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一次函数的应用
◆考点三：一次函数的应用：
典例精讲：
例5.受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元/斤 千米）
甲养殖场 200 0.012
乙养殖场 140 0.015
（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？
（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？21教育网
变式训练：
某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩色页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩色页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见表．
印数a （单位：千册） 1≤a＜5 5≤a＜10
彩色 （单位：元/张） 2.2 2.0
黑白（单位：元/张） 0.7 0.6
（1）直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元；
（2）若印制6千册，那么共需多少费用？
（3）如印制x（1≤x＜10）千册，所需费用为y元，请写出y与x之间的关系式．
典例精讲：
例6.甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距B城的路程S甲（千米）、S乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．21·cn·jy·com
（1）分别求出S甲、S乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（2）求A、B两城之间的距离，及t为何值时两车相遇；
（3）当两车相距300千米时，求t的值．
变式训练：
某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这样包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：21·世纪*教育网
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
典例精讲：
例7.甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；www-2-1-cnjy-com
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．
变式训练：
春天来了，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．21cnjy.com
（1）直接写出小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式
（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
（3）若妈妈比小明早12分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．
典例精讲：
例8.如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．2·1·c·n·j·y
（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 L/km、 L/km．
（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．
（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
变式训练：
某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．21世纪教育网版权所有
（1）活动中心与小宇家相距 千米，小宇在活动中心活动时间为 小时，他从活动中心返家时，步行用了 小时；2-1-c-n-j-y
（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；
（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．
巩固提升：
1．某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示，www.21-cn-jy.com
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？21*cnjy*com
2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取：【来源：21cnj*y.co*m】
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点B的实际意义；
图象理解：（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
问题解决：（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？【出处：21教育名师】
3.甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地. 如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 h；（2）货车的平均速度是 km/h；
（3）求线段DE对应的函数解析式.
4．草莓是我市多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数关系式；（2）求出自变量x的取值范围．
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一次函数的应用答案
◆考点三：一次函数的应用：
典例精讲：例5.
解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，从乙养殖场调运鸡蛋y斤，
根据题意得：，解得：，
∵500＜800，700＜900，∴符合条件．
答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；
（2）从甲养殖场调运了x斤鸡蛋，从乙养殖场调运了斤鸡蛋，
根据题意得：总运费W=200×0.012x+140×0.015×=0.3x+2520，
（300≤x≤800）
∵W随x的增大而增大，
∴当x=300时，W最小=2610元，
∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省．
变式训练：
解析：（1）印制这批纪念册的制版费为：300×4+50×6=1500（元），
∴印制这批纪念册的制版费为1500元．
（2）印制6千册时，需要的费用为：1500+（2×4+0.6×6）×6000=71100（元），
∴若印制6千册，那么共需71100元的费用．
（3）由已知得：
当1≤x＜5时，y=1500+（2.2×4+0.7×6）×1000x=13000x+1500；
当5≤x＜10时，y=1500+（2×4+0.6×6）×1000x=11600x+1500．
综上可知：y与x之间的关系式为．
典例精讲：例6.
解析：（1）设S甲与t的函数关系式是S甲=kt+b，
，得，
即S甲与t的函数关系式是S甲=﹣180t+600，
设S乙与t的函数关系式是S甲=at，
则120=a×1，得a=120，
即S乙与t的函数关系式是S甲=120t；
（2）将t=0代入S甲=﹣180t+600，得
S甲=﹣180×0+600，得S甲=600，
令﹣180t+600=120t，
解得，t=2，
即A、B两城之间的距离是600千米，t为2时两车相遇；
（3）由题意可得，
|﹣180t+600﹣120t|=300，
解得，t1=1，t3=3，
即当两车相距300千米时，t的值是1或3．
变式训练：
解析：（1）500÷100=5（元/盒）．
答：方案一中每个包装盒的价格是5元．
（2）当x=0时，y=2000，
∵（3000﹣2000）÷4000=（元/盒），
∴方案二中租赁机器的费用是2000元，生产一个包装盒的费用是元．
（3）根据题意得：y1=5x，y2=x+2000．
（4）令y1＜y2，即5x＜x+2000，
解得：x＜，
∵x为正整数，∴0＜x≤421；
令y1＞y2，即5x＞x+2000，
解得：x＞，
∵x为正整数，∴x≥422．
综上所述：当0＜x≤421时选择方案一省钱；当x≥422时选择方案二省钱．
典例精讲：例7.
