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1.3.1 解直角三角形
基础训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=4,b=3,则cos A的值是( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=3,欲求∠A的值,最适宜的做法是( )
A.计算tanA的值求出
B.计算sinA的值求出
C.计算cosA的值求出
D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B求出
3.在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,则cosB的值是( )
A.3 B. C.3 D.2
4.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若c=6,a=6,则b= ,∠B= ,∠A= ;
(2)若a=4,b=4,则∠A= ,∠B= ,c= .
5.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若∠B=60°,BC=,则∠A= ,AC= ,AB= ;
(2)若∠A=45°,AB=2,则∠B= ,AC= ,BC= .
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B ( http: / / www.21cnjy.com )=37°,BC=32,则AC= .(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75) 21*cnjy*com
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,cos A=,则AC等于( )
A.36 B. C.4 D.
8.如图是教学用的直角三角板,边AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为( )
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A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm
9.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC等于( )
A.3sin40° B.3sin50° C.3tan40° D.3tan50°
10.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
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11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是( )www-2-1-cnjy-com
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A. B.2 C.3 D.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com ),AC=,点D为BC边上一点,且BD=2AD,∠ADC=60°,求△ABC的周长.(结果保留根号)2-1-c-n-j-y
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13.在△ABC中,AB=AC=2,高BE=,求∠BAC.
已知两边解直角三角形的两种类型:
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图1 图2
1.在Rt△ABC中,已知两直角边a,b,如图1,则c=,由tanA=可求∠A,则∠ B=90°-∠A.【版权所有：21教育】
2.在Rt△ABC中,已知斜 ( http: / / www.21cnjy.com )边和一直角边,如c,a,如图2,则b=,由sinA=可求∠A,则∠B=90°-∠A.
提升训练
14.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.
(1)求BC的长;
(2)求tan ∠DAE的值.
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15.如图所示,在△ABC中,AB=1,AC=,sin B=,求BC的长.
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16.如图,在△ABC中,sin B=,∠A=105°,AB=2,求△ABC的面积.
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17.如图,在△ABC中, ( http: / / www.21cnjy.com )∠BCA=90°,BC=1.5,点F,A,C在同一直线上,∠BAC=30°,DE⊥AB于点D,BE与AB的夹角∠EBD=60°,AD=1,过E点作AC的垂线,交AC的反向延长线于F.求BE及EF的长.21·cn·jy·com
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18.已知钝角三角形ABC,点D在BC ( http: / / www.21cnjy.com )的延长线上,连结AD,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D.AD=2,AC=,根据题意画出示意图,并求tanD的值.21·世纪*教育网
19.如图,在Rt△ABC中,∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sin A=,求DE的长度.
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20.如图,在Rt△ABC中,∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC=90°,∠C=60°,AC=10,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的点C',折痕为BE,求EC的长度.
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21.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在AC,AB上,BD平分∠ABC,DE⊥AB,AE=6,cos A=.求:
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(1)DE,CD的长;
(2)tan ∠DBC的值.
参考答案
基础训练
1.A 2.C 3.B
4.(1)6;45°;45° (2)60°;30°;8
5.(1)30°;;2 (2)45°;;
6.24 7.C 8.C 9.D 10.D 11.A
12.思路导引:要求△ABC的周长,只要求得 ( http: / / www.21cnjy.com )BC及AB的长度即可.在Rt△ADC中利用∠ADC的正弦,可以求得AD的长度,进而可求得CD的长度.再根据已知条件求得BD的长度,最后运用勾股定理求得AB的长度.21教育网
解:在Rt△ADC中,∵sin∠ADC=,
∴AD===2,
∴BD=2AD=4.∵ta ( http: / / www.21cnjy.com )n∠ADC=,∴DC===1,∴BC=BD+DC=5.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB==2.
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=2+5+.
13.解:(1)当∠BAC为锐角时,如图①所示.
∵sinA==,∴∠BAC=60°.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)当∠BAC为钝角时,如图②.
在Rt△ABE中,∵si ( http: / / www.21cnjy.com )n∠BAE==,∴∠BAE=60°,∴∠BAC=180°-60°=120°.∴∠BAC的度数为60°或120°.2·1·c·n·j·y
提升训练
14.解:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.在△AD ( http: / / www.21cnjy.com )C中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1.在△ADB中,∵∠ADB=90°,sin B=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,21世纪教育网版权所有
∴BC=BD+DC=2+1.
(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,【出处：21教育名师】
∴tan ∠DAE==-.
15.解:过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=1,sin B=,
∴AD=AB·
sinB=1×DB===,CD===.∴BC=CD+BD=+=.21教育名师原创作品
16.解:过A作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,易得∠B=45° ( http: / / www.21cnjy.com ),又AB=2,∴∠DAB=∠B=45°,AD=BD=2×=,∴∠CAD=105°-45°=60°.
在Rt△CAD中,tan∠CAD=,
∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=.
