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1.2.2 利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题
基础训练
1.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70 ( http: / / www.21cnjy.com )°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )
A.40海里 B.60海里
C.70海里 D.80海里
2.如图,一船向正北方向匀速行驶,在C处看 ( http: / / www.21cnjy.com )见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上,灯塔A在南偏西75°方向上,则该船的速度应该是( )海里/小时.www.21-cn-jy.com
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A.10 B.5 C.10 D.5
3.A,B两市相距150千米,分别从A,B ( http: / / www.21cnjy.com )处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连结A,B两市的高速公路.问连结A,B两市的高速公路是否穿过风景区 请说明理由.21*cnjy*com
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4.小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米,那么他下降了( )
A.1米 B.米 C.2米 D.米
5.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1∶,坝高BC=10 m,则坡面AB的长度是( )2-1-c-n-j-y
A.15 m B.20 m C.10 m D.20 m
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6.如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角∠A= °. www-2-1-cnjy-com
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7.如图,一水库大坝的横断 ( http: / / www.21cnjy.com )面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度.(精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732.提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)【来源：21cnj*y.co*m】
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提升训练
8.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东6 ( http: / / www.21cnjy.com )5°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果用非特殊角的三角函数表示即可)21世纪教育网版权所有
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9.如图:我渔政310船在南海海面 ( http: / / www.21cnjy.com )上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近 (渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)【出处：21教育名师】
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10.如图,海中两个灯塔A、B,其 ( http: / / www.21cnjy.com )中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D,这时测得灯塔A在北偏西60°方向上,求灯塔A、B间的距离.(计算结果用根号表示,不取近似值)【版权所有：21教育】
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11.我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库 ( http: / / www.21cnjy.com ),按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.5,≈1.73)2·1·c·n·j·y
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参考答案
基础训练
1.D
解析：依题意,知MN=40×2=80(海里),又∠M=70°,∠N=40°,
所以∠MPN=70°,从而NP=MN=80海里,选D.
2.A
解析：根据题意得:AB=1 ( http: / / www.21cnjy.com )0海里,∠ADC=75°,∠BDC=60°,DC⊥AC,∴∠DBC=30°,∠BDA=∠A=15°,∴BD=AB=10海里,∵DC⊥AC,∴在Rt△BDC中,DC=BD·sin ∠DBC=10×=5(海里),∵从C到D行驶了半小时,∴速度为5÷=10(海里/小时),故选A.21cnjy.com
3.解:不穿过风景区.理由如下:
过C作CD⊥AB于点D, ( http: / / www.21cnjy.com )根据题意得:∠ACD=α,∠BCD=β,则在Rt△ACD中,AD=CD·tan α,在Rt△BCD中,BD=CD·tan β,∵AD+BD=AB,∴CD(tan α+tan β)=150,将tan α,tan β的值代入后,解得CD=50千米,50>45,故不会穿过风景区.21教育名师原创作品
4.A 5.D 6.30
7.解:作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,由题意得,BC=EF=6米,BE=CF=20米,∵斜坡AB的坡度i为1∶2.5,在Rt△ABE中,BE=20米,∴=,∴AE=50米.在Rt△CFD中,∠D=30°,∴DF==20(米),∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6(米).故坝底AD的长度约为90.6米.21*cnjy*com
提升训练
8.解:如图,过点P作PD⊥AB于点D.
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由题意知∠DPB=∠DBP=45°.
在Rt△PBD中,sin 45°==,∴PB=PD.
∵点A在点P的北偏东65°方向上,∴∠APD=90°-65°=25°.
在Rt△PAD中,cos 25°=.
∴PD=PAcos 25°=80cos 25°(海里),
∴PB=80cos 25°海里.
9.解:作CD⊥AB,交AB的延长线于 ( http: / / www.21cnjy.com )D,则当渔政310船航行到D处时,离渔船C的距离最近.设CD长为x,在Rt△ACD中,AD=CD tan 60°=x,在Rt△BCD中,BD=CD=x,∴AB=AD-BD=x-x=(-1)x,设渔政船从B航行到D需要t小时,则t=BD=x,解得t==.
答:渔政310船再按原航向航行小时后,离渔船C的距离最近.
10.解:作CE⊥AB于点E,AF⊥CD于点F,∴∠AFC=∠AEC=90°.