解析：（1）由题意得：m=1.5﹣0.5=1．
120÷（3.5﹣0.5）=40，∴a=40．
答：a=40，m=1；
（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x，
由题意得：40=k1，∴y=40x
当1＜x≤1.5时，y=40；
当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，
由题意得：， 解得：，
∴y=40x﹣20．
；
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，
由题意得：，解得：，
∴y=80x﹣160．
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，解得：．
当40x﹣20+50=80x﹣160时，解得：．
．
答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．
变式训练：
解析：（1）设小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式y=kx，
∴10=0.5k，∴k=20，
∴小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式为y=20x；
故答案为：y=20x；
（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）
设直线BC解析式为y=20x+b1，
把点B（1，10）代入得b1=﹣10
∴y=20x﹣10
设直线DE解析式为y=60x+b2，把点D（，0）
代入得b2=﹣80∴y=60x﹣80
∴， 解得
∴交点F（1.75，25）．
答：小明出发1.75小时被妈妈追上，此时离家25km．
（3）设从家到乙地的路程为m（km）
则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y=60x﹣80，y=20x﹣10
得：
∵，
∴，∴m=30．
∴从家到乙地的路程为30（km）．
典例精讲：例8.
解析：（1）设AB的解析式为：y=kx+b，
把（30，0.15）和（60，0.12）代入y=kx+b中得：
解得
∴AB：y=﹣0.001x+0.18，
当x=50时，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，
由线段BC上一点坐标（90，0.12）得：0.12+×0.002=0.14，
故答案为：0.13，0.14；
（2）由（1）得：线段AB的解析式为：y=﹣0.001x+0.18；
（3）设BC的解析式为：y=kx+b，
把（90，0.12）和代入y=kx+b中得：
解得，
∴BC：y=0.002x﹣0.06，
根据题意得 解得，
答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km．
变式训练：
解析：（1）∵点A的坐标为（1，22），点B的坐标为（3，22），
∴活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．
（22﹣20）÷5=0.4（小时）．
故答案为：22；2；0.4．
（2）根据题意得：y=22﹣5（x﹣3）=﹣5x+37．
（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），
∵0.8＜1，
∴所用小宇12：00前能到家．
巩固提升：
1.解析：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，
15k=27，得k=1.8，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，
当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
，得，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，
由上可得，y与x的函数关系式为；
（2）设二月份的用水量是xm3，
当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x无解，
当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x=12，
∴40﹣x=28，
答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．
2.解析：（1）900；
（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，
所以慢车的速度为=75（km/h）；
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，
所以慢车和快车行驶的速度之和为=225（km/h），所以快车的速度为150（km/h）．
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶=6（h）到达乙地，
此时两车之间的距离为6×75=450（km），
所以点C的坐标为（6，450）．
设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把（4，0），（6，450）代入
得：，解得，
所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x﹣900．
自变量x的取值范围是4≤x≤6．
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．
把x=4.5代入y=225x﹣900，得y=112.5．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，
所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75（h），
即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．
3.解析：（1）0.5
（2）60
（3）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），
∵D点坐标为（2.5，80），E点坐标为（4.5，300），
∴代入y=kx+b，得： ，
解得：.
∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x－195（2.5≤x≤4.5）.
4.解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（20，300）和点（30，280），
∴，解得：，
∴y与x的函数关系式为y=﹣2x+340．
（2）∵试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，且草莓的成本为每千克20元，
∴自变量x的取值范围是20≤x≤40．
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