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1.1.2 余弦、正切函数
基础训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于( )
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A. B. C. D.
2.如图所示,CD是Rt△ABC斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos∠BCD的值是( )
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A. B. C. D.
3.在△ABC中,若三边BC,CA,AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13,则cosB的值等于( )
A. B. C. D.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosB的值是( )
A. B. C. D.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则BC的长为 .
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6.已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为 .
7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若BD∶CD=3∶2,则tanB=( )
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A. B. C. D.
8.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tanA=( )
A. B. C. D.
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9.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA=,则BC的长是( )
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A.2 B.8 C.2 D.4
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=8,则△ABC的面积为 .
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC= .
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12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA= .
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为( )
A. B. C. D.
14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限 ( http: / / www.21cnjy.com )的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是,则x= ,cosα= . 21·世纪*教育网
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提升训练
15.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tanA=,求sinB+cosB的值.
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16.在Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠C=90°,a+b=4,且tanB=1,求c的长.
17.如图,在4×8的矩形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,求tan∠BAC的值.21*cnjy*com
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18.(1)已知sinα+cosα=,求sinαcosα.
(2)已知α为锐角,tanα=2,求的值.
19.如图,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD上的点F处,如果=,求tan∠DCF的值.
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20.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.
(1)求证:△ABF∽△DFE;
(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.
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参考答案
基础训练
1.D 2.D 3.C 4.B 5.4
6.
解析：先求出方程x2-4x+3=0的两根,即可得到两直角边长,再根据勾股定理求得斜边长,最后根据余弦的定义即可求得结果.21世纪教育网版权所有
解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3.
则直角三角形的两直角边长分别为1,3,斜边长为=.
故其最小角的余弦值为=.
7.D
解析：在Rt△ABC中,∵AD⊥BC于点D ( http: / / www.21cnjy.com ),∴∠ADB=∠CDA=90°,∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠BAD+∠DAC=90°,∴∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD,∴=.21cnjy.com
∵BD∶CD=3∶2,∴设BD=3x(x>0),则CD=2x,∴AD==x,
则tan B===.故选D.
8.D 9.A 10.24 11. 12.
13.D
14.-6;
解析：(1)过P点作x轴的垂线段PA,∵角α的正切值是,∴=,∵PA=8,∴OA=6,即x=-6.
(2)在Rt△OPA中,PA=8,OA=6,∴OP=10.∴cos α===.21教育网
提升训练
15.解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.
在Rt△ACD中,CD=6,tan A==,∴AD=4,∴BD=AB-AD=8.21·cn·jy·com
在Rt△BCD中,BC=10.∴sin B==,cos B==,www.21-cn-jy.com
∴sin B+cos B=.
16.解:由∠C=90°,tanB=1知a=b.由a+b=4得a=b=2,再由勾股定理得c==2.
17.解:找到∠BAC所在 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形,进而求得∠BAC的对边与邻边之比.连结BD,由勾股定理可得BD,AB,AD分别为,2,,由勾股定理的逆定理可得△ABD为直角三角形,且∠ABD=90°,所以tan∠BAC==.【来源：21·世纪·教育·网】
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18.解:(1)把已知式子两边同时平方,得(sin α+cos α)2=,
sin 2α+2sin αcos α+ ( http: / / www.21cnjy.com )cos 2α=,∴2sin αcos α=-1=,sin αcos α=.
(2)方法一:====7.www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
方法二:如图,构造Rt△ABC,∠C=90°,∠A=α,BC=2,AC=1,则AB==.
∴ sinα===,cosα===.2-1-c-n-j-y
∴7.21*cnjy*com
方法三:∵tanα==2,
∴sinα=2cosα.
∴==7.2·1·c·n·j·y
19.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=C ( http: / / www.21cnjy.com )D,∠D=90°.∵将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD上的点F处,∴CF=BC.又∵=,∴=.【来源：21cnj*y.co*m】
设CD=2x(x>0),则 ( http: / / www.21cnjy.com )CF=3x,∴DF==x.∴tan ∠DCF===.
20.(1)证明:由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,∴∠ABF=90°-∠AFB,
∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF,∴△ABF∽△DFE.
(2)解:由折叠可得FB=BC,EF=EC,∵sin ∠DFE=,
∴即EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF==DE×=2DE.