∴BC=CD+BD=+.
∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1.
17.解:如图,过点B作BH⊥EF于H.∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1.5,
∴AB=3.又∵AD=1,∴BD=2.∵ ( http: / / www.21cnjy.com )ED⊥AB,∠DBE=60°,∴在Rt△DBE中,cos ∠DBE==,∴BE=4.∵∠BCA=∠BHF=∠HFC=90°,∴四边形HFCB为矩形.
∴HF=BC=1.5,CF∥BH.∴∠HBA=∠BAC=30°.∴∠EBH=∠EBD-∠HBA=30°.
∴在Rt△EBH中,EH=BE=2.∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5.
( http: / / www.21cnjy.com / )
18.解:正确画图如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ACB=∠D+∠CAD,∠ACB=2∠D.∴∠CAD=∠D,∴CA=CD.
∵∠BAD=90°,∴∠B+∠D=90°.∵∠BAC+∠CAD=90°,
∴∠B=∠BAC.∴CB=CA,∴BD=2AC,∵AC=,
∴BD=3, 在Rt△BAD中,∵AD=2,∴AB=.∴tanD==.21cnjy.com
19.解:∵BC=6,sin A=,∴AB=10,∴AC==8.∵D是AB的中点,www.21-cn-jy.com
∴AD=AB=5,∵∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°,∴△ADE∽△ACB,
∴=,即=,解得:DE=.
20.解:作ED⊥BC于D,由折叠的性质可知∠DBE=∠ABE=45°,
设所求的EC为x,则CD=x,BD=ED=x,∵∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,
∴BC=AC×cos C=5,∴CD+BD=x+x=5,∴CE=x=5-5.【来源：21·世纪·教育·网】
21.解:(1)∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.在Rt△AED中,cos A=,即=.∴AD=10.
根据勾股定理得DE===8.
又∵DE⊥AB,DC⊥BC,BD平分∠ABC,∴DC=DE=8.
(2)由(1)可得AC=AD+DC= ( http: / / www.21cnjy.com )10+8=18,在Rt△ABC中,cos A=,即=,∴AB=30.根据勾股定理得BC===24.21*cnjy*com
∴在Rt△BCD中,tan ∠DBC===.
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1.3.1 解直角三角形
浙教版 九年级下
导入新知
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面
10 米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断
之前高多少？
导入新知
1
知识点
已知两边解直角三角形
问：在三角形中共有几个元素？
问：直角三角形ABC中，∠ C=90°，a、b、c 、∠A、
∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
答：1.三个角，三条边，共六个元素。
2.(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
知1－导
导入新知
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
知1－导
(3)边角之间的关系
新知讲解
概念：
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些__________的过程，叫做 解直角三角形．
拓展：
解直角三角形时，选择函数关系式遵循的基本原则： “有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)；宁乘勿除，取原避中”．
知1－讲
边、角
新知讲解
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2 ，a＝3，解这
个直角三角形．
已知斜边和一条直角边的长，可以先利用勾股定理
求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的
度数．
知1－讲
解析：
新知讲解
在Rt△ABC中，c＝ a＝3，
∴
∵
∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
知1－讲
解：
新知讲解
总 结
知1－讲
选择关系式时要尽量利用已知条件，解直角三
角形时必须求出所有的未知元素．
巩固提升
知1－练
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，最适宜的做法是( )
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
C
巩固提升
知1－练
在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若c＝ a＝6，则b＝________，∠B＝______，
∠A＝________；
(2)若a＝ b＝4，则∠A＝______，∠B＝______，
c＝________．
6
45°
45°
60°
30°
8
新知讲解
例2 如图 ,在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50。，AB=3.
求∠B和a,b(边长精确到0.1).
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°- 50。= 40。.
∵
∴a=AB sinA=3sin50°≈2.3.
∵
∴b=AB cosA=3cos50°≈1.9.
知2－讲
2
知识点
已知一边及一锐角解直角三角形
解：
A
新知讲解
总 结
知2－讲
已知斜边c和一锐角∠A，解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据∠A＋∠B＝90°求出∠B；
(2)根据sin A＝ 求出a；
(3)根据cos A＝ 求出b或根据勾股定理求出b.
巩固提升
知2－练
在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若∠B＝60°, BC＝ 则∠A＝_______，AC＝
________，AB＝________；
(2)若∠A＝45°，AB＝2，则∠B＝________，AC＝
________，BC＝________．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，
BC＝32，则AC＝________．(参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
30°
45°
24
课堂小结
的边角关系
直角三角形
解直角三角形
解直角三角形
实际应用
知一边一锐角解直角三角形
知两边解直角
三角形
添设辅助线解直角三角形
知斜边一锐角解直角三角形
知一直角边一锐角解直角三角形
知两直角边解直角三角形
知一斜边一直角解直角三角形
直接抽象出直角三角形
抽象出图形，再添设辅助线求解
谢谢
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