∵∠FCE=90°,∠ACE=45 ( http: / / www.21cnjy.com )°,∴AE=CE,∴四边形AFCE是正方形.设AF=FC=CE=AE=x海里,则FD=(x+30)海里,∵tan D=,∠D=30°,∴=,解得x=15+15,∴AE=CE=(15+15)海里.∵tan∠BCE=,∠BCE=30°,∴=,21教育网
解得BE=(15+5)海里.∴AB=AE+BE=15+15+15+5=20+30(海里).
答:灯塔A、B之间的距离为(20+30)海里.
11.解:在Rt△BAE中,∠BAE=6 ( http: / / www.21cnjy.com )8°,BE=162米,∴AE=≈=64.8(米).在Rt△DEC中,∠DCE=60°,DE=176.6米,∴CE==≈102.08(米),21·cn·jy·com
∴AC=CE-AE≈102.08-64.8=37.28≈37.3(米),即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为37.3米.【来源：21·世纪·教育·网】
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1.2.2 利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题
浙教版 九年级下
导入新知
1
知识点
方位角的应用问题
方位角：如图所示，在平面上过观测点O画一条水平线(向右为东方)和一条铅垂线(向上为北方)，则从点O出发的视线与___________________
的夹角，叫做方位角．例如，图
中点A的方向为北偏东30°，
点B的方向为南偏西45° (或称
为西南方向)．
知1－讲
铅垂线(南北方向线)
新知讲解
例1〈浙江温州〉某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线l(如图)．
救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处
有人发出求救信号．他立即沿AB方向前往救援，同时通知正在海
岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲
在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，
B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳
速度都是2米/秒．问谁先到达B处？请说
明理由．(参考数据：sin 55°≈0.82，
cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
知1－讲
新知讲解
在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，
进而分别求得甲、乙到达B处所用的时间，比较二者
的大小即可．
知1－讲
解析：
新知讲解
乙先到达B处．
理由：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∵tan ∠BCD＝
∴BD＝CD·tan ∠BCD＝40×tan 55°≈57.2(米)．
∵cos ∠BCD＝
∴BC＝
∴t甲≈ t乙≈
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
知1－讲
解：
新知讲解
总 结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化
为求线段长度的问题．
巩固提升
知1－练
(中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为( )
A．40海里
B．60海里
C．70海里
D．80海里
D
巩固提升
知1－练
如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西
方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直
线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏
西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该
船的速度应该是( )海里/小时．
A．10
B．5
C．10
D．5
A
新知讲解
坡比、坡角：
如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡比，坡面与__________的夹角叫做坡角，记做α.
坡比与坡角的关系是 ，因而坡比越大，坡角α就__________，坡面就越陡.
知2－讲
水平面
越大
2
知识点
坡角的应用问题
新知讲解
例2 水库堤坝的横断面是梯形（如图).测得BC长为6m，CD长
为60m，斜坡CD的坡比为1 : 2.5,斜坡AB的坡比为1 : 3.求：
(1) 斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1′，宽
度精 确到0.1 m).
(2)若堤坝长150 m，则建造这个堤坝需用多少土石方(精
确到1m3)？
知2－讲
C
B
D
新知讲解
如上图，作BE⊥AD,CF⊥AD,点E,F为垂足.
在Rt△CFD中，
∴∠D≈21°48′.
∴CF=CD×sinD=60×sin21°48′≈22.28（m），
DF=CD×cosD=60×cos21°48′≈55.71（m）.
∵
∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
解：
新知讲解
(2)横截面的面积
知2－讲
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建
造这个大坝需用土石方约为224835m .
新知讲解
总 结
知2－讲
解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形
分割为直角三角形和矩形来解决问题.
巩固提升
知2－练
小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米，那么他下降了( )
A．1米 B. 米 C．2 米 D. 米
2 拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡
比是1∶ 坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( )
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
A
D
巩固提升
知2－练
如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处
所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为
h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.
30
课堂小结
1.坡角是坡面与水平面间的夹角；坡度(或坡比)是坡面的
铅垂高度与水平长度的比.
2.坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡面就越
陡；坡角的正切值等于坡比.
3.解决与方位角有关的实际问题时，必须在每个位置中心
建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，
最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题．
谢谢
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