∵△ABF∽△DFE,∴=,即FB===3DE.【出处：21教育名师】
又∵FB=BC,EF=EC,∴tan∠EBC====.【版权所有：21教育】
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1.1.2 余弦、正切函数
浙教版 九年级下
导入新知
下面图1和图2中各有一个比较陡的梯子，你能把它们找出来吗？说说你的理由。
图1
图2
新知讲解
1
知识点
余弦
余弦：∠A的______与斜边的比叫做∠A的余弦，记做cos A，即 cos A＝ ，如图所示，cos A＝________．
知1－讲
邻边
新知讲解
例1 （山东 枣庄）如图1，直径为10的⊙A经过点
C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A上一
点，则cos∠OBC的值为( )
A. B. C. D.
解析：设⊙A与x轴的另一交点为D，连接CD，如图2
所示．∵∠COD＝90°，∴CD为⊙A的直径，
∴CD＝10.∵∠OBC与∠CDO为 所对的圆
周角，∴∠OBC＝∠CDO.∵C(0，5)，∴OC
＝5.在Rt△CDO中，CD＝10，OC＝5，根据
勾股定理得：OD＝
∴cos∠OBC＝cos∠CDO＝
故选B.
知1－讲
B
图1
图2
新知讲解
总 结
知1－讲
本题运用构造法得到直角三角形，然后运用圆
周角定理的推论，勾股定理以及三角函数的定义
解答．
巩固提升
知1－练
1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC＝3，AC＝4，那么cos A的值等于( )
A. B. C. D.
D
巩固提升
知1－练
在△ABC中，若三边BC,CA,AB满足BC:CA:AB=5：
12：13，则cos B的值是( )
A. B. C. D.
C
巩固提升
知1－练
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，
cosB＝ ，则BC的长为________．
4
新知讲解
2
知识点
正 切
知2－导
如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子
的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的
比，也能说明梯子的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？
（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
（2） 和 有什么关系？
（3）如果改变B2在梯子上的位置呢？
由此你能得出什么结论？
C2
A
B2
B1
C1
新知讲解
知2－讲
正切：∠A的________与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记做tan A，即 tan A＝ ，如图所示，tan A＝________.
对边
新知讲解
知2－讲
例2 如图 1-6,在 Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，AB = 5,BC=3.
求∠A 的 正弦、余弦和正切.
解：如图 1 一6,在 Rt△ABC 中，AB=5，BC=3，
B
C
新知讲解
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝ ，
BC＝ ，则AC等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
由正切的定义知，
∴
∴选A.
知2－讲
解析：
A
新知讲解
总 结
知2－讲
本题考查了三角函数的定义，根据三角函数的
定义直接求解即可．
巩固提升
知2－练
1 (中考·鄂州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan B＝
( )
A. B. C. D.
D
巩固提升
知2－练
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，
△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝( )
A. B. C. D.
D
巩固提升
知2－练
如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC
＝4，tanA＝ ，则BC的长是( )
A．2 B．8 C． D．
A
新知讲解
3
知识点
同角三角函数间的关系
知3－讲
1.同角的正弦、余弦、正切的关系：同角的正弦与余弦值的比等于该角的正切值，即tan A=
在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则sin A= cos A=
∴tan A=
新知讲解
知3－讲
2.同角的正弦与余弦间的关系：
sin 2A＋cos 2A＝ ____(0°<∠A<90°)．
1
新知讲解
例4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，则cos B的
值等于( )
A. B. C. D.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°，
则cos B＝sin A＝ .故选B.
知3－讲
B
解析：
新知讲解
总 结
知3－讲
本题考查了互余两角的正弦值、余弦值之间的关
系．或者利用设参数法，也就是设三角形的斜边长是
5k，一条直角边长是4k，利用勾股定理求出另一条直
角边的长度，从而得出结果．
巩固提升
知3－练
1 如图，在 Rt △ABC 中，∠C=Rt∠,AC=2，BC=3.求：
(1) sin A, cos B.
(2) cos A,sin B.
(3) 观察(1)(2)中的计算结果，你发现了什么？请说
明理由.
A
B
巩固提升
知3－练
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则cosA＝
________．
(16·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，
则tanB的值为( )
A. B. C. D.
D
课堂小结
求锐角的三角函数值的三种方法：
1．在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求
出．
2．利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角
(若该角的三角函数值知道或者易求)．
3．利用互余的两个角间的特殊关系求．
谢谢
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