小朋友分别从A、B两地同时出发，相对步行，一分钟可以相遇，如果两人从A、B两地同时出发，同向而行，且甲在后，甲4分钟追上乙，已知甲每分钟走80米，乙每分钟走几米？假设乙每分钟走x米，列方程是（ ）A．4（80+x）=（80-x）×1 B．80-x=4（80+x）C．80+x=80-4x D．80+x=4（80-x）导入新课小学学过的公式．长方形的周长：C=2ab长方形的面积：S=ab长方体的体积：V=abh正方体的体积：V=a3圆柱体的体积：V=πr3h你能运用上述的公式解决实际问题吗？ 回顾列一元一次方程解决实际问题的一般步骤．完成练习题．回顾小学学过的公式． 掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤，为本节课的学习做好铺垫．会找等量关系．为本节课的例题学习打下基础．
讲授新课 典例解析：例3 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图中阴影部分）．已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石（接缝忽略不计），问标志性建筑的底面边长是多少米？本题有哪些量，等量关系是什么？分析 阴影部分的面积＝ 144块边长为0.8米的正方形花岗石的面积．阴影部分可以分割成4个长为（x+3.2）米，宽为3.2米的长方形．如图，若用x表示中间空白正方形的边长，怎样用含x的代数式表示阴影部分的面积呢 你能设计几种不同的计算方法？针对练习：长方形纸片的长是15 cm，长宽上各剪去两个宽为3 cm的长条，剩下的面积是原面积的．求原面积．1、在应用方程解决实际问题时，清楚地分辨各量之间的关系，尤其相等关系是建立方程的关键；2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，解题时应养成良好的检验习惯，但具体过程可省略不写；3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算阴影部分的面积，面积不变．你能测量出一个苹果的体积是多少吗？你怎么测量呢？在测量过程中你发现了什么？苹果的体积等于测量时上升部分的水的体积．请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？1、把一小杯水倒入另一只大杯中；2、用一根15 cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球．例4 如图，用直径为200 mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300 mm，300 mm和80 mm的长方体毛坯底板．问应截取钢柱多长（不计损耗，结果 误差不超过1 mm）？分析：1、在这个问题中的相等关系是：锻造前的（ ）=锻造后的（ ）；2、如果设锻造前圆柱的高为x毫米，也既截取的圆柱长为x毫米，则圆柱的体积怎么表示 ？3、锻造后长方体的长为（ ）毫米，宽为（ ）毫米，高为（ ）毫米，体积怎么计算？4、如何列方程？针对练习：有一个底面直径是20 cm，高9 cm的圆柱，工人师父要把它锻造成底面直径是10 cm的圆柱，工人师父想知道锻造后的圆柱有多高？你能告诉他吗？本题中的相等关系是什么？根据这个等量关系怎样列方程？ 完成例3的探究和针对练习．归纳用一元一次方程解决实际问题有关知识．完成探究，体会不变量．完成例4的近视及针对练习． 会用一元一次方程解决图形的面积问题．进一步理解并掌握一元一次方程解简单应用题的步骤．体会等积变形中的不变量，为例4的学习打下基础．体会等积问题中的不变量，会解等积变形的问题．
巩固提升 1、一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，则可列方程（ ）A．x-1=（26-x）+2 B．x-1=（13-x）+2C．x+1=（26-x）-2 D．x+1=（13-x）-22、一标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3米的长方形框（如图所示）．已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方向花岗岩（接缝忽略不计）．若设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程：①4×3（2x+3）=0.5×0.5×504；②2×3（2x+6）+2×3x=0.5×0.5×504；③（x+6）（2x+6）-2x x=0.5×0.5×504，其中正确的是（ ）A．② B．③ C．②③ D．①②③3、把一块棱长为10 cm的正方体钢块，锻造成一个横截面边长是5 cm的长方体钢条．这根钢条的长是几厘米？拓展提升：如图，悦悦将一张正方形纸片剪去一个宽为3 cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1 cm的长条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍．求：（1）原正方形纸片的边长；（2）第二次剪下的长方形纸条的面积．针对练习：已知一个长方形的周长为60 cm．（1）若它的长比宽多6 cm，这个长方形的宽是多少cm？（2）若它的长与宽的比是2：1，这个长方形的长是多少cm？ 完成练习． 通过练习，掌握列一元一次方程解决与图形有关的问题．
课堂小结 1、在解决图形问题时，要抓住用不同方法表示出来的图形面积相等这一关系列出方程即可．2、在解决等积变形问题时，首先要找到在变化过程中不变量，一般是变化前后的面积相等或变化前后体积相等． 对本节课的知识点进行归纳． 培养学生归纳总结的能力，掌握列图形问题的解决方法．
板书 例3例4